基于功率流理論的主動式動力吸振器控制方法

賈富淳，孟憲皆

（山東理工大學交通與車輛工程學院，山東 淄博 255000）

1 引言

動力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）又稱質(zhì)量阻尼器，是一種在實際工程中廣泛運用的振動控制手段，其基本原理為：在主振系上附加一個由彈簧、質(zhì)量塊和阻尼器組成的子系統(tǒng)，即DVA，調(diào)整DVA的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及與主系統(tǒng)的組合方式，從而減小主系統(tǒng)受迫振動的響應[1-2]。由于主系統(tǒng)附加DVA后形成的耦合系統(tǒng)會出現(xiàn)兩個新的共振頻率，當主系統(tǒng)的激振頻率發(fā)生變化與新的共振頻率相等時，系統(tǒng)會產(chǎn)生大幅度共振，該特性嚴重影響了DVA的吸振效果及應用范圍。因此，如何降低耦合系統(tǒng)的共振峰值及如何增大DVA的抑振帶寬成為一種有意義的研究方向，并且成為了近年相關(guān)學者的研究熱點。

為了提高DVA的性能，前人提出了Voigt式DVA[3]、三要素DVA[4]、接地式 DVA[5]、非線性 DVA[6]和連續(xù)參數(shù) DVA[7]等一些新結(jié)構(gòu)形式的DVA，以及組合式DVA[8]和多自由度DVA[9]等不同工作方式的DVA；對于DVA的優(yōu)化設計理論，相關(guān)學者也做了大量的研究，其參數(shù)優(yōu)化方法也從最基本的不動點理論發(fā)展為遺傳算法[10]、粒子群算法[11]等現(xiàn)代優(yōu)化算法，并且取得了顯著的研究成果。

雖然上述的各種方法都可以提高DVA的性能，但是，隨著現(xiàn)代機械的使用工況越來越復雜，被動式DVA使用的局限性越來越大。進入二十一世紀后，控制理論以及計算機的發(fā)展使得半主動DVA式及主動式DVA發(fā)展迅速，半主動式DVA即通過改變DVA質(zhì)量[12]、阻尼[13]和剛度[14]，使其固有頻率跟隨激振頻率的變化而變化，從而最大限度的提升DVA的性能，半主動式DVA具有吸振效果好、抑振頻帶寬、能源輸入少等優(yōu)點，但是在對大質(zhì)量主系統(tǒng)的振動進行控制時，為獲得好的控制效果，需要較重的質(zhì)量塊以及較大的安裝空間，這顯然是實際工程中不允許的。而主動式DVA在主系統(tǒng)和DVA之間直接施加作用力，可以在附加質(zhì)量較小的情況下獲得良好的吸振效果，文獻[15]提出一種電磁主動DVA，推導了控制力的傳遞函數(shù)，并進行了實驗研究；文獻[16]采用壓電材料作為主動式DVA的作動器；文獻[17]針對主動電磁DVA，開發(fā)了基于MLMS算法的自適應控制器，并應用到柴油機雙層隔振系統(tǒng)中，取得了很好的效果；文獻[18]采用主動電磁式DVA對大型空間桁架的結(jié)構(gòu)振動進行控制，設計了相應的控制算法，并通過仿真和實驗對控制效果進行了驗證；文獻[19]對DVA的控制策略進行了研究。但是，現(xiàn)有的主動DVA選取的控制目標大多都較為單一，無法完全反映主系統(tǒng)的振動信息，所以，需要一種能夠?qū)φ駝铀竭M行合理評價的控制目標，從而進一步提高主動DVA的性能。近年發(fā)展起來的功率流理論，綜合了力和速度的大小以及他們之間的相位關(guān)系，可以反映激勵注入系統(tǒng)能量的大小，適合作為主動式DVA的控制目標，國內(nèi)的文獻[20-23]對DVA的功率流傳遞特性有較多研究，但是對以功率流作為控制目標的主動式DVA的研究較少，且功率流的推導過程都較為籠統(tǒng)，沒有給出詳細解析式。

為了進一步提高主動式DVA的性能，在詳細推導輸入主系統(tǒng)凈功率流的基礎(chǔ)上，搜索各頻率下凈功率流的最小值及其對應的主動控制力，擬合后得到主動力的控制率。

2 DVA中的功率流傳遞特性

2.1 動力學分析

主動式DVA是在主系統(tǒng)與DVA之間添加作動器，使主系統(tǒng)與DVA間的作用力可控，其物理模型，如圖1所示。

圖1 主動式DVA物理模型Fig.1 Model of Active DVA

圖中：fc—由作動器產(chǎn)生的主動控制力；m1、k1、c1—主系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼；m2、k2、c2—DVA 的質(zhì)量、剛度和阻尼，以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點，則在主系統(tǒng)受到激勵F時，主系統(tǒng)位移為x1，DVA位移為x2，建立系統(tǒng)運動微分方程，寫為矩陣形式：

對式（1）兩邊同時進行傅立葉變換，可以得到系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)：

2.2 功率流計算

根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，可以得出系統(tǒng)在激勵力F與控制力fc同時作用下的速度響應，如圖1所示。

振動功率流的基本概念為，作用力做功的功率在時間上的平均，設f（t）在作用點產(chǎn)生的速度響應為v（t），則功率流的基本定義式為：

對于圖1所示系統(tǒng)，激勵力F輸入到系統(tǒng)的功率流為：

轉(zhuǎn)移到DVA的功率流由兩部分組成，一部分通過DVA的彈簧阻尼即通過力Fp發(fā)生轉(zhuǎn)移，另一部分通過控制力fc發(fā)生轉(zhuǎn)移，即：

正弦激勵力F=F0sin（ωt），為了控制耦合系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動，取控制力為 fc=f0sin（ωt+φ），將式（2）代入式（5）～式（7），整理后得：

則輸入到主系統(tǒng)的凈功率流為：

由式（8）可以看出，當系統(tǒng)及激振力頻率確定時，凈功率流Pd是控制力幅值f0和相位φ的二元函數(shù)。

3 主動力的控制率

當激勵頻率的范圍較大時，為了保證主動式DVA在整個頻率范圍內(nèi)都有較好的吸振效果，采用全局搜索的方法，尋找每個激勵頻率下，凈功率流幅值最小值及其對應的控制力幅值f0和相位φ。

對于已知系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)值Tab.1 System Parameter Values

激振力幅值F0=10N，編寫Matlab程序，得到不同激勵頻率下凈功率流的最小值，即在最優(yōu)主動力條件下輸入系統(tǒng)的凈功率流值，如圖2所示。

圖2 凈功率流值隨頻率變化Fig.2 Net Power Flow Varies with Frequency

由圖2可知，主動式DVA的主動力為最優(yōu)時，輸入主系統(tǒng)的凈功率流相較于被動DVA在整個頻率范圍內(nèi)都有大幅降低且抑振帶寬更寬。

對控制力幅值f0和相位φ的最優(yōu)值進行曲線擬合，得到以f0和φ為因變量，以激勵頻率ω為自變量的函數(shù)表達式：

擬合曲線與實際最優(yōu)值的對比圖，如圖3、圖4所示。由上圖可以看出，最優(yōu)值均勻分布在擬合曲線兩側(cè)，擬合效果較好，可以用式（9）和式（10）計算φ和f0，進而得到不同激勵頻率下的主動力控制率 f=f0sin（ωt+φ）。

圖3 相位角擬合曲線Fig.3 Phase Angle Fitting Curve

圖4 控制力幅值擬合曲線Fig.4 Control Force Amplitude Fitting Curve

4 仿真分析

4.1 頻域分析

對采用上文控制方法的主動式DVA進行數(shù)值仿真，其主系統(tǒng)凈功率流隨頻率變化，如圖5所示。由圖5可以看出，附加主動式DVA后，主系統(tǒng)的凈功率流值相較于凈功率流的最小值略有增加，是由于φ和f0在曲線擬合時存在誤差，但是相比于被動式DVA，輸入系統(tǒng)的凈功率流值在整個頻率范圍仍然有大幅降低。

圖5 凈功率流值隨頻率變化Fig.5 Net Power Flow Varies with Frequency

4.2 時域分析

當激勵力的頻率固定為3.5rad和5.8rad且激勵持續(xù)施加時，對主動式DVA進行仿真，得到系統(tǒng)的位移隨時間的變化曲線，如圖6、圖7所示。

圖6 激勵頻率為3.5rad時主系統(tǒng)位移隨時間變化Fig.6 Main System Displacement Changes with Time When the Excitation Frequency is 3.5 Rad

圖7 激勵頻率為5.8rad主系統(tǒng)位移隨時間變化Fig.7 Main System Displacement Changes with Time when the Excitation Frequency is 5.8rad

當對主系統(tǒng)施加隨機頻率的正弦激勵，得到主系統(tǒng)位移幅值隨時間變化曲線，如圖8所示。

圖8 隨機激勵頻率下主系統(tǒng)位移幅值隨時間變化Fig.8 Main System Displacement Varies with Time at Random Excitation Frequency

由以上仿真結(jié)果可以看出，主動式DVA具有更好的吸振效果，且當激勵頻率超出被動式DVA抑振帶寬，吸振效果惡化時，主動式DVA仍然有良好的吸振效果。

5 結(jié)論

提出一種用于主動式DVA的開環(huán)控制方法，采用與激勵力頻率相同，但幅值和相位不同的力作為主動控制力，搜索得到各激勵頻率下輸入系統(tǒng)凈功率流最小值及其對應控制力的幅值和相位，擬合后得到主動力的控制率，得到的具體結(jié)論如下：

（1）根據(jù)疊加原理，得到輸入主系統(tǒng)的凈功率流的解析表達式，表達式為控制力幅值和相位的二元函數(shù)。

（2）以激勵頻率為自變量，得到控制力幅值f0和相位φ的表達式，進而得到主動力控制率。

（3）相比于被動式DVA，采用該控制方法的主動式DVA的吸振效果更好，抑振帶寬更寬，且當激振力頻率隨機變化時，主動式DVA仍具有良好的吸振效果。