淺談瓊斯多項(xiàng)式和HOMFLY多項(xiàng)式

周倩竹

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 扭結(jié);瓊斯多項(xiàng)式;HOMFLY多項(xiàng)式

[中圖分類號(hào)]? O189? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）27-0100-02

本文的主要內(nèi)容都來自于一本名為The Knot Book的英文版有關(guān)扭結(jié)理論的入門書籍。在這篇文章中，我們將了解兩種與結(jié)有關(guān)的多項(xiàng)式，分別為：瓊斯多項(xiàng)式（Jones Polynomial）和 HOMFLY多項(xiàng)式（HOMFLY Polynomial）。對(duì)于每個(gè)多項(xiàng)式，我都會(huì)分別解釋其定義、規(guī)則和一些相關(guān)的示例。通過理解這些多項(xiàng)式，我們將學(xué)習(xí)如何使用這兩種多項(xiàng)式得出一些扭結(jié)的特征。

一、扭結(jié)的定義

紐約普拉茨堡州立大學(xué)的助理教授奎內(nèi)爾將扭結(jié)定義為“扭結(jié)是關(guān)于打結(jié)后將末端拼接在一起的繩結(jié)的數(shù)學(xué)模型。也就是說，扭結(jié)基本就是嵌套在三維空間內(nèi)的環(huán)”。其實(shí)在我們的日常生活中就有許多繩結(jié)的存在，比如打結(jié)的耳機(jī)線或者鞋帶。將這些繩索抽象為三維空間內(nèi)的閉合曲線，就是我們即將研究的扭結(jié)。

實(shí)際上，1987年日本數(shù)學(xué)家福原昌夫就提出：扭結(jié)是一條具有一定長(zhǎng)度首尾相連的線，在該線上均勻分布著相同種類的電荷，因此該線將通過調(diào)整其自身形狀達(dá)到總電荷最均衡的狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)被稱之為扭結(jié)的拓?fù)洳蛔兞?。他所提出的理論提供了人們研究繩結(jié)的方向，從而可以發(fā)現(xiàn)更多與結(jié)有關(guān)的多項(xiàng)式。

繩結(jié)的投影圖是指其一維平面圖。這種平面圖由一些閉合曲線組成，且這些曲線需要滿足以下三點(diǎn)要求：

1.重疊點(diǎn)的個(gè)數(shù)必須是有限的;

2.每個(gè)重疊點(diǎn)都只能是兩條曲線相交的點(diǎn)，三條曲線不能在同一個(gè)點(diǎn)相交;

3.在每個(gè)重疊點(diǎn)處，上下曲線相互交叉。

在繪制繩結(jié)的投影圖時(shí)，為了方便理解，位于下方的曲線在重疊處需要有間斷。投影的方向和角度對(duì)整個(gè)繩結(jié)的特征與性質(zhì)沒有影響。

在研究繩結(jié)時(shí)，人們經(jīng)常關(guān)注的問題是：如果有任意兩個(gè)扭結(jié)，如何識(shí)別這兩個(gè)扭結(jié)是否客觀相同。因此，關(guān)于扭結(jié)的疑問也可以表示為：通過一定的轉(zhuǎn)換，不同的繩結(jié)的投影是否可以重合。接下來我講述兩個(gè)多項(xiàng)式：瓊斯多項(xiàng)式和HOMFLY 多項(xiàng)式，其正是用來回答這個(gè)問題的。

二、瓊斯多項(xiàng)式

1.兩個(gè)等效的扭結(jié)具有相同的多項(xiàng)式;

2.沒有結(jié)的繩結(jié)的多項(xiàng)式等于1;

3.三個(gè)鏈結(jié)L+，L-和L0在規(guī)定區(qū)域內(nèi)相同。

這三個(gè)公理與其規(guī)則有一些相似之處。

瓊斯多項(xiàng)式是數(shù)學(xué)家沃恩·瓊斯（Vaughan Jones）于1984年建立的一個(gè)新多項(xiàng)式。沃恩·瓊斯是新西蘭人，他提出的瓊斯多項(xiàng)式為結(jié)理論中的許多經(jīng)典問題提供了解決方案。1990年，瓊斯因發(fā)現(xiàn)瓊斯多項(xiàng)式而獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。

首先，我們需要將這個(gè)扭結(jié)解成不同的狀態(tài)。由于該扭結(jié)有三個(gè)交點(diǎn)，因此我們可以將其分解為23個(gè)不同的狀態(tài)。它們是AAAC2，AABC，ABAC，ABB，BAAC，BAB，BBA和BBBC。

然后就可以通過計(jì)算這些的多項(xiàng)式的總和達(dá)到計(jì)算其瓊斯多項(xiàng)式的目的，過程如下：

我們可以使用這種方式解決這類問題，即將扭結(jié)分解為不同的狀態(tài)，然后計(jì)算狀態(tài)總和。

但是，僅使用瓊斯多項(xiàng)式并不能解決有關(guān)扭結(jié)的所有問題。在繼續(xù)研究多項(xiàng)式之后，數(shù)學(xué)家提出了HOMFLY多項(xiàng)式。接下來，讓我們討論HOMFLY多項(xiàng)式的定義和性質(zhì)。

三、HOMFLY多項(xiàng)式

在瓊斯宣布他的新多項(xiàng)式四個(gè)月后，HOMFLY多項(xiàng)式被發(fā)現(xiàn)。HOMFLY多項(xiàng)式的名稱來自發(fā)現(xiàn)者Haste，Ocneau，Millett，F(xiàn)reyd，Lickonsh和Yetter的名字的首字母。HOMFLY多項(xiàng)式是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的可以同時(shí)推廣瓊斯多項(xiàng)式和亞歷山大多項(xiàng)式（Alexander Polynomial）的多項(xiàng)式。其中亞歷山大多項(xiàng)式是二變量Laurent多項(xiàng)式，變量為m和l。

比較HOMFLY多項(xiàng)式和瓊斯多項(xiàng)式，瓊斯多項(xiàng)式更易于計(jì)算，具有識(shí)別不同結(jié)的能力，甚至可以識(shí)別三葉形結(jié)及其鏡像。但是，HOMFLY多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)了結(jié)理論與物理學(xué)之間的聯(lián)系，這同時(shí)促進(jìn)了物理學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展。

HOMFLY 多項(xiàng)式不是所謂的扭結(jié)的完全不變式，它不能區(qū)分所有的扭結(jié)。比如一對(duì)突變結(jié)將始終具有相同的HOMFLY多項(xiàng)式。

對(duì)于鏈結(jié)的交點(diǎn)最少的投影圖，它可以表示C（L）的投影圖。交換一個(gè)交點(diǎn)上下兩條線的位置獲得L′，然后 C（L′）

與扭結(jié)有關(guān)的多項(xiàng)式不僅有瓊斯多項(xiàng)式和HOMPLY多項(xiàng)式，除此之外還有亞歷山大多項(xiàng)式等。在扭結(jié)中，通過更改交點(diǎn)的層次，任何投影都可以轉(zhuǎn)換為鏈結(jié)的投影。

在計(jì)算扭結(jié)的HOMFLY多項(xiàng)式時(shí)，通常需要繪制其解析樹（resolving tree）。

一名百科書作家維斯斯坦（Weisstein）將解析樹定義為：一種鏈接樹，通過重復(fù)選擇一個(gè)交叉點(diǎn)，應(yīng)用絞線關(guān)系獲得兩個(gè)更簡(jiǎn)單的鏈接并重復(fù)此過程來獲得。解析樹的樹深度是鏈接級(jí)別的數(shù)量，不包括頂部。鏈接的樹深度是該鏈接的任何解析樹的最小深度。

以下是一種三葉結(jié)的解析樹：

這些解析樹可用于多個(gè)新多項(xiàng)式的計(jì)算。繪制解析樹后，我們可以從上到下、從左到右系統(tǒng)地計(jì)算該結(jié)的HOMPLY多項(xiàng)式。選擇不同的交叉點(diǎn)以解開扭結(jié)將繪制不同的分解樹，但是使用這些不同的分解樹來計(jì)算其多項(xiàng)式，最終結(jié)果一定相同。換句話說，解析樹的形狀不會(huì)影響最終的計(jì)算結(jié)果。

四、總結(jié)

數(shù)學(xué)家按照福原昌夫理論對(duì)扭結(jié)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)了各種與結(jié)有關(guān)的多項(xiàng)式，包括瓊斯多項(xiàng)式和HOMFLY多項(xiàng)式。這些研究都在數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面具有廣闊的前景。

通常，瓊斯多項(xiàng)式和HOMFLY多項(xiàng)式都是用于計(jì)算扭結(jié)性質(zhì)的多項(xiàng)式。這兩個(gè)多項(xiàng)式是在很相近的時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)的，但是它們?cè)诮Y(jié)的研究中都起著決定性的作用。將這兩個(gè)多項(xiàng)式的法則進(jìn)行比較時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這實(shí)際上是相同的方程式。也就是說，選擇的不同參數(shù)導(dǎo)致兩個(gè)多項(xiàng)式的表達(dá)式不同。但是，無論使用哪個(gè)多項(xiàng)式，都將獲得相同的結(jié)果。并且應(yīng)根據(jù)不同的條件選擇不同的多項(xiàng)式，這樣可以節(jié)省一些計(jì)算時(shí)間。此外，這兩個(gè)多項(xiàng)式具有一定的局限性，例如，一對(duì)突變的扭結(jié)將始終具有相同的 HOMFLY多項(xiàng)式。

此外，盡管瓊斯多項(xiàng)式和HOMFLY多項(xiàng)式在結(jié)的分類和計(jì)算中都起著至關(guān)重要的作用，但是由于這些多項(xiàng)式有一定的局限性，因此已證明它們不是扭結(jié)的完全不變式。也就是說，我們?nèi)匀恍枰谘芯颗そY(jié)的道路上繼續(xù)努力，以找到更有效的多項(xiàng)式類型。

參考文獻(xiàn)：

[1]Colin Adams. The Knot Book[M].New York：W.H.Freeman，1993.

[2]Susan，Harris Gregory，Quenell. Knot Labelings and Knots Without Labelings[J]. Mathematical Intelligencer，1999（21）.

[3]The Jones polynomial for dummies[Z]. supported by NSF under Grant No. DMS-XYZ，2014.

[4]Weisstein，Eric W. Resolving Tree[EB/OL]. MathWorld：A Wolfram Web Resource.[2020-05-23]. https：//mathworld.wolfram.com/ResolvingTree.html.

編輯 張 慧