機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡的時間最優(yōu)智能規(guī)劃研究

蔡永超

（南陽農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院，河南 南陽 473000）

1 引言

隨著人工智能的發(fā)展和勞動力使用成本的上升，機(jī)械臂在工業(yè)中的應(yīng)用越來越廣泛。機(jī)械臂工作軌跡關(guān)系到自身安全、能量消耗、生產(chǎn)效率、生產(chǎn)精度等多個方面[1]，因此設(shè)計合理的機(jī)械臂軌跡規(guī)劃方法具有重要意義。

機(jī)械臂軌跡分為笛卡爾空間軌跡和關(guān)節(jié)空間軌跡，根據(jù)規(guī)劃目標(biāo)不同，可以將軌跡規(guī)劃分為時間最優(yōu)、能量最優(yōu)、沖擊最優(yōu)、多目標(biāo)規(guī)劃等[2]，研究的是關(guān)節(jié)空間軌跡的時間最優(yōu)規(guī)劃。根據(jù)規(guī)劃要求不同，關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃分為針對固定路徑的規(guī)劃和點對點規(guī)劃，針對固定路徑的規(guī)劃是指給定笛卡爾空間路徑，根據(jù)此固定路徑規(guī)劃出關(guān)節(jié)空間路徑；點對點路徑規(guī)劃是指根據(jù)任務(wù)情況，設(shè)定機(jī)械臂必須經(jīng)過的若干空間點。對于關(guān)節(jié)空間點對點的軌跡規(guī)劃，當(dāng)前已經(jīng)產(chǎn)生一些研究成果，文獻(xiàn)[3]使用粒子群算法和B樣條曲線規(guī)劃了機(jī)械臂軌跡，比初始值節(jié)省了2s左右；文獻(xiàn)[4]使用布谷鳥算法對空間機(jī)械臂進(jìn)行軌跡規(guī)劃，提高了軌跡平滑性和穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[5]使用5次非均勻有理B樣條曲線作為關(guān)節(jié)軌跡，使用NSGA-II算法給出了Pareto前沿解。上述方法均在一定意義下取得了較優(yōu)質(zhì)高效軌跡，但仍存在兩個方面的問題需深入研究：（1）點與點間軌跡使用的插值函數(shù)，即時間最優(yōu)軌跡未必包含在當(dāng)前所用插值方程的函數(shù)族中；（2）受優(yōu)化算法性能影響，搜索到的軌跡多為次優(yōu)軌跡而非最優(yōu)軌跡。

針對機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡的時間最優(yōu)規(guī)劃問題，建立了軌跡優(yōu)化模型，使用三次樣條曲線建立了軌跡基元模型，結(jié)合膜計算與粒子群算法，提出了膜計算-粒子群算法，將多種粒子群算法的優(yōu)勢融合在一起，達(dá)到了提高搜索精度和收斂速度的目的，將此算法應(yīng)用于機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，減少了機(jī)械臂運行時間，提高了機(jī)械臂運行效率。

2 問題建模與軌跡基元

2.1 問題描述與建模

研究內(nèi)容是機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間點對點軌跡的時間最優(yōu)規(guī)劃問題。根據(jù)機(jī)械臂活動范圍、任務(wù)需求和障礙物分布情況，制定機(jī)械臂工作過程中必須經(jīng)過的若干笛卡爾空間位姿點P0，P1，P2，…，Pm，P0為起始位姿，Pm為終止點位姿，使用運動學(xué)逆解求得相應(yīng)的關(guān)節(jié)空間點θ0，θ1，θ2，…，θm，θi＝｛θij｝，j＝1，2，…，n，n為機(jī)械臂關(guān)節(jié)角數(shù)量，然后使用插值函數(shù)依次經(jīng)過關(guān)節(jié)空間點 θ0，θ1，θ2，…，θm。優(yōu)化目標(biāo)是通過確定到達(dá)各關(guān)節(jié)空間節(jié)點的時間t0，t1，…，tm，使機(jī)械臂在滿足約束條件下使用最短時間依次經(jīng)過各關(guān)節(jié)空間節(jié)點。記hi=ti+1-ti表示機(jī)械臂在節(jié)點θi與θi+1間使用的時間，則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

機(jī)械臂軌跡規(guī)劃的約束條件包括角速度約束、角加速度約束、沖擊約束等，即：

式中：θj、θ—第j個關(guān)節(jié)角速度、角加速度、角加加速度；vjjmax、ajmax、Jjmax—第j個關(guān)節(jié)角速度、角加速度、角加加速度最大值。

通過式（1）～式（2）將機(jī)械臂點對點軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為帶約束優(yōu)化問題。為了解算出機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡，仍有兩個問題需要解決：一是給定點到點之間使用的軌跡基本單元（簡稱軌跡基元），二是對帶約束優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

2.2 軌跡基元

記關(guān)節(jié) j角位移-時間序列為｛（θ0j，t1），（θ1j，t2），…，（θmj，tm）｝，為保證機(jī)械臂平穩(wěn)運行，要求機(jī)械臂軌跡至少二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，使用三次樣條曲線作為軌跡基元進(jìn)行軌跡規(guī)劃。使用θj（t）在ti處的二階導(dǎo)數(shù)Aij構(gòu)造θj（t）曲線，由于θj（t）在［ti，ti+1］上為三次函數(shù)，則其二階導(dǎo)數(shù)為線形函數(shù)，即：

對式（3）進(jìn)行兩次積分，并使用邊界條件θj（ti）=θij和θj（ti+1）=θi+1，j定出積分常數(shù)，得到θj（t）為：

只要求解出式（4）中 Aij，i=0，1，…，m 的值就能夠唯一確定式（4）的表達(dá)式，即給出軌跡基元。

使用以下邊界條件和導(dǎo)數(shù)連續(xù)性條件：

可以得到以下線形方程組：

式（6）中 λi、μi、di分別為：

式（6）中系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則式（6）中Aij具有唯一確定解，將Aij代入到式（4）中即可求出軌跡基元方程。

3 膜計算-粒子群算法

由前文可知，若想給出軌跡基元函數(shù)，必須已知關(guān)節(jié)角位移-時間序列｛（θ0j，t1），（θ1j，t2），…，（θmj，tm）｝，其中關(guān)節(jié)角位移序列通過運動學(xué)逆解求得，對應(yīng)的時間序列通過前文建立的帶約束優(yōu)化模型求解得到。優(yōu)化問題求解包括下降類和演化類（也稱啟發(fā)搜索類）兩類方法，兩類方法各有優(yōu)缺點，演化類方法具有強(qiáng)大的搜索能力，提出膜計算-粒子群算法（Membrane Computing-PSO，MCPSO）用于求解優(yōu)化模型。

為了使機(jī)械臂依次經(jīng)過軌跡型值點（即給定點），則機(jī)械臂各關(guān)節(jié)必須在同一時刻到達(dá)相應(yīng)的關(guān)節(jié)角位置，即對于每個關(guān)節(jié)來講，時間序列｛t0，t1…，tm｝必須完全一致。

3.1 膜間合作機(jī)制

為了改善基本粒子群算法在某方面的性能，文獻(xiàn)[6]提出了適用于非線性多峰問題的中值引導(dǎo)粒子群算法（Median-oriented PSO，MPSO），文獻(xiàn)[7]提出了解決復(fù)雜多模態(tài)問題的多作用力粒子群算法（Multi Force PSO，MFPSO），文獻(xiàn)[8]提出了提高多峰問題搜索精度的兩階段作用力粒子群算法（Two-stage Force PSO，TFPSO）。為了將這些算法優(yōu)勢進(jìn)行融合，融合膜計算思想，提出了膜計算-粒子群算法。其原理框架，如圖1所示。從圖中可以看出，算法由四個基本膜組成，膜內(nèi)分別使用PSO、MPSO、MFPSO、TFPSO等算法進(jìn)行搜索，膜間使用處理器進(jìn)行算法淘汰、信息交流等。

圖1 膜計算-粒子群算法Fig.1 Membrane Computing-Particle Swarm Algorithm

膜間合作機(jī)制主要包括算法淘汰機(jī)制和信息交流機(jī)制兩個方面。算法淘汰機(jī)制為：算法在膜內(nèi)各自進(jìn)行搜索，每迭代10次將自身搜素到的最優(yōu)值提供給處理器，四個膜內(nèi)計算的目標(biāo)函數(shù)值分別記為 Top1、Top2、Top3、Top4，按照約定，目標(biāo)函數(shù)值越小則結(jié)果越優(yōu)，處理器從 T1、T2、T3、T4挑選出最大值 Tmax，則對應(yīng)的膜為此次評價最差膜，若連續(xù)3次被評價為最差膜，則此膜被其他膜吞并而被淘汰。吞并方法為：將被淘汰膜中較優(yōu)的前1/3粒子去取代另外3個膜內(nèi)靠后的粒子，盡量實現(xiàn)被淘汰膜內(nèi)前1/3粒子在另外3內(nèi)膜內(nèi)的均分。

信息交流機(jī)制為：為了使算法較充分尋優(yōu)后再進(jìn)行信息交流，規(guī)定算法每迭代20次進(jìn)行一次信息交流，每個基本膜將自身搜索到的前10個最優(yōu)粒子傳遞給處理器，處理器將此40或30個（若某個膜被淘汰）粒子由優(yōu)到差進(jìn)行排序。而后對基本膜內(nèi)算法的搜索能力進(jìn)行評價并排序，使用當(dāng)前粒子群的目標(biāo)函數(shù)平均值和最優(yōu)值Top進(jìn)行評判，為：

基本膜內(nèi)算法對應(yīng)的ET越大說明算法搜索能力越差，將算法按照搜索能力進(jìn)行排序，而后將粒子分配給基本膜，分配原則是較優(yōu)粒子分配給較差算法以提升其粒子整體進(jìn)化水平，具體操作方法為：最優(yōu)粒子分配給最差算法、次優(yōu)粒子分配給次差算法，如此按照基本膜數(shù)量為一個周期，進(jìn)行循環(huán)分配直至分配結(jié)束，完成信息交流。

3.2 膜內(nèi)更新機(jī)制

基本膜內(nèi)算法按照自身的速度和位置更新方法進(jìn)行更新，彼此之間相互獨立。

膜1內(nèi)為基本粒子群算法，速度和位置更新方法為[9-10]：

式中：ω—慣性權(quán)重；c1—自身學(xué)習(xí)因子；c2—群體學(xué)習(xí)因子；r1、r2—（0，1） 間的隨機(jī)數(shù)；t—迭代次數(shù)；—第 i個粒子第d維迭代t次時的位置和速度—第i個粒子迭代t次時在第d維的歷史最優(yōu)位置—粒子群迭代t次時在第d維的種群最優(yōu)位置。

膜2內(nèi)為中值引導(dǎo)粒子群算法，為了提高全局搜索能力算法中引入了加速因子：

中值引導(dǎo)粒子群算法的速度和位置更新方法為：

膜3內(nèi)為多作用力粒子群算法，速度和位置更新方法為：

式中：ω—慣性權(quán)重；cj、cg—學(xué)習(xí)因子；r1、r2、r3—（0，1）間的隨機(jī)數(shù)；α、β、γ—前中后期搜索切換系數(shù)。定義兩個切換因子t1、t2，當(dāng) t＜t1為算法前期則 α=1，β=γ=0；當(dāng) t1≤t＜t2為算法中期則β=1，α=γ=0；當(dāng) t≥t2為算法后期則 γ=1，α=β=0。B（i）為歷史最優(yōu)優(yōu)于xtid的個體，W（i）為歷史最優(yōu)優(yōu)于xtid的個體。

膜4內(nèi)為兩階段作用力粒子群算法，速度和位置更新方法為：

式中：μ、θ—算法前后期切換系數(shù)，記算法進(jìn)化停滯次數(shù)為lmax，當(dāng)t＜lmax時為算法前期，此時 μ=1、θ=0；當(dāng) t≥lmax時為算法后期，此時 μ=0、θ=1。

3.3 膜計算-粒子群算法流程

根據(jù)3.1節(jié)對膜間合作機(jī)制和3.2節(jié)對膜內(nèi)更新機(jī)制的描述，制定膜計算-粒子群算法流程，如圖2所示。

圖2 膜計算-粒子群算法流程Fig.2 Membrane Computing-Particle Swarm Algorithm Flow

4 仿真驗證與分析

對兩個方面進(jìn)行驗證：（1）驗證膜計算-粒子群算法的搜索能力和搜索速度；（2）驗證膜計算-粒子群算法在機(jī)械臂軌跡規(guī)劃中的性能。

4.1 膜計算-粒子群算法搜索能力測試

從常用于評價優(yōu)化算法性能的Benchmark函數(shù)中隨機(jī)選取兩個作為測試函數(shù)，測試函數(shù)表達(dá)式為：

式中：n—測試函數(shù)的維度，且兩個測試函數(shù)在定義域內(nèi)的極值分別為：

膜計算-粒子群算法參數(shù)設(shè)置中，對于不同粒子群算法共同函數(shù)的參數(shù)則取同一值，對于非公共參數(shù)則各自取值。算法參數(shù)設(shè)置為：加速常數(shù)c1=c2=c3=cj=cg=1.5，慣性權(quán)重ω=0.5，最大迭代次數(shù)tmax=500，種群規(guī)模為C=48，切換因子t1=50、t2=350，算法進(jìn)化停滯次數(shù)lmax=200，粒子維數(shù)為10。分別使用MPSO、MFPSO、TFPSO、MCPSO算法對測試函數(shù)最優(yōu)值進(jìn)行搜索，每種算法獨立運行10次，各算法平均值優(yōu)化結(jié)果隨迭代次數(shù)的變化過程，如圖3所示。從圖3中可以看出，膜計算-粒子群算法對兩種測試函數(shù)進(jìn)行搜索時均具有最少的迭代次數(shù)和最高的尋優(yōu)精度，統(tǒng)計四種算法10次獨立搜索結(jié)果的最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和尋優(yōu)時間，結(jié)果如表1所示。從圖3和表1中可以看出，膜計算-粒子群算法在測試函數(shù)定義域內(nèi)搜索極值時具有最快的收斂速度和最高的搜索精度，另外膜計算-粒子群算法的尋優(yōu)結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差最小，說明此算法性能最為穩(wěn)定，每次都能夠搜索到極優(yōu)的結(jié)果。這是因為通過基本膜之間的淘汰機(jī)制和信息交流機(jī)制，將基本膜內(nèi)各算法的優(yōu)勢融合在一起，使得膜計算-粒子群算法兼具各種算法的優(yōu)勢和長處，在對各類型測試函數(shù)尋優(yōu)時都能夠發(fā)揮極好的性能。

圖3 不同算法對測試函數(shù)的優(yōu)化過程Fig.3 Optimizing Process of Different Algorithm to Testing Function

表1 不同算法的尋優(yōu)結(jié)果統(tǒng)計Tab.1 Optimizing Result Statistics of Different Algorithms

4.2 機(jī)械臂軌跡規(guī)劃結(jié)果

以KLD-600多關(guān)節(jié)機(jī)械臂為仿真對象，對機(jī)械臂的3個關(guān)節(jié)進(jìn)行時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃，機(jī)械臂完成某種任務(wù)時的關(guān)節(jié)空間型值點，如表2所示。

表2 機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡型值點Tab.2 Mechanical Arm Joint Space Trajectory Model Point

根據(jù)3個關(guān)節(jié)的運動能力和驅(qū)動能力，分別設(shè)定3個關(guān)節(jié)的約束條件。關(guān)節(jié) 1：v1max=100，a1max=45，J1max=60；關(guān)節(jié) 2：v2max=95，a2max=40，J2max=60；關(guān)節(jié) 3：v3max=100，a3max=75，J3max=55。依據(jù)表 1 中數(shù)據(jù)，選擇性能靠前的多作用力粒子群算法與膜計算-粒子群算法進(jìn)行比較。按照需優(yōu)化的變量數(shù)，將粒子維度設(shè)置為7，算法其余參數(shù)與4.1節(jié)一致。兩種算法搜索的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代過程的變化，如圖4所示。對應(yīng)的粒子位置，如表3所示。

圖4 兩種粒子群算法的迭代過程Fig.4 Iteration Process of the Two PSO Algorithms

表3 兩種粒子群算法的優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimizing Result of the Two PSO Algorithms

由表2中數(shù)據(jù)可知，使用膜計算-粒子群算法規(guī)劃的軌跡耗時為14.412s，使用多作用力粒子群算法規(guī)劃的軌跡耗時為17.869s，比MCPSO算法的軌跡耗時多23.99%，另外由圖2可以看出，膜計算-粒子群算法迭代至55次時目標(biāo)函數(shù)值不再下降，而多作用力粒子群算法迭代至150次時目標(biāo)函數(shù)值收斂至局部最優(yōu)，不再變化。可以明顯看出，膜計算-粒子群算法在規(guī)劃結(jié)果的質(zhì)量和規(guī)劃速度方面遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于多作用力粒子群算法，這是因為膜計算-粒子群算法通過基本膜之間的算法淘汰和信息交流機(jī)制，有效將多種粒子群算法的優(yōu)勢融合在一起，使算法具有更強(qiáng)搜索能力和更快收斂速度。

使用膜計算-粒子群算法規(guī)劃的機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡及角速度，如圖5所示。

圖5 機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡Fig.5 Mechanical Arm Joint Space Trajectory

從圖5可以看出，膜計算-粒子群算法規(guī)劃的關(guān)節(jié)空間軌跡及角速度曲線均非常平滑，且在約束范圍內(nèi)，可以應(yīng)用于機(jī)械臂工作過程中。從關(guān)節(jié)角速度曲線可以看出，初始時刻和結(jié)束時刻的關(guān)節(jié)角速度均為0，滿足邊界約束條件。在圖5（a）中，橢圓圈出的部分為機(jī)械臂關(guān)節(jié)角變化極為緩慢的過程，這是因為只有所有關(guān)節(jié)角同時達(dá)到型值點，才能夠到達(dá)笛卡爾空間相應(yīng)的節(jié)點，此時關(guān)節(jié)角變化緩慢是在等待其他關(guān)節(jié)角到達(dá)要求位置。綜上所述，膜計算-粒子群算法規(guī)劃的機(jī)械臂軌跡平滑且滿足約束條件和邊界條件，可以應(yīng)用于機(jī)械臂工作過程中。

5 結(jié)論

針對機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡的最優(yōu)時間規(guī)劃問題，建立了規(guī)劃模型，提出了膜計算-粒子群算法進(jìn)行求解，經(jīng)過驗證得到了以下結(jié)論：（1）膜計算-粒子群算法通過膜間算法淘汰和信息交流，融合了多算法優(yōu)勢，具有更快收斂速度和更高搜索精度；（2）將膜計算-粒子群算法應(yīng)用于機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，降低了機(jī)械臂運行時間，提高了機(jī)械臂工作效率。