差分方程模型的離散化改進(jìn)

解玖霞

東營職業(yè)學(xué)院 山東 東營 257091

在現(xiàn)實(shí)世界中，有許多量是連續(xù)變化的，如氣溫的變化，動植物的生長等。另外還有許多量是離散變化的。例如，一個國家地區(qū)人口數(shù)量的變化，動物種群數(shù)量的變化，銀行存款的變化等。研究離散變量的性態(tài)則是以差分為工具的，研究連續(xù)變量的性態(tài)是以微分為工具的，有些連續(xù)的微分方程可以通過“離散化”轉(zhuǎn)化為離散的差分方程來求解。差分方程在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛，而且通過迭代法易于求解，下面研究不同模型及其改進(jìn)方法。

1 捕食—被捕食模型

設(shè)在一個海島上考察狐貍——野兔生態(tài)系統(tǒng)。狐貍吃野兔，野兔吃草(假設(shè)草總是充足的)。野兔(被捕食)的數(shù)量取決于兩個方面：自身數(shù)量與狐貍(捕食)的數(shù)量。狐貍的數(shù)量也取決于兩個方面：自身數(shù)量與野兔數(shù)量。其中一個群體的改變必然引起另一群體的改變。從而狐貍——野兔生態(tài)系統(tǒng)隨著時間而變化出現(xiàn)反復(fù)循環(huán)。

首先將時間離散化為時段，每個時段之間相差一個單位，即每個Δn=1。設(shè)第n個時段后野兔的數(shù)量為xn，狐貍的數(shù)量為yn，與微分方程作 類 似 的 分 析，可 得 離 散 的 捕 食 模 型 (差 分 方 程 組)為Δxn=xn+1-xn=xn(a-byn)，Δyn=yn+1-yn=yn(hxn-c).

其中a、c表示另一個種群不存在時的常數(shù)增長率，b、h表示捕食系數(shù)(a、b、c、h＞0)。

2 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型

在完全競爭的市場經(jīng)濟(jì)中，商品的價格是由市場的供求關(guān)系決定的，商品越多，價格越低。例如，某城市的蔬菜供應(yīng)，第一年供應(yīng)量很少，求大于供，菜價就隨供應(yīng)量減少而迅速上升，第二年農(nóng)民大量種植，出現(xiàn)了供大于求，種植者賠了本，第三年可能菜又少了，這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系引起了市場上的價格和數(shù)量的必然波動，這種波動越小越好，如果波動太大就會影響人民群眾的正常生活?，F(xiàn)建立“蛛網(wǎng)模型”，對上述現(xiàn)象進(jìn)行分析。

首先，將時間離散化分為時段，一個時段相當(dāng)于生產(chǎn)商品的1 個周期，設(shè)n時段商品的價格是pn，數(shù)量是qn。在n時段價格取決于數(shù)量，價格pn是數(shù)量qn的函數(shù)，由于數(shù)量越多(或少)，價格就越低(或高)，故此函數(shù)為減函數(shù)——需求函數(shù)f。在n+1時段，數(shù)量取決于前一時段的價格，數(shù)量qn+1是價格pn的函數(shù)，由于前一時段價格越高(或低)，后一時段生產(chǎn)的數(shù)量就越多(或少)，故此函數(shù)為增函數(shù)——供給函數(shù)g。

f、g兩個函數(shù)的交點(diǎn)P0(p0，q0)稱為平衡點(diǎn)，為簡單，不妨設(shè)這兩個函數(shù)是線性函數(shù)。

與前面模型比較，穩(wěn)定條件由ab＜1變?yōu)閍b＜2顯然改進(jìn)蛛網(wǎng)模型保持經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定的參數(shù)a，b 的范圍放大了，對市場經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定起著有利影響。

3 離散的阻滯增長模型

y 0=1 y 4=15.762≈16 y 8=200.504≈201 y 12=499.863≈500 y 1=1.998≈2 y 5=31.027≈31 y 9=320.604≈321 y 13=499.999≈500 y 2=3.988≈4 y 6=60.129≈60 y 10=435.634≈436 y 14≈500 y 3=7.944≈8 y 7=113.027≈113 y 11=491.714≈492

實(shí)際上這是一階非線性差分方程。比例系數(shù)k稱為傳染率。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過畫△yn關(guān)于yn(500-yn)的圖形——近似直線，k就是這條近改數(shù)據(jù)直線的斜率。如果已知每天的傳染率k=0.002，則由迭代法容易算得每天被感染的學(xué)生數(shù)(見下表)。根據(jù)所提供的信息，學(xué)校醫(yī)院應(yīng)采取相應(yīng)對策——開始的一周內(nèi)盡量控制流感蔓延。

差分方程不僅是一種讓連續(xù)模型易于計(jì)算的有力工具，同時這也是擬合現(xiàn)實(shí)的有力工具，因?yàn)閷?shí)際數(shù)據(jù)很多時候并不能用連續(xù)的思維來解釋，研究者也不能僅憑N＞1000等一些刻板教條的表象就認(rèn)為自己手中的數(shù)據(jù)符合中心極限定理；特別是在計(jì)算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展的今天，隨著硬件方面如GPU 等新型處理技術(shù)的普及和深度學(xué)習(xí)軟件方面的突破，通過差分方程來擬合、求解現(xiàn)實(shí)問題已成為當(dāng)下的趨勢。