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    基于模態(tài)振型和L1正則化的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

    2020-03-26 05:29:30
    關(guān)鍵詞:正則振型模態(tài)

    (福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院, 福建 福州 350118)

    為了保障安全性,許多重大工程結(jié)構(gòu)通過安裝結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)來實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)其服役期間安全狀況[1-5]。結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的重要內(nèi)容,近30年,基于動(dòng)力特性的損傷監(jiān)測(cè)研究有了重大的進(jìn)展,其基本原理為通過結(jié)構(gòu)損傷前后結(jié)構(gòu)模態(tài)信息的改變進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷診斷,采用的方法主要有模態(tài)應(yīng)變能法[6]、模態(tài)置信度判據(jù)法[7]、曲率模態(tài)法[8]、剛度法[9]、柔度法[10]等。其中,基于有限元模型的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法主要通過結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)提取的模態(tài)參數(shù)或損傷特征參數(shù),結(jié)合有限元模型,識(shí)別結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù),然后進(jìn)行損傷識(shí)別[11]。正則化方法是目前求解動(dòng)力學(xué)反問題的主流方法,如Tikhonov正則化[12]和奇異值分解法[13],等。這些方法的原理是基于2范數(shù)的正則化算法,存在對(duì)識(shí)別結(jié)果過度光滑的效果。而結(jié)構(gòu)局部損傷的特點(diǎn)是突變性和稀疏性,因此可將L1范數(shù)正則化方法運(yùn)用到求解結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的動(dòng)力學(xué)反問題,提高識(shí)別精度,改善求解過程的不適應(yīng)性[14-19]。

    為此,本文利用結(jié)構(gòu)模態(tài)振型,引入L1正則化,提出一種基于模態(tài)振型和L1正則化的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。

    1 結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法

    1.1 特征方程

    無損結(jié)構(gòu)用特征值方程描述結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性[14],即:

    (1)

    式中,K和M分別為整體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;ωi和Φi是無損結(jié)構(gòu)的第i階固有頻率和第i階振型;n為無損結(jié)構(gòu)的振型總數(shù)。

    當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí),其特征方程為:

    (2)

    1.2 單元損傷指標(biāo)

    以單元的剛度減少來定義損傷即:

    (3)

    (4)

    1.3 單元損傷方程

    (5)

    又知單元?jiǎng)偠染仃嚺c整體剛度矩陣的關(guān)系,如下:

    (6)

    (7)

    式中,N是單元總數(shù)。子矩陣ke是第e個(gè)單元對(duì)結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的貢獻(xiàn)。

    將式(4)代入式(7),則:

    (8)

    同理,第i階振型為:

    (9)

    假設(shè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣在損傷前后保持不變。這種假設(shè)在大多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中是可行的。取式(5)的轉(zhuǎn)置,將式(1)(8)(9)代入,得到的損傷方程如下:

    i=1,…,n且j=1,…,m

    (10)

    式(10)可以表示為:

    [S]{Δa}={ΔR}

    (11)

    式中靈敏度矩陣[S]的系數(shù)為:

    (12)

    右側(cè)殘差向量ΔR為:

    (13)

    2 稀疏正則化優(yōu)化算法

    設(shè)原始信號(hào)為{x},其長(zhǎng)度為l,假設(shè)通過線性映射[17]得到長(zhǎng)度為k的向量{y}:

    {y}=[Θ]{x}

    (14)

    式中,[Θ]稱為測(cè)量矩陣或感知矩陣,其維數(shù)為k×l。假設(shè){x}中只有s項(xiàng)(s≈k?l)非零,其他n-s項(xiàng)為零,當(dāng)k?l時(shí),未知數(shù)遠(yuǎn)多于方程數(shù),故式(14)為欠定方程組。

    根據(jù)稀疏恢復(fù)理論,{x}可以通過式(15)優(yōu)化求解:

    (15)

    利用l1范數(shù)代替l0范數(shù),將式(15)的非凸組合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸松弛問題求解:

    (16)

    實(shí)際應(yīng)用中,多數(shù)信號(hào)近似稀疏,而且信號(hào)測(cè)量過程中由于硬件設(shè)備等原因會(huì)引入噪聲,當(dāng)測(cè)量存在噪聲時(shí),壓縮感知測(cè)量過程表示為:

    {y}=[Θ]{x}+e

    (17)

    式中,e為測(cè)量誤差。

    x可通過求解如下l1優(yōu)化問題進(jìn)行重構(gòu):

    (18)

    由式(11)可進(jìn)一步得到[15,16]:

    [S]{Δa}={ΔR}={R0}-{RE}

    (19)

    式中,{R0}為無損結(jié)構(gòu)測(cè)得的特征值,{RE}為損傷結(jié)構(gòu)測(cè)得的特征值。

    式(19)建立了結(jié)構(gòu)單元損傷剛度變化系數(shù)向量{Δa}與測(cè)試的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)直接的關(guān)系,但{Δa}的維數(shù)遠(yuǎn)大于測(cè)點(diǎn)數(shù)目,即未知數(shù)遠(yuǎn)多于方程數(shù),式(19)為一病態(tài)的線性方程組,考慮到結(jié)構(gòu)單元損傷向量{Δa}具有稀疏性,只有少數(shù)損傷的結(jié)構(gòu)單元其值為非零,因此可通過式(20)優(yōu)化求解:

    (20)

    將式(19)代入(20)中:

    (21)

    式中,R({Δa})=[S]{Δa}+{RE}。

    式(21)可轉(zhuǎn)化為無約束最小化問題:

    (22)

    式中,拉格朗日乘子β為正則化參數(shù)且大于0。

    一般采用優(yōu)化方法求解式(22),傳統(tǒng)的模型修正方法是采用L2正則化方法,即:

    (23)

    采用L2正則化方法常常導(dǎo)致結(jié)果過于光滑,這與實(shí)際損傷的稀疏性不符,為此,本文采用式(22)作為收斂方程,且考慮到損傷值的非負(fù)性,增加限定條件0≤Δa≤1。

    3 數(shù)值算例分析

    3.1 簡(jiǎn)支梁數(shù)值模擬

    建立簡(jiǎn)支梁有限元模型,簡(jiǎn)支梁總長(zhǎng)6 m,含15個(gè)單元,彈性模量E=32 GPa,密度ρ=2 500 kg/m3。模型如圖1所示。

    為了研究方法的有效性,設(shè)置種損傷工況,工況模擬見表1。其中,結(jié)構(gòu)損傷主要根據(jù)模擬剛度降低。為了研究噪聲的影響,本文在工況3中對(duì)振型添加了1%的噪聲水平,即:

    z=za×(1+εR)

    (24)

    式中,za和z分別代表原始信號(hào)和噪聲污染后的振型;R是均值為0,偏差為1的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù);ε是噪聲水平為1%。

    正則化參數(shù)β采用L曲線法確定,取0.1。

    圖1 簡(jiǎn)支梁模型Fig.1 Model of the simply-supported beam

    表1 損傷工況模擬

    3.2 計(jì)算結(jié)果

    取n=4個(gè),m=3個(gè)((n×m)

    3.3 振型數(shù)對(duì)識(shí)別影響分析

    為進(jìn)一步研究無損結(jié)構(gòu)的振型數(shù)n、損傷結(jié)構(gòu)的振型數(shù)m以及二者的總振型數(shù)對(duì)損傷識(shí)別結(jié)果的影響對(duì)3種損傷工況展開分析。

    圖2 3種損傷工況下的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.2 Identified damage results of three cases

    表2為無損結(jié)構(gòu)的振型數(shù)n∈[1,6],損傷結(jié)構(gòu)的振型數(shù)m∈[1,6]時(shí)工況1的識(shí)別結(jié)果。從表2可以看出,針對(duì)單損傷工況,無損結(jié)構(gòu)和損傷結(jié)構(gòu)的振型數(shù)對(duì)識(shí)別結(jié)果均無影響,基于L1正則化的損傷識(shí)別方法均可精確地識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。

    表3為損傷工況2在不同振型數(shù)下的損傷識(shí)別結(jié)果。從表3可見,當(dāng)n×m為1×1,1×2,1×3時(shí),單元2識(shí)別值的相對(duì)誤差達(dá)到100%,識(shí)別錯(cuò)誤。分析原因?yàn)閚與m的值均較小時(shí),提供信息較少,且損傷單元有2個(gè),工況較為復(fù)雜,故識(shí)別結(jié)果較差。對(duì)于剩余振型數(shù),單元2和單元8的識(shí)別誤差最大分別為0.5%和16.5%,均小于20.0%,且大多數(shù)情況相對(duì)誤差為0,故本文方法可以較準(zhǔn)確地識(shí)別出損傷位置與損傷程度。

    表4為損傷工況3在不同振型數(shù)下的損傷識(shí)別結(jié)果。從表4可知,當(dāng)損傷結(jié)構(gòu)的振型數(shù)為1或無損結(jié)構(gòu)的振型數(shù)為1時(shí),識(shí)別誤差為100%,但當(dāng)n×m>4時(shí),不再出現(xiàn)識(shí)別值為0的情況,隨著n和m的不斷增加,識(shí)別精度逐漸提高。當(dāng)n×m≥6時(shí),單元2檢測(cè)值的最大誤差為0.8%,單元8檢測(cè)值的最大誤差為0.5%,單元12檢測(cè)值的最大誤差為2%,均小于20%,處于可接受的范圍。故建議通過本文所提方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別時(shí),n×m可取大于等于6。

    表2 損傷工況1損傷識(shí)別結(jié)果

    表3 損傷工況2損傷識(shí)別結(jié)果

    表4 損傷工況3損傷識(shí)別結(jié)果

    4 結(jié)語

    1)對(duì)于單損傷工況和多損傷工況,基于模態(tài)振型和L1正則化的方法均可有效地定位結(jié)構(gòu)損傷和量化損傷程度。

    2)隨著所采用的結(jié)構(gòu)損傷模型與有限元模型的振型數(shù)的增加,結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別精度有所提高;但較少的模態(tài)數(shù)據(jù)(模態(tài)振型數(shù)為1時(shí)),識(shí)別效果不理想,甚至出現(xiàn)誤判現(xiàn)象。

    3)損傷單元數(shù)導(dǎo)致所需的結(jié)構(gòu)損傷模型與有限元模型的振型數(shù)均不同,總體而言,當(dāng)n×m≥6,可以達(dá)到實(shí)際應(yīng)用要求。

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