具有時(shí)滯和線性收獲項(xiàng)的偏利合作系統(tǒng)的Hopf分支

封 梟，呂堂紅，周林華

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院，吉林 長春 130022)

0 引 言

在種群生態(tài)學(xué)中，合作系統(tǒng)是一類非常重要的描述種群相互作用的系統(tǒng).許多學(xué)者對(duì)合作系統(tǒng)及其延展形式的動(dòng)力學(xué)行為如持久性、穩(wěn)定性、吸引性等展開了廣泛的研究，并取得了豐碩的成果[1-5].考慮到合作的種群雙方，存在著一種特殊的關(guān)系：種間相互作用僅對(duì)一方有利，而對(duì)另一方?jīng)]有影響(例如藤壺附生在螃蟹的背上，對(duì)藤壺有利而對(duì)螃蟹無利弊影響).于是，文獻(xiàn)[6]首次建立了偏利合作模型,分析了系統(tǒng)所有平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)存在唯一穩(wěn)定平衡點(diǎn)的結(jié)論.文獻(xiàn)[7-8]分別考慮了離散時(shí)滯和無窮時(shí)滯對(duì)偏利合作系統(tǒng)的影響，得到了系統(tǒng)全局吸引的充分條件.文獻(xiàn)[9-10]討論了具收獲項(xiàng)偏利合作系統(tǒng)，分析了收獲系數(shù)對(duì)種群滅絕、部分生存、全部生存的影響.以上的模型都是基于兩個(gè)種群進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[11]提出了三種群偏利合作系統(tǒng)

(1)

式中：x1(t),x2(t)和y(t)分別表示三種群在時(shí)刻的種群密度；ri>0(i=1,2,3)表示種群x1,x2和y的內(nèi)稟增長率；a11>0,a22>0和β>0分別表示三種群的密度制約系數(shù)；a12>0表示種群x2對(duì)種群x1的偏惠系數(shù)；k>0表示捕食者的最大環(huán)境容納量；α>0表示種群y對(duì)種群x2的捕食率.

文獻(xiàn)[11]給出了系統(tǒng)正平衡態(tài)與邊界平衡態(tài)存在的條件和全局漸近穩(wěn)定的證明.眾所周知，自然界中物種之間的相互影響具有延遲性，且滯后效應(yīng)會(huì)使系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜.因此，本文在系統(tǒng)(1)中引入時(shí)滯τ作為種群x2的妊娠期.考慮人為開采、捕撈等行為對(duì)種群的影響，引入種群x1和種群x2的線性收獲項(xiàng)，建立如下具線性收獲項(xiàng)的時(shí)滯偏利合作系統(tǒng)

(2)

式中：τ表示種群x2的妊娠期；h1x1(t)，h2x2(t)分別表示種群x1和種群x2的線性收獲項(xiàng)，且h1<0，h2<0；其他系數(shù)生物學(xué)意義同模型(1).

目前對(duì)模型(2)結(jié)合數(shù)值模擬分析周期解的研究結(jié)果較少，而這正是筆者要考慮的問題.本文將以滯量τ為分支參數(shù)，應(yīng)用零點(diǎn)定理[14]、規(guī)范型理論和中心流形定理，討論系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

1 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與局部Hopf分支的存在性

對(duì)于系統(tǒng)(2)，如果

(H1)β(r2+h2)>αkr3,r1+h1>0

經(jīng)計(jì)算，可得系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*的特征方程為

λ3+P1λ2+P2λ+(P3λ2+P4λ+P5)e-λτ+

P6e-2λτ+P7=0,

(3)

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(3)就變?yōu)?/p>

λ3+(P1+P3)λ2+(P2+P4)λ+

(P5+P6+P7)=0.

(4)

假設(shè)

(H2)P1+P3>0;

(H3)(P1+P3)(P2+P4)>P5+P6+P7.

那么，由Hurwitz判據(jù)[15]知方程(4)的所有根均具有負(fù)實(shí)部.

對(duì)方程(3)兩側(cè)同時(shí)乘以eλτ，得到

(λ3+P1λ2+P2λ+P7)eλτ+P3λ2+

P4λ+P5+P6e-λτ=0.

(5)

當(dāng)τ>0時(shí)，注意到iω(ω>0)為方程的一個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)ω滿足

(6)

于是

sinωτ=

(7)

cosωτ=

(8)

從而由sin2ωτ+cos2ωτ=1得到

K6ω12+K5ω10+K4ω8+K3ω6+K2ω4+

K1ω2+K0=0,

(9)

其中，Ki(i=0,1,2,…,6)的表達(dá)式為

P1P3)2+2P3(P2P3+P5-P1P4),

(P2P3+P5-P1P4)2+2(P4-P1P3)(P2P4+

P3P6-P1P5-P3P7),

(P2P4+P3P6-P1P5-P3P7)2+2(P2P3+

P5-P1P4)[P2P5-P4(P6+P7)],

[P2P5-P4(P6+P7)]2+2P5(P2P4+

P3P6-P1P5-P3P7)(P6-P7),

假設(shè)方程(9)存在正根，不失一般性，不妨設(shè)方程(9)的12個(gè)正根為ωk(k=1,2,…,12).于是由式(7)得

(10)

式中：k=1,2,…,12；j=0,1,2,….記

將λ(τ)代入方程(5)，兩端對(duì)τ求導(dǎo)，整理得

(11)

經(jīng)計(jì)算則有

其中

A3=ω0(2P6sinω0τ0-P4ω0),

假設(shè)

(H4)A1A3+A2A4>0.

因?yàn)?/p>

所以

由上述討論和Hale[12]的第11章的定理1.1可得

定理1對(duì)于系統(tǒng)(2)，如果(H1)～(H4)成立，則有

2 局部Hopf分支方向與穩(wěn)定性

本節(jié)針對(duì)τ>0的情形，運(yùn)用Hassard[13]的規(guī)范型理論和中心流形定理，給出系統(tǒng)(2)局部Hopf分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式.

對(duì)于每一個(gè)φ=(φ1,φ2,φ3)T∈C([-1,0],R3)，定義一個(gè)算子

Lμ(φ)=B1φ(0)+B2φ(-1),

(12)

其中

同時(shí)定義

F(μ,φ)=(τ0+μ)(F1(μ,φ),F2(μ,φ),F3(μ,φ))T,

其中

b13φ1(0)φ1(-1)+b14φ1(0)φ2(0)+

b11=0,b12=0,b13=-a11,b14=a12,b15=0,

b16=0,c11=-2a22,c12=-α,c13=0,

因此，由Riesz表示定理，可以構(gòu)造出如下的有界變差的二階矩陣

η(θ,μ),[-1,0]→R3×3,

使得

(13)

式中：η(θ,μ)=B1δ(θ)+B2δ(θ+1), 且δ(θ)為 Dirac-delta函數(shù).

對(duì)于φ∈C([-1,0],R3×3)，定義

(14)

和

(15)

于是，系統(tǒng)(2)可以改寫成如下的向量形式：

(16)

這里，u=(u1,u2,u3)T.

下面對(duì)于ψ∈C1([0,1],R3)，定義A=A(0)的伴隨算子A*為

(17)

對(duì)于φ∈C([-1,0],R3)，ψ∈C1([0,1],(R3)*), 定義一個(gè)雙線性形式為

(18)

接下來，設(shè)A和A*對(duì)應(yīng)于特征根iω0τ0與-iω0τ0的特征向量分別為q(θ)和q*(s)，于是

A(0)q(θ)=iω0τ0q(θ),

A*(0)q*(s)=-iω0τ0q*(s).

通過計(jì)算，可以得到

這里

設(shè)Xt是方程(16)在μ=0時(shí)的解，定義

z(t)=〈q*,Xt〉,

W(t,θ)=Xt(θ)-2Re{z(t)q(θ)}=

在中心流形Ω0上，有

(19)

(20)

由式(16)和式(19)，得

即

其中

通過比較系數(shù)得到

(2iω0-A)W20(θ)=H20(θ),-AW11(θ)=

H11(θ).

令

Xt(θ)=(x1t,x2t,yt)=W(t,θ)+

于是得到

通過與式(20)中的系數(shù)作比較，得到

(21)

其中，W20(θ)，W11(θ)的計(jì)算結(jié)果為

這里，E=(E1,E2,E3)T,F=(F1,F2,F3)T是三維常向量，它們?yōu)橄铝袃蓚€(gè)代數(shù)方程的解

于是，可以得到

(22)

(23)

式中：C1(0)由式(22)給出，易得出μ2,β2,T2的值.因此，有

定理2對(duì)于系統(tǒng)(2)，中心流形Ω0上由分支點(diǎn)τ0分支出的周期解可由公式(23)描述：

i)μ2確定Hopf分支的方向:μ2>0(μ2<0)，系統(tǒng)(2)的分支周期解為超臨界(次臨界)；

ii)β2確定分支周期解的穩(wěn)定性：β2<0(β2>0)，系統(tǒng)(2)的分支周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的；

iii)T2確定分支周期解的周期：T2>0(T2<0)，系統(tǒng)(2)的分支周期將逐漸增加(逐漸減小).

3 數(shù)值模擬

為了支持上面分析所得的理論結(jié)果，本節(jié)給出系統(tǒng)(2)在不同時(shí)滯下的數(shù)值模擬.

令系統(tǒng)(2)中的參數(shù)分別取值為：r1=1.5，r2=2.6，r3=1，k=0.8，a11=1，a12=0.15，a22=0.2，α=0.4，β=0.4，h1=-0.2，h2=-0.1.

則系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

(24)

很容易證明條件(H1)～(H4)成立，此時(shí)系統(tǒng)(24)的正平衡點(diǎn)

E*=(1.512 5,1.416 7,5.541 7).

圖1 和圖2 分別給出了系統(tǒng)(24)在τ<τ0和τ>τ0時(shí)的模擬結(jié)果.

圖1 當(dāng)τ=0.9<1.109 9=τ0時(shí)，系統(tǒng)(24)的波圖與相圖

由圖1 可見，當(dāng)τ=0.9<1.109 9=τ0時(shí)，系統(tǒng)(24)的正平衡點(diǎn)E*是漸近穩(wěn)定的；由圖2 可見，當(dāng)τ=1.15>1.109 9=τ0時(shí)，正平衡點(diǎn)E*失去穩(wěn)定性.由定理2知Hopf分支是超臨界分支，在τ>τ0時(shí)，分支周期解存在且周期解不穩(wěn)定.

圖2 當(dāng)τ=1.15>1.109 9=τ0時(shí)，系統(tǒng)(24)的波圖與相圖

4 結(jié) 論

本文以時(shí)滯τ為分支參數(shù)，研究了具時(shí)滯和線性收獲項(xiàng)的偏利合作系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.結(jié)果表明，在偏利合作系統(tǒng)中考慮種群x2的妊娠期以及種群x1和x2的線性收獲項(xiàng)，當(dāng)時(shí)滯τ足夠小時(shí)，系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；時(shí)滯τ增加，通過臨界值τ0時(shí)，系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，且在正平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分支并產(chǎn)生周期解.