基于虛擬陣元冗余平均的對稱嵌套MIMO雷達DOA估計

張宇樂, 胡國平, 周 豪, 朱明明, 趙飛龍

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安， 710051； 2.93951部隊， 青海格爾木， 816000)

MIMO雷達[1]具有良好的空間、頻率、波形分集特性，能形成有效的大觀測孔徑，對增大虛擬陣元孔徑[4]、優(yōu)化檢測和跟蹤性能[5]、提高測向分辨力和精度[7]等具有重要意義，陸續(xù)有學(xué)者從DOA估計、多參數(shù)聯(lián)合估計、非理想陣列條件下陣列參數(shù)估計等方面系統(tǒng)開展了MIMO雷達測向研究。傳統(tǒng)MIMO雷達通常采用密布均勻線陣(Uniform Linear Array, ULA)作為發(fā)射和接收陣列進行DOA估計，其回波信號模型中的虛擬陣元個數(shù)受到物理陣元數(shù)限制，導(dǎo)致陣列的DOA估計性能受陣列孔徑影響。嵌套陣[8](Nested Array, NA)的高自由度特征可以突破物理陣元個數(shù)的限制，有效提高陣列孔徑，并且能得到確定的陣元位置和自由度閉式解。為提高嵌套陣虛擬陣元數(shù)，文獻[9]建立了超級嵌套陣結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)具有傳統(tǒng)嵌套陣的所有優(yōu)勢，同時有效降低了陣元間互耦。文獻[10]通過引入附加陣元建立了改進嵌套陣結(jié)構(gòu)，自由度得到較大提升。上述算法僅僅利用了稀疏陣矢量化后形成的“差聯(lián)合陣列”來擴展有效孔徑，自由度擴展有限。MIMO雷達能夠通過匹配濾波得到“和聯(lián)合陣列”，實現(xiàn)虛擬孔徑的擴展，將嵌套陣列與MIMO雷達體制結(jié)合，便可實現(xiàn)從“差聯(lián)合陣列”到“和差聯(lián)合陣列”的轉(zhuǎn)變，從而進一步提升系統(tǒng)自由度。因此，將嵌套陣列與MIMO雷達體制結(jié)合起來開展多目標(biāo)測向具有重要的理論意義和應(yīng)用前景。

文獻[11]采用二階嵌套MIMO雷達，其發(fā)射和接收陣列均為二階嵌套陣，增大了系統(tǒng)自由度，但其“和聯(lián)合”陣列條件下的虛擬陣元存在不連續(xù)的問題，解決方法是選取連續(xù)的虛擬陣元進行DOA估計，但會損失掉離散虛擬陣元，自由度性能未得到充分利用。文獻[12]通過設(shè)計發(fā)射和接收陣元間距，提出一種優(yōu)化嵌套MIMO的無孔差合陣列，但其“和聯(lián)合陣列”也不連續(xù)。文獻[13]將嵌套子陣重新排在嵌套陣的兩側(cè)，提出了一種高自由度低復(fù)雜度的增強嵌套陣，并給出了實際陣元位置的4種形式。

綜合考慮自由度、連續(xù)虛擬陣元等因素，本文提出一種對稱嵌套陣結(jié)構(gòu)，其發(fā)射陣列和接收陣列分別由2個以零點為參考中心布列的密布均勻線陣和稀疏均勻線陣組成，該陣列結(jié)構(gòu)將傳統(tǒng)虛擬陣元由“差聯(lián)合”結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為對稱“和聯(lián)合”結(jié)構(gòu)形式，形成的連續(xù)虛擬陣元數(shù)多，因此其可估計的目標(biāo)數(shù)更多，角度估計性能更好，且接收陣元間距變大，互耦率更低，有助于提高測向精度。另外，針對現(xiàn)有算法都是刪除“和差聯(lián)合”陣列形成的重復(fù)虛擬陣元而丟失數(shù)據(jù)信息的問題，本文通過冗余平均處理后重構(gòu)Toeplitz矩陣[14]，結(jié)合MUSIC算法實現(xiàn)DOA估計。該算法可以在不損失陣列有效孔徑的條件下實現(xiàn)更多目標(biāo)的DOA估計。

1 對稱嵌套MIMO雷達系統(tǒng)模型

考慮單基地收發(fā)分置系統(tǒng)，對稱嵌套MIMO雷達系統(tǒng)見圖1，將2個均勻線陣以原點為中心對稱布列，發(fā)射陣列由密布均勻線陣組成，共有Mt=4M-1個陣元，陣元間距為d；接收陣列由稀疏均勻線陣組成，共有Nr=2N-1個陣元，陣元間距為2Md，d為單位陣元間距，一般等于半波長λ/2，λ為信號波長。

圖1 單基地對稱嵌套MIMO雷達結(jié)構(gòu)圖

假設(shè)空間中存在K個遠場點目標(biāo)，第k(k=1,2,…,K)個目標(biāo)的波達方向和反射系數(shù)分別為θk和βk，則單基地對稱嵌套MIMO雷達回波信號模型可表示為：

(1)

式中：b(t)=[b-(2M-1)(t),…,b(-1)(t),b0(t),b1(t),…,b(2M-1)(t)]T為發(fā)射信號；w(t)=[ω-(N-1)(t),…,ω(-1)(t),ω0(t),ω1(t),…,ω(N-1)(t)]T為接收陣元處的加性高斯白噪聲；αt(θk)和αr(θk)分別為第k個目標(biāo)的發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量，具體可表示為：

αt(θk)=[ej2πdQsin θk/λ,…,1,…e-j2πdQsin θk/λ]T

αr(θk)=[ej2π(2Md)Psin θk/λ,…,1,…e-j2π(2Md)Psin θk/λ]T

(2)

式中：Q=2M-1；P=N-1。

利用MIMO雷達發(fā)射波形為相互正交脈沖信號，即Rb=E[b(t)b(t)H]=I4M-1的特點,將回波信號進行廣義匹配濾波可得：

[αt(θ1)?αr(θ1),…,αt(θK)?αr(θK)]s(t)+

n(t)=(At⊙Ar)s(t)+n(t)

(3)

式中：At=[at(θ1),at(θ2),…,at(θK)]；Ar=[ar(θ1),ar(θ2),…,ar(θK)];s(t)=[β1,β2,…,βK]T；n(t)為加性高斯白噪聲矢量；?和⊙分別表示Kronecker積和Khatri-Rao積。

根據(jù)式(3)可得回波信號的協(xié)方差矩陣為：

R=E[x(t)x(t)H]=

(4)

向量化協(xié)方差矩陣R可得：

r=vec(R)=

(5)

式中：vec(·)表示向量化運算；

(6)

2 對稱嵌套MIMO雷達虛擬陣元擴展

如圖1所示，可得發(fā)射陣列陣元位置集合St為：

(7)

接收陣列陣元位置集合Sr為：

(8)

由式(3)可知，矩陣A=At⊙Ar的虛擬陣元位置由物理陣元位置的“和聯(lián)合陣列”組成。具體分為以下4種情況：

(9)

由式(6)可知，矩陣A*⊙A的虛擬陣元位置由物理陣元位置的“和差聯(lián)合陣列”組成。即：

(10)

通過以上分析可知，“和聯(lián)合陣列”和“和差聯(lián)合陣列”可以實現(xiàn)對稱嵌套MIMO雷達虛擬孔徑擴展，進一步提升自由度。

3 DOA估計

3.1 非相干目標(biāo)DOA估計

根據(jù)式(9)，可從式(3)中選取與擴展后的虛擬陣元位置對應(yīng)的數(shù)據(jù)，重新排列后建立新的觀測矢量：

x0(t)=A0s(t)+n0(t)

(11)

式中：A0=[a0(θ1),…,a0(θK)]，n0(t)為對應(yīng)位置的噪聲矢量，且a0(θk)=[ej2πdZsinθk/λ,…,1,…,e-j2πdZsinθk/λ]T，其中，Z=2MN-1。

由式(11)可得協(xié)方差矩陣為：

(12)

因此，通過“和聯(lián)合陣列”估計非相干目標(biāo)，可對式(12)進行特征值分解，然后采用MUSIC算法進行DOA估計。

非相干目標(biāo)DOA估計也可以從“和差聯(lián)合陣列”角度求解，將A*⊙A中虛擬陣元進行冗余平均，并按照虛擬陣元位置從小到大重新排序，可構(gòu)造(8MN-3)×K維的方向矩陣A1：

[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]

(13)

式中：Lε(1≤ε≤8MN-3)為式(10)中第ε個虛擬陣元位置的冗余度，即“和差聯(lián)合”陣列中虛擬陣元出現(xiàn)的次數(shù)；Bε(θk)為A*⊙A中能形成同一虛擬陣元位置的導(dǎo)向矢量的疊加；a(θi)=[e-jβiz1,e-jβiz2,…,e-jβiz8MN-3]，其中βi=2πsinθi/λ，zε(1≤ε≤8MN-3)為虛擬陣元位置。

此時，相應(yīng)的回波信號矢量為：

(14)

為充分利用擴展的虛擬陣元，利用r1建立Toeplitz矩陣如下：

(15)

式中：

(16)

式中：zε和zμ均為虛擬陣元位置，ε,μ=1,2,…,8MN-3(ε+μ≤8MN-3),則式(15)可以寫成矩陣的形式：

(17)

式中：pi為p中的第i個元素；nε為第ε個虛擬陣元中的高斯白噪聲。

(18)

(19)

(20)

總結(jié)本文算法的具體步驟，見表1。

表1 基于虛擬陣元冗余平均的對稱嵌套MIMO雷達DOA估計算法算法步驟

3.2 全相干目標(biāo)DOA估計

全相干目標(biāo)DOA估計，采用“和聯(lián)合”陣列求解。根據(jù)式(12)，可利用空間平滑技術(shù)結(jié)合MUSIC算法求解目標(biāo)角度，但會損失擴展的虛擬陣元孔徑。因此，本文采用1-SVD算法[15]進行DOA估計。此時，全部的虛擬陣元都可以利用，角度估計性能更佳，具體步驟見表2。

表2 1-SVD算法步驟

步驟1:根據(jù)式(11)獲得觀測矢量x0(t);步驟2:對觀測矢量x0(t)進行奇異值分解;步驟3:對觀測矢量x0(t)和稀疏信號進行降維(觀測矢量維度由陣元數(shù)×快拍數(shù)降為陣元數(shù)×信源數(shù),稀疏信號維度由網(wǎng)格數(shù)×快拍數(shù)降為網(wǎng)格數(shù)×信源數(shù));步驟4:求稀疏信號的?1范數(shù);步驟5:利用CVX工具箱進行凸優(yōu)化處理,求得目標(biāo)角度。

通過“和差聯(lián)合陣列”進行全相干目標(biāo)DOA估計時，單快拍測量矢量r的虛擬陣列方向矩陣中不同導(dǎo)向矢量之間由Khatri-Rao積關(guān)系變?yōu)镵ronecker積，信源協(xié)方差矩陣由對角陣變?yōu)閴K對角陣，其非主對角元素為非零值。因此，需要估計更多的元素，導(dǎo)致其難以應(yīng)用于全相干目標(biāo)的測向。

4 克拉美羅界(Cramér-Rao Bound, CRB)

定義DOA角度矢量為：

η=[θ1,θ2,…,θK]T

(21)

由文獻[15]可知Fisher信息矩陣的第i行第j列元素為：

(22)

式中：tr[·]表示矩陣的跡；ηi和ηj分別表示矢量的第i個和第j個元素。

假設(shè)

(23)

則式(22)可表示為：

(24)

其中，

(25)

Ad=D*⊙A+A*⊙D

(26)

(27)

由于R為正定矩陣，(R?R)-1和(R?R)-1/2均為正定矩陣。則式(24)可寫為：

FIM=LFHF

F=(R?R)-1/2ΑdP0,P0=blkdiag[Rs,Rs]

(28)

由此可得DOA估計方向的CRB為：

(29)

5 仿真實驗和結(jié)果分析

5.1 場景設(shè)定

假設(shè)單基地對稱嵌套MIMO雷達的發(fā)射和接收陣列的陣元數(shù)分別為Mt=7，Nr=5，即M=2，N=3，相應(yīng)地設(shè)定傳統(tǒng)MIMO雷達的發(fā)射陣列和接收陣列陣元個數(shù)分別為6，二階嵌套MIMO雷達發(fā)射陣列和接收陣列均采用6陣元的嵌套陣，DOA估計的均方誤差(RMSE)的計算表達式為(共200次蒙特卡洛實驗):

(30)

5.2 自由度和互耦率

5.2.1 自由度

表3給出了“和聯(lián)合陣列”和“和差聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下傳統(tǒng)MIMO、二階嵌套MIMO和對稱嵌套MIMO 雷達的物理陣元數(shù)、連續(xù)虛擬陣元數(shù)和總虛擬陣元數(shù)。從表3中可以看出，3種MIMO雷達物理陣元數(shù)相同，但對稱嵌套MIMO雷達在“和聯(lián)合陣列”條件下能夠獲得更多的連續(xù)虛擬陣元和總陣元數(shù)。對于向量化的樣本協(xié)方差矩陣，二階嵌套MIMO和對稱嵌套MIMO雷達得到相同的連續(xù)虛擬陣元和總虛擬陣元數(shù)。

表3 不同陣列結(jié)構(gòu)虛擬陣元數(shù)

5.2.2 互耦率

根據(jù)文獻[17]，可求出不同陣列結(jié)構(gòu)收發(fā)陣元互耦率，如表4所示。其中，Ωt和Ωr分別表示發(fā)射陣列和接收陣列的互耦率，互耦矩陣中的元素滿足c0=1，c1=0.5ejπ/4，c2=0.5ej0.5π/2，c3=0.5ej0.5π/3，c4=0.5ej0.5π/4，B=4。由表4可知，對稱嵌套MIMO雷達因接收陣元采用陣元間距更大的稀疏均勻線陣，相比于傳統(tǒng)MIMO和二階嵌套MIMO雷達，其互耦率大幅降低。

表4 不同陣列結(jié)構(gòu)的互耦率

5.3 空間譜

本節(jié)比較了不同類型MIMO雷達可檢測目標(biāo)個數(shù)。假設(shè)信噪比為10 dB，快拍數(shù)為500，搜索范圍為[-90°,90°]，搜索步長為0.01°，紅色點畫線表示真實角度方向。

5.3.1 非相干目標(biāo)DOA估計

圖2給出了“和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下不同陣列結(jié)構(gòu)的空間譜圖。對二階嵌套MIMO雷達形成的虛擬陣元選取連續(xù)部分，結(jié)合式(12)，采用MUSIC算法進行DOA估計。假設(shè)空間中存在20個非相干目標(biāo)，由圖2可知，傳統(tǒng)MIMO雷達能夠估計[-40°∶10°∶40°]的9個非相干目標(biāo)，二階嵌套MIMO雷達能夠估計[-60°∶10°∶60°]的13個非相干目標(biāo)，而對稱嵌套MIMO雷達能夠估計[-70°∶7°∶63°]的20個非相干目標(biāo)，且目標(biāo)角度間隔最小。因此，通過利用對稱“和聯(lián)合陣列”提升虛擬陣元個數(shù)，對稱嵌套MIMO雷達能夠估計更多的非相關(guān)目標(biāo)。

圖2 “和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下非相干目標(biāo)空間譜

圖3給出了“和差聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下對稱嵌套MIMO雷達和二階嵌套MIMO雷達空間譜圖。假設(shè)DOA角度為[-70°∶7°∶63°]，采用3.1節(jié)所提算法進行角度估計。由圖3可知，對稱嵌套MIMO雷達和二階嵌套MIMO雷達均能夠估計20個非相干目標(biāo)。

圖3 “和差聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下非相干目標(biāo)空間譜

5.3.2 全相干目標(biāo)DOA估計

圖4給出了“和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下不同陣列結(jié)構(gòu)的空間譜圖。假設(shè)DOA角度為[-50°∶10°∶50°]，目標(biāo)之間相干系數(shù)設(shè)為1。

圖4 “和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下全相干目標(biāo)空間譜

由圖4可知，傳統(tǒng)MIMO雷達能估計[-20°∶10°∶20°]，即5個全相干目標(biāo)；二階嵌套MIMO雷達能估計[-30°∶10°∶40°]，即8個全相干目標(biāo)；而對稱嵌套MIMO雷達能夠估計全部11個全相干目標(biāo)。因此，通過利用對稱“和聯(lián)合陣列”提升虛擬陣元個數(shù)，對稱嵌套MIMO雷達能夠估計更多的相干目標(biāo)。

5.4 均方誤差

假設(shè)目標(biāo)的角度為θ1=10°，θ2=20°，θ3=30°，搜索步長為0.01°。

5.4.1 非相干目標(biāo)DOA估計均方誤差

圖5給出了“和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下不同陣列結(jié)構(gòu)的均方誤差對比圖。圖5(a)為DOA估計誤差隨信噪比的變化關(guān)系圖，其中快拍數(shù)為500。圖5(b)為DOA估計誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系圖，其中SNR=10 dB。結(jié)合圖5和表3可以看出，對稱嵌套MIMO雷達在“和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下能夠得到更多的連續(xù)虛擬陣元數(shù)和總陣元數(shù)。因此，估計性能更好。

圖5 “和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下非相干目標(biāo)估計性能對比

圖6給出了“和差聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下不同陣列結(jié)構(gòu)的均方誤差對比圖。

圖6 “和差聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下非相干目標(biāo)估計性能對比

圖6(a)為DOA估計誤差隨信噪比的變化關(guān)系圖，其中快拍數(shù)為500。圖6(b)為DOA估計誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系圖，其中SNR=10 dB。結(jié)合圖6和表3可以看出，對稱嵌套MIMO雷達和二階嵌套MIMO雷達在“和差聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下連續(xù)的虛擬陣元和總陣元數(shù)均相同。因此，兩者估計性能接近。

5.4.2 全相干目標(biāo)DOA估計均方誤差

圖7給出了“和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下不同陣列結(jié)構(gòu)的均方誤差對比圖。圖7(a)為DOA估計誤差隨信噪比的變化關(guān)系圖，其中快拍數(shù)為500。圖7(b)為DOA估計誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系圖，其中SNR=10 dB。結(jié)合圖7和表3可以看出，對稱嵌套MIMO雷達可利用“和聯(lián)合陣列”得到更多連續(xù)的虛擬陣元和總陣元數(shù)，因此，其估計性能更佳。

圖7 “和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下全相干目標(biāo)估計性能對比

5.5 角度分辨率

以“和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下全相干目標(biāo)的角度分辨率為例。假設(shè)2個全相干鄰近目標(biāo)3°和6°，信噪比SNR=10 dB,快拍數(shù)為500，搜索范圍為[0°,10°]，步長為0.1°，黑色點畫線表示真實角度方向。由圖8可知，傳統(tǒng)MIMO雷達無法分辨上述兩個目標(biāo)，而二階嵌套MIMO雷達和對稱嵌套MIMO雷達可以分辨，且對稱嵌套MIMO雷達測向精度更高，譜峰更尖銳。

圖8 “和聯(lián)合陣列”結(jié)構(gòu)下鄰近全相干目標(biāo)空間譜

6 結(jié)語

本文將陣列的“差聯(lián)合”陣列結(jié)構(gòu)變成了對稱“和聯(lián)合”陣列結(jié)構(gòu)，提升了自由度性能、抑制了接收陣元互耦，并將其應(yīng)用于全相干和非相干目標(biāo)DOA估計，提升了目標(biāo)估計個數(shù)和角度估計性能；針對傳統(tǒng)算法通常采取刪除嵌套陣列的重復(fù)虛擬陣元進行DOA估計時存在數(shù)據(jù)丟失問題，算法向量化協(xié)方差矩陣，對“和差聯(lián)合陣列”形成的虛擬陣元進行冗余平均處理后重構(gòu)Toeplitz矩陣，充分利用了所有的擴展虛擬陣元，結(jié)合MUSIC算法實現(xiàn)了欠定條件下目標(biāo)DOA估計。仿真實驗表明本文所提陣列結(jié)構(gòu)和算法提高了多目標(biāo)角度估計性能和精度。