走出“萬有引力與航天”理解的誤區(qū)*

勾俊華 袁錦成

(南京市雨花臺中學(xué) 江蘇 南京 210012)

萬有引力定律是航天工程中極為重要的物理定律，航天工程從方方面面影響到我們的日常生活，高中階段對萬有引力定律的學(xué)習(xí)更多涉及抽象的物理模型，學(xué)生在掌握并應(yīng)用萬有引力定律的過程中常會遇到以下難點(diǎn)或誤區(qū).

誤區(qū)一：k值由圍繞天體的質(zhì)量、軌道半徑和周期決定.

開普勒第三定律的內(nèi)容：所有行星軌道半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期二次方的比值都相等[1].在中學(xué)階段將橢圓軌道當(dāng)成圓軌道處理，內(nèi)容可以更改為：所有行星軌道半徑的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期二次方的比值都相等，表達(dá)式為

【例1】若地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的半長軸為R地，周期為T地；木星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的半長軸為R木，周期為T木；月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)軌道的半長軸為R月，周期為T月.

錯因分析：沒有弄清k值的決定因素.天體做圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，即F引=F向，則有

化簡得

由此可以看出，天體做圓周運(yùn)動的k值，由中心天體的質(zhì)量決定，與圍繞天體的質(zhì)量、軌道半徑和周期等因素都沒有關(guān)系.地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的中心天體是太陽，而月亮繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的中心天體是地球，兩者的k值是不同的.木星和地球所圍繞的中心天體都是太陽，兩者的k值是相同的.

誤區(qū)二：星球周圍的重力加速度是固定不變的.

很多學(xué)生認(rèn)為星球周圍的重力加速度是保持不變的，都等于星球表面的重力加速度.

【例2】如圖1所示，同一軌道平面內(nèi)的3顆人造地球衛(wèi)星A，B，C，速度大小分別為vA，vB，vC，已知軌道半徑rA

圖1 例2題圖

常見錯解：認(rèn)為衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力等于衛(wèi)星的重力，即

F向=G物

故

因為rA

所以得出vA

錯因分析：認(rèn)為雖然軌道半徑不同，但重力加速度保持不變.其實(shí)3顆人造地球衛(wèi)星A，B，C處的重力加速度是不同的，重力加速度來源于重力，而物體受到重力的原因是因為物體受到地球?qū)λ囊Γ豢紤]地球自轉(zhuǎn)時，可以認(rèn)為物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的引力，所以有F引=G物，即

則

由表達(dá)式可知，重力加速度隨著離地心距離的增大而減小.正確的解法是利用衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力等于萬有引力，即F引=F向，則

則有

因此，隨著軌道半徑的增大，線速度是減小的，即vA>vB>vC.

誤區(qū)三：發(fā)射速度為衛(wèi)星的運(yùn)行速度.

第一宇宙速度，指物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動的速度，其數(shù)值v=7.9 km/s.即要想成為一顆人造衛(wèi)星，其發(fā)射速度必須大于等于7.9 km/s.衛(wèi)星進(jìn)入軌道后，F(xiàn)引=F向，即

則有

由此可知當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入圓形軌道穩(wěn)定運(yùn)行時的速度一定小于7.9 km/s.衛(wèi)星在發(fā)射升空時，有外界的火箭推力，不能單純地認(rèn)為衛(wèi)星受到的地球引力等于衛(wèi)星的向心力，但是衛(wèi)星進(jìn)入圓形軌道后穩(wěn)定運(yùn)行時的向心力由地球的引力提供，這是發(fā)射速度和運(yùn)行速度最根本的區(qū)別所在.

【例3】如圖2所示，在地面上發(fā)射一個飛行器，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ并繞地球運(yùn)行，則在橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)衛(wèi)星的線速度大小范圍是多少？

圖2 例3題圖

常見錯解：認(rèn)為衛(wèi)星在橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度v應(yīng)滿足7.9 km/s

錯因分析：沒有分清發(fā)射速度和運(yùn)行速度的區(qū)別，不能看到橢圓軌道就認(rèn)為速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間，實(shí)際上其發(fā)射速度v滿足7.9 km/s

誤區(qū)四：赤道上物體比近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的線速度和向心加速度大.

設(shè)地球半徑為R，近地衛(wèi)星軌道半徑為r近，同步衛(wèi)星軌道半徑為r同，由于近地衛(wèi)星通常軌道半徑在200 km以下，和地球半徑相比較小，因而可近似認(rèn)為r近=R

【例4】如圖3所示，地球赤道上的物體e、近地衛(wèi)星p和同步衛(wèi)星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運(yùn)動.設(shè)e，p，q的線速度大小分別為v1，v2，v3，向心加速度分別為a1，a2，a3，比較三者速度和加速度大小.

圖3 例4題圖

常見錯解：以為所有物體做圓周運(yùn)動的向心力都由地球的引力提供，即

則

從而以為a與r2成反比，得出錯誤的結(jié)論a1>a2>a3.類似的，單純由

則有

錯因分析：學(xué)生在初學(xué)時會直接套公式，這是沒有養(yǎng)成良好的受力分析習(xí)慣導(dǎo)致的.由受力可知，赤道上的物體向心力來源不同于人造衛(wèi)星，解決這類問題的關(guān)鍵點(diǎn)是地球赤道上的物體e和同步衛(wèi)星q具有相同的角速度和周期，利用v=rω和a=rω2，從而得出v3>v1和a3>a1，而近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星可以利用引力等于向心力的規(guī)律對各參量進(jìn)行比較，綜上可以得出

v2>v3>v1a2>a3>a1

誤區(qū)五：天體之間的距離就為天體做圓周運(yùn)動的軌道半徑.

學(xué)生在初學(xué)時，對字母的含義理解不透，往往亂套公式，將天體之間的距離和天體做圓周運(yùn)動的軌道半徑混為一談.

【例5】宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，離其他天體非常遙遠(yuǎn)，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動，如圖4所示.已知雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的距離為L，求雙星的運(yùn)行周期T.

圖4 例5題圖

常見錯解：雙星間的引力提供了各自做圓周運(yùn)動的向心力，對質(zhì)量為m1的星體分析，則有

得出

錯因分析：對模型的認(rèn)識不清晰，將“雙星”模型和行星繞太陽做圓周運(yùn)動模型混淆，認(rèn)為雙星間的距離就是各自做圓周運(yùn)動的半徑.由圖5可知，r1+r2=L，而雙星間的引力提供了各自做圓周運(yùn)動的向心力，所以它們的向心力相等.

圖5 雙星間距為各自做圓運(yùn)動半徑之和

“雙星”模型還有一個重要的特征，就是它們的角速度和周期是相等的，所以可得

m1ω2r1=m2ω2r2

解得

對質(zhì)量為m1的星體分析，則有

得出

誤區(qū)六：衛(wèi)星在變軌前后加速度發(fā)生變化.

衛(wèi)星在A點(diǎn)變軌的示意圖，如圖6所示.

圖6 衛(wèi)星變軌示意圖

錯因分析：沒有弄清曲率半徑的變化，實(shí)際上線速度在增大的同時，軌道的曲率圓也在增大[2]，如圖7所示，軌道2的曲率圓半徑r2小于軌道1的半徑r1，其加速度是不變的.

圖7 衛(wèi)星變軌分析

在變軌前后的不同軌道，A點(diǎn)處衛(wèi)星的受力為地球?qū)ζ湟?/p>

根據(jù)牛頓第二定律可知

F引=ma

則

雖然衛(wèi)星從軌道2變軌至軌道1，但在A處，衛(wèi)星和地球的距離仍為r，所以衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過A點(diǎn)時的合加速度應(yīng)該等于它在軌道1上經(jīng)過A點(diǎn)時的合加速度.

衛(wèi)星在不同軌道的相切點(diǎn)向心加速度是否也相同呢？首先要弄清衛(wèi)星在一般橢圓軌道，速度發(fā)生變化的原理，如圖8所示，衛(wèi)星從遠(yuǎn)地點(diǎn)向近地點(diǎn)靠近時，引力分解為切向分力F1和法向分力F2，切向分力改變線速度的大小，使得線速度逐漸增大，法向分力改變線速度的方向，而法向加速度即為向心加速度，由法向分力提供.當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行至近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)時，地球?qū)λ囊ν耆途€速度垂直，引力沒有切向分力，而只有法向分力，即衛(wèi)星的向心力完全等于地球?qū)λ囊?，在變軌前后，引力不變則向心力也不變，即衛(wèi)星的向心加速度在不同軌道的相切點(diǎn)也是相同的.

圖8 衛(wèi)星在一般橢圓軌道的受力分析

既然衛(wèi)星在變軌前后的瞬間加速度不變，為什么衛(wèi)星會繞橢圓軌道運(yùn)動？分析圖9，若衛(wèi)星沿著曲率圓運(yùn)動很小一段距離到達(dá)C點(diǎn)，受力分析可知，衛(wèi)星受到地球的引力F引不指向曲率圓圓心，而是指向地心，F(xiàn)引產(chǎn)生切向分力F1和法向分力F2，不能使衛(wèi)星繞曲率圓做勻速圓周運(yùn)動，而使衛(wèi)星“偏離”曲率圓，沿著橢圓軌道，做變速曲線運(yùn)動.

圖9 衛(wèi)星繞橢圓軌道運(yùn)動原因分析

導(dǎo)致本章學(xué)習(xí)誤區(qū)的根源，在于學(xué)生研究對象不清，譬如“衛(wèi)星”和“地表的物體”、“重力加速度”和“向心加速度”等概念模糊.同時學(xué)生對研究對象的受力分析模糊不清，無法畫出衛(wèi)星的運(yùn)動軌跡等多方面因素，也是導(dǎo)致學(xué)生對所學(xué)公式“張冠李戴”的原因.教者在講授時要多方位、立體式引導(dǎo)學(xué)生對不同物理量加以深刻理解、指導(dǎo)學(xué)生畫出簡圖，使較為抽象的物理模型更加形象化，降低思維跨度，從而走出理解的誤區(qū).