基于Kriging元模型的柴油機連桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

劉曉潔

（山西職業(yè)技術(shù)學院機械系，山西 太原 030006）

1 引言

發(fā)動機有三大核心部件，連桿是其中之一，連桿的主要任務(wù)是傳遞和轉(zhuǎn)化活塞往復(fù)運動為曲軸的旋轉(zhuǎn)運動和驅(qū)動力，并且連桿是作平面運動，因此減小其質(zhì)量至關(guān)重要[1-2]。基于有限元方法的連桿設(shè)計方法已經(jīng)普遍被工程師采用，然而在有限元分析找出薄弱環(huán)節(jié)后，憑經(jīng)驗對其進行修改，然后再進行有限元分析，這樣做不僅效率低而且很難找到最理想的結(jié)果。最近工程師又采用優(yōu)化技術(shù)尋找最優(yōu)的結(jié)果，然而由于有限元分析很耗時，并且其函數(shù)特性比較復(fù)雜，有時用優(yōu)化算法不能收斂[3-4]。采用正交試驗方法對連桿設(shè)計變量進行靈敏度分析，刪除不靈敏的設(shè)計變量，采用i-SIGHT平臺的序列二次規(guī)劃法進行優(yōu)化，獲得了合理結(jié)果[5]。采用有限元分析方法，對不同的邊界條件處理方法進行分析，其結(jié)果對連桿優(yōu)化設(shè)計有一定意義[6]。應(yīng)用ADAMS找出對連桿中動力影響較大的幾個參數(shù)，并用簡化的結(jié)構(gòu)表示剛體形狀，獲得了慣性力平衡的優(yōu)化數(shù)據(jù)[7]。將可靠性設(shè)計方法應(yīng)用于連桿結(jié)構(gòu)設(shè)計，將有限元法、優(yōu)化技術(shù)和可靠性分析結(jié)合起來，提高了連桿設(shè)計水平[8]。

應(yīng)用APDL語言參數(shù)化連桿，并進行靈敏度分析，在此基礎(chǔ)上采用Kriging建立連桿有限元的元模型，最后通過SQP優(yōu)化算法獲得連桿最優(yōu)化設(shè)計。

2 連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計模型

2.1 連桿結(jié)構(gòu)有限元分析模型

連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化首先需要參數(shù)化結(jié)構(gòu)有限元模型，常用的有限元分析軟件ANSYS具有自帶的參數(shù)化設(shè)計語言APDL，應(yīng)用該語言可以實現(xiàn)連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)化?？紤]連桿大小頭與曲軸和活塞的關(guān)聯(lián)性，連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的主要部位是桿身部位，并且對連桿進行了適當簡化，忽略了加強筋、油孔、過度圓角等局部結(jié)構(gòu)。連桿參數(shù)化選擇9個設(shè)計變量，如圖1所示。連桿材料40Cr，彈性模量為2.11e109Pa，泊松比為0.3，密度為7.8e103kg/m3，屈服強度為780MPa。模型選用solid45單元，控制整體網(wǎng)格尺寸為5mm，劃分網(wǎng)格獲得104587個四面體單元、21855個節(jié)點，如圖2所示。

圖1 連桿參數(shù)Fig.1 The Parameters of Connecting Rod

圖2 連桿組幾何模型和有限元模型Fig.2 The Geometric Model and Finite Element Model of Connecting Rod

2.2 優(yōu)化模型建立

以連桿桿身部位的9個參數(shù)化尺寸為設(shè)計變量，連桿總體積最小為目標函數(shù)，連桿最大等效應(yīng)力小于等于連桿材料的許用應(yīng)力，連桿小頭最大等效位移小于等于活塞銷與連桿襯套裝配間隙的一半，連桿大頭的最大等效位移小于等于曲柄銷與軸瓦的初始裝配間隙的一半。連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型為：

2.3 Kriging方法

元模型也稱為響應(yīng)面，或代理模型、模擬器、輔助模型等，實際上，元模型就是仿真模型的輸入和輸出之間的一種近似關(guān)系。Kriging是其中一種元模型。Kriging最早是由南非礦業(yè)工程師Krige提出來的，其是一種半?yún)?shù)化的插值模型，模型的預(yù)測精度與狀態(tài)函數(shù)的具體形式?jīng)]有關(guān)系，并且可以近似強非線性的問題。Kriging模型可表示為：

式中：fT（x）β—回歸模型；β—回歸系數(shù)；f（x）—隨機變量x的多項式函數(shù)，通常取常數(shù)，其取值的大小并不影響模型的近似精度。z（x）—隨機過程函數(shù)，反映局部偏差的近似，它的均值為0，方差，協(xié)方差矩陣為：

3 連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化算法及程序

3.1 SQP優(yōu)化算法

SQP優(yōu)化算法是Wilson于1963年提出來的。其具有全局收斂性和局部超線性收斂性的優(yōu)點，是用成熟的二次規(guī)劃問題來代替非線性約束問題進行優(yōu)化，非線性規(guī)劃最簡單的模型是二次規(guī)劃問題。SQP優(yōu)化算法步驟如下：

（1）設(shè)定初值 x（0），海森矩陣 H（0）和懲罰系數(shù) r>0，并且 k=0。

（2）目標函數(shù)和約束條件定義二次規(guī)劃問題。解該二次規(guī)劃問題，即能獲得 d（k）=x（k+1）-x（k）和拉格朗日乘子 u（k+1）。

（6）當收斂條件滿足時，停止計算.否則，k=k+1，返回（2）。

3.2 連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化流程

為了減輕連桿的質(zhì)量，減小其運動慣性力，以及進一步減小其動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變，需要對連桿進行優(yōu)化設(shè)計。然而直接基于連桿仿真模型的優(yōu)化，由于其仿真很耗時，由此尋找一種可以減小仿真規(guī)模而又不影響優(yōu)化結(jié)果的方法，即提出基于Kriging元模型的柴油機連桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。其具體流程，如圖3所示。

圖3 連桿結(jié)構(gòu)參數(shù)化優(yōu)化流程Fig.3 The Parametric Optimization Process of Connecting Rod

圖4 DV1-DV3的靈敏度Fig.4 The Sensitivity of DV1-DV3

圖5 DV4-DV6的靈敏度Fig.5 The Sensitivity of DV4-DV6

圖6 DV7-DV9的靈敏度Fig.6 The Sensitivity of DV7-DV9

參數(shù)化過程充分考慮了幾何結(jié)構(gòu)的可行性與連桿工作的狀態(tài)，應(yīng)用ANSYS自帶的參數(shù)化設(shè)計語言APDL，實現(xiàn)全自動化的參數(shù)過程；由于連桿有9個參數(shù)，為了進一步減小優(yōu)化規(guī)模，并減輕優(yōu)化器負擔，從靈敏度分析考慮進行減少參數(shù)數(shù)量。DV1、DV2、DV3設(shè)計變量與連桿體積（Volume）、最大應(yīng)力（Max Stress）、最大應(yīng)變（Max U）之間的關(guān)系，如圖4所示?？梢钥闯鯠V3對目標和約束均不敏感，可以考慮刪除；DV4、DV5、DV6設(shè)計變量與連桿體積（Volume）、最大應(yīng)力（Max Stress）、最大應(yīng)變（Max U）之間的關(guān)系，如圖5所示。可以看出DV4對目標和約束均不敏感，可以考慮刪除；DV7、DV8、DV9 設(shè)計變量與連桿體積（Volume）、最大應(yīng)力（Max Stress）、最大應(yīng)變（Max U）之間的關(guān)系，如圖6所示?？梢钥闯鯠V7對目標和約束均不敏感，可以考慮刪除。這樣參數(shù)化連桿的設(shè)計變量由9個變?yōu)?個，這樣可以減輕優(yōu)化器的負擔，而且可以提高效率。

通過拉丁超立方采樣獲得48個點，并仿真得到對應(yīng)的體積、最大應(yīng)力和最大位移，將其中30點及其仿真結(jié)果來建立Kriging模型，并利用另外18個點及其仿真結(jié)果來測試Kriging模型，測試結(jié)果，如圖7所示。最大位移誤差為14.48%，最大應(yīng)力誤差為12.31%，最大體積誤差為1.865%，由于最大誤差沒有超過15%，可以作為優(yōu)化模型進行優(yōu)化。

圖7 Kriging模型測試Fig.7 Kriging Model Testing

4 優(yōu)化設(shè)計結(jié)果及驗證

利用上述優(yōu)化方法對柴油機連桿進行了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。最初從幾何角度考慮，有9個設(shè)計參數(shù)，經(jīng)過靈敏度分析刪除3個設(shè)計參數(shù)，減輕了SQP優(yōu)化器的負擔。優(yōu)化迭代過程，如圖8所示。迭代過程的約束函數(shù)值變化，如圖9所示。考慮到初始值的影響，分別選取了5組初始值，優(yōu)化結(jié)果相同，其中給出一組初始值，如表1所示。從表1可知，目標函數(shù)值下降了7.2%，并且約束函數(shù)沒有違約，沒有超過材料許用應(yīng)力523.3MPa和最大等效位移為0.65mm。優(yōu)化前后應(yīng)力分析結(jié)果，如圖10所示。

圖8 目標值迭代過程Fig.8 The Iterative Process of Target Value

圖9 約束值變化過程Fig.9 The Change Process of Constraint Value

圖10 連桿優(yōu)化前后應(yīng)力應(yīng)變的比較Fig.10 The Stress and Strain Compared the Optimized with the Original.

表1 優(yōu)化結(jié)果Tab.1 The Optimization Results

5 結(jié)論

（1）使用APDL語言參數(shù)化，實現(xiàn)幾何建模、有限元劃分、邊界條件施加以及求解的全過程自動化處理，并進行了連桿參數(shù)靈敏度分析，連桿參數(shù)從9個變?yōu)?個，一定程度上可減輕優(yōu)化器負擔并加速收斂速度。（2）由于結(jié)構(gòu)仿真比較耗時，采用Kriging建立連桿結(jié)構(gòu)的代理模型，并對模型的正確性進行了驗證，如圖7所示。代理模型的建立僅僅進行了30次仿真，而優(yōu)化過程91次仿真，前者是對連桿有限元模型進行求解，后者是對代數(shù)模型進行求解，效率有明顯提高。（3）通過SQP優(yōu)化算法求解，獲得了連桿結(jié)構(gòu)的最優(yōu)值，并對最優(yōu)值的可行性進行了驗證。連桿質(zhì)量減少7.2%，最大等效靜態(tài)載荷為298.50MPa，在該桿身材料的許用應(yīng)力范圍之內(nèi)，最大等效位移為0.399mm，在該材料的彈性變形范圍之內(nèi)，達到了預(yù)期效果。