樣本缺失情況下的雷達(dá)目標(biāo)自適應(yīng)檢測(cè)

鄒 鯤， 來(lái) 磊， 駱艷卜， 李 偉

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院， 西安， 710077)

雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)在數(shù)學(xué)上屬于統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，檢測(cè)性能與數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)模型密切相關(guān)[1]。然而在雷達(dá)檢測(cè)器設(shè)計(jì)階段，目標(biāo)背景噪聲(包含了雜波、熱噪聲和可能的干擾)統(tǒng)計(jì)特性往往是未知的，需要一定數(shù)量的參考數(shù)據(jù)，用于待檢測(cè)單元背景噪聲的抑制和目標(biāo)的檢出，這種檢測(cè)手段稱為自適應(yīng)檢測(cè)[2]。對(duì)于雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題，基于奈曼皮爾遜準(zhǔn)則的一致最大勢(shì)檢驗(yàn)通常不存在[3]，可以依據(jù)其他不同的準(zhǔn)則設(shè)計(jì)不同的自適應(yīng)檢測(cè)算法。例如采用廣義似然比檢驗(yàn)(Generalized Likelihood Ratio Test, GLRT)準(zhǔn)則可以得到GLRT檢測(cè)器[2]和自適應(yīng)匹配濾波器(Adaptive Matched Filter,AMF)[4]，利用Wald檢驗(yàn)準(zhǔn)則[5]和Rao檢驗(yàn)準(zhǔn)則[6]也可以得到對(duì)應(yīng)的檢測(cè)器。這些檢測(cè)器都是漸近最優(yōu)檢測(cè)器，在參考數(shù)據(jù)較少的情況[7]或?qū)蚴噶渴鋄8]時(shí)，檢測(cè)性能會(huì)出現(xiàn)差異。

自適應(yīng)檢測(cè)的性能與參考數(shù)據(jù)數(shù)量、質(zhì)量密切相關(guān)。為了更好地抑制待檢測(cè)單元背景噪聲，參考數(shù)據(jù)的數(shù)量必須足夠多，且參考數(shù)據(jù)與待檢測(cè)單元背景噪聲的統(tǒng)計(jì)特性一致，即所謂的場(chǎng)景均勻性。在均勻場(chǎng)景中，參考數(shù)據(jù)數(shù)量必須大于檢測(cè)問(wèn)題維度的2倍時(shí)，GLRT的檢測(cè)性能損耗才能控制在3 dB以內(nèi)[2-3]。然而在實(shí)際情況下，對(duì)參考數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量的要求往往很難得到滿足。例如在雷達(dá)空時(shí)自適應(yīng)處理過(guò)程中[10]，檢測(cè)問(wèn)題維度是空時(shí)2個(gè)維度的乘積，且探測(cè)環(huán)境也受地物分布、復(fù)雜電磁環(huán)境的影響，很難找到滿足要求的參考數(shù)據(jù)。因此針對(duì)非均勻場(chǎng)景、干擾條件下的自適應(yīng)檢測(cè)問(wèn)題[11-19]是當(dāng)前的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

本文考慮參考數(shù)據(jù)中部分樣本缺失問(wèn)題，其也可以作為一種特殊的非均勻場(chǎng)景。造成樣本缺失的原因可以來(lái)自功率較強(qiáng)的干擾設(shè)備[20]，導(dǎo)致雷達(dá)接收數(shù)據(jù)中部分信號(hào)幅度值超過(guò)了接收機(jī)最大動(dòng)態(tài)范圍，從而被標(biāo)注為無(wú)效數(shù)據(jù)；也可以來(lái)自雷達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部設(shè)計(jì)的缺陷，某些數(shù)據(jù)處理不及時(shí)導(dǎo)致的樣本丟失[21]。常規(guī)的處理方法是將缺失的數(shù)據(jù)置零或進(jìn)行插值，但都會(huì)導(dǎo)致參考數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性出現(xiàn)偏差，影響了自適應(yīng)檢測(cè)性能。為此，本文首先提出了基于期望最大算法的自適應(yīng)匹配濾波器(Expectation Maximization Based Adaptive Matched Filter, EM-AMF)。

1 檢測(cè)問(wèn)題

考慮如下的自適應(yīng)檢測(cè)問(wèn)題：

(1)

在這個(gè)檢測(cè)問(wèn)題中，待檢測(cè)單元數(shù)據(jù)z0是長(zhǎng)度為N的復(fù)矢量，在H0假設(shè)下僅僅包含背景噪聲分量y0，其服從均值為0、協(xié)方差矩陣R未知的復(fù)高斯分布，而在H1假設(shè)下，待檢測(cè)數(shù)據(jù)中疊加了一個(gè)幅度α未知的信號(hào)導(dǎo)向矢量v。為了估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣R，假定還存在數(shù)量為K的參考數(shù)據(jù)zk,k=1,2,…,K，這些數(shù)據(jù)僅僅包含了背景噪聲分量yk，其與待檢測(cè)單元背景噪聲分量y0為獨(dú)立同分布。采用N維矢量pk，表示第k個(gè)參考數(shù)據(jù)部分樣本缺失情況，數(shù)據(jù)缺失表征矢量pk中的每個(gè)元素取值0或1，如果是1表示該數(shù)據(jù)是正常的，如果是0表示該數(shù)據(jù)是缺失的，那么接收信號(hào)zk可以表示為pk與yk的Hadamard乘積，用符號(hào)⊙表示。本文假定數(shù)據(jù)缺失表征矢量pk是已知的。

自適應(yīng)匹配濾波器(AMF)是基于雙步GLRT檢驗(yàn)準(zhǔn)則得到的，其形式[4]為：

(2)

(3)

2 基于EM算法的自適應(yīng)匹配濾波器

利用數(shù)據(jù)缺失表征矢量pk，將每個(gè)參考數(shù)據(jù)yk劃分為2個(gè)部分：用yk,obs表示可觀測(cè)的數(shù)據(jù)，是由yk中可觀測(cè)分量構(gòu)成的集合；yk,mis表示缺失的數(shù)據(jù)，是由yk中不可觀測(cè)分量構(gòu)成的集合，其中的下標(biāo)表示為集合：

(4)

由此EM算法表示為[22]：

R(n+1)=arg maxR·

(5)

式中：R(n)表示協(xié)方差矩陣R的第n次迭代估計(jì)值?？梢钥闯?，EM算法包含了2個(gè)步驟：①計(jì)算條件似然函數(shù)的期望；②計(jì)算R使得期望最大化。

在EM算法的期望步驟中，考慮到：

yk={yk,obs,yk,mis}|R～CN(0,R)

(6)

式中：符號(hào)～表示服從某種分布；CN表示復(fù)正態(tài)分布的縮寫(xiě)。對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以表示為：

lnp(yk,obs,yk,mis|R)=

(7)

式中：c表示常量；符號(hào)‖ ‖和tr{ }分別表示矩陣的行列式和跡。依據(jù)式(5)，需要對(duì)式(7)計(jì)算條件期望。利用條件高斯定理[23]可以得到：

(8)

其中：

(9)

式中：R[a,b]表示N×N矩陣R中由集合a構(gòu)成的行和集合b構(gòu)成列組成。將式(7)代入到式(5)中，并利用式(8)和式(9)的結(jié)論，可以得到:

Eyk,mis|yk,obs,R(n){lnp(yk,obs,yk,mis|R)}=

(10)

其中：

(11)

EM算法的步驟②可以表示為：

R(n+1)=arg maxR·

(12)

容易得到：

(12)

EM算法是一種迭代算法，因此首先可以設(shè)置一個(gè)協(xié)方差矩陣的初始值R(0)，分別計(jì)算式(9)、式(11)和式(13)完成對(duì)協(xié)方差矩陣的更新估計(jì)，并計(jì)算：

f(n+1)=

(13)

3 基于MCMC方法的自適應(yīng)匹配濾波器

在雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)過(guò)程中，關(guān)于待檢測(cè)單元雜波協(xié)方差矩陣，如果有一定的先驗(yàn)信息，就有可能提升檢測(cè)性能。先驗(yàn)信息的使用在貝葉斯框架下，可以用先驗(yàn)分布表示。為此假定假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(1)中，R的先驗(yàn)分布為復(fù)逆Wishart(Complex Inverse Wishart, CW-1)分布，即R～CW-1(v0,(v0-N)R0)，其概率密度函數(shù)可以表示為：

etr{-(v0-N)M-1R0};v0≥N+1

(15)

(16)

CW-1分布參數(shù)R0表示了先驗(yàn)均值，而參數(shù)v0表征了對(duì)這個(gè)先驗(yàn)均值的不確定性。v0越大，CW-1分布更加集中在其均值R0處，說(shuō)明不確定性較低，反之當(dāng)v0=N+1時(shí)，表示不確定性最大。需要指出的是，這里采用CW-1分布作為協(xié)方差矩陣R的先驗(yàn)分布的原因是，對(duì)于復(fù)高斯分布的協(xié)方差矩陣，其共軛先驗(yàn)分布是CW-1分布，即先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布具有相同的形式，有利于簡(jiǎn)化計(jì)算。為此利用式(6)，容易得到R的后驗(yàn)分布：

f(R|y1…yk)～

(17)

E(R|y1…yk)=θY+(1-θ)R0

(18)

Gibbs抽樣方法是MCMC仿真手段的一種，其通過(guò)構(gòu)造參數(shù)的后驗(yàn)分布，得到抽樣樣本的馬爾科夫序列，只要序列足夠長(zhǎng)，該序列統(tǒng)計(jì)分布最終可以收斂到目標(biāo)分布。給定一個(gè)協(xié)方差矩陣初始值R(0)，利用式(8)，可以產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)矢量yk,mis，將其與觀測(cè)矢量yk,obs一并構(gòu)成參考數(shù)據(jù)yk。再利用式(17)，可以隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)協(xié)方差矩陣R(1)。由此可以得到一個(gè)協(xié)方差矩陣的馬爾科夫序列R(n)，n=1,2,…,N。計(jì)算這個(gè)序列經(jīng)過(guò)收斂之后的均值，作為雜波協(xié)方差矩陣后驗(yàn)均值的估計(jì)：

(19)

式中：N表示Gibbs抽樣得到的樣本總數(shù)；Nb表示當(dāng)抽樣迭代次數(shù)達(dá)到Nb時(shí)，獲得的樣本分布收斂到了目標(biāo)分布。

4 數(shù)值仿真分析

圖1 存在樣本丟失的參考數(shù)據(jù)(N=8,K=32)

4.1 Gibbs抽樣收斂性能分析

對(duì)于Gibbs抽樣算法，首先要確定協(xié)方差矩陣序列R(n)在什么時(shí)候開(kāi)始處于收斂狀態(tài)，即式(19)中Nb的取值。為此本文采用勢(shì)尺度(Potential Scale, PS)的概念[25]進(jìn)行數(shù)值分析。依據(jù)指定的先驗(yàn)分布參數(shù)v0和R0，利用式(15)隨機(jī)生成一個(gè)初始值R(0)，利用Gibbs抽樣算法，可以得到一個(gè)抽樣矩陣序列R(n)，n=1,2,…,L。選擇序列中每個(gè)矩陣的第m行第n列的元素進(jìn)行分析，其可以構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量序列φ(n)。將這個(gè)序列定義為一個(gè)長(zhǎng)度L的列矢量φ。將這個(gè)過(guò)程重復(fù)M次，由此可以得到M個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列，φ1,φ2,…,φM。分別計(jì)算每個(gè)序列的均值、方差和所有序列的均值：

(20)

再計(jì)算序列間(Between-Sequence)方差B和序列內(nèi)(Within-Sequence)方差W：

(21)

那么勢(shì)尺度定義為：

(22)

序列的收斂性主要分析勢(shì)尺度因子與1的距離，越靠近1說(shuō)明序列越接近目標(biāo)分布。

圖2給出了勢(shì)尺度與迭代次數(shù)之間的關(guān)系，這里選擇v0=N+1，R0=IN，即單位矩陣。獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)M=500后進(jìn)行平均。可以看出，采用Gibbs抽樣方法獲得的馬爾科夫序列最終都會(huì)收斂到目標(biāo)分布，但收斂速度與參數(shù)K和丟失樣本占比p有關(guān)。K值相同時(shí)，丟失樣本越多，收斂的速度越慢。丟失樣本占比p相同時(shí)，K越大，收斂速度越慢。

圖2 Gibbs抽樣算法收斂性能分析

4.2 檢測(cè)性能對(duì)比分析

將AMF作為檢測(cè)器結(jié)構(gòu)，指定虛警概率為10-3，利用計(jì)算機(jī)仿真獲得判決門(mén)限。分析不同的信噪比條件下的檢測(cè)性能。信噪比SNR定義為：

SNR=|α|2vHM-1v

(23)

作為對(duì)比分析，將匹配濾波器MF作為檢測(cè)性能的上限，即假定雜波協(xié)方差矩陣已知。還可以對(duì)存在樣本缺失的參考數(shù)據(jù)zk進(jìn)行線性插值，將插值后的數(shù)據(jù)用于計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣，并代入式(2)中，得到的檢測(cè)器標(biāo)記為L(zhǎng)I-AMF。

而對(duì)于MCMC-AMF檢測(cè)器，其先驗(yàn)分布參數(shù)設(shè)置為v0=N+1，R0=IN，這種參數(shù)設(shè)置表示對(duì)協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)信息較少。另外一種設(shè)置為v0=N+8，R0(m,n)=0.8|m-n|ej2π(-0.15)(m-n)，這種參數(shù)設(shè)置表示對(duì)協(xié)方差矩陣有一定的先驗(yàn)信息，但先驗(yàn)均值與實(shí)際的M取值存在少許差異，v0的值取得更大一些，表示對(duì)該先驗(yàn)信息的把握程度更高一些。由此得到的檢測(cè)器標(biāo)注為MCMC-AMF(Info)。

圖3給出了p=0.1時(shí)的檢測(cè)性能，分別考慮K=12和32。

圖3 檢測(cè)性能(p=0.1)

首先可以看出，MF的檢測(cè)性能可以作為所有的檢測(cè)性能的上限，而AMF的檢測(cè)性能可以作為下限。這是因?yàn)閰⒖紨?shù)據(jù)中存在數(shù)據(jù)缺失，直接影響了檢測(cè)性能。通過(guò)對(duì)缺失數(shù)據(jù)的插值，LI-AMF的檢測(cè)性能相對(duì)AMF有了略微的提高，但是由于這種插值方法忽略了信號(hào)本身的統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)檢測(cè)性能的提升是非常有限的。本文提出了MCMC-AMF和EM-AMF具有較好的檢測(cè)性能，且性能相當(dāng)。這是因?yàn)檫@兩種方法都沒(méi)有使用協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)信息，如果使用先驗(yàn)信息，MCMC-AMF(Info)的檢測(cè)性能可以得到進(jìn)一步的提高。這種提高程度在K較小的情況下更為明顯，這是因?yàn)閰⒖紨?shù)據(jù)數(shù)量的增加可以彌補(bǔ)先驗(yàn)信息的缺失。

進(jìn)一步將數(shù)據(jù)缺失比例因子設(shè)置p=0.3，檢測(cè)性能見(jiàn)圖4。

圖4 檢測(cè)性能(p=0.3)

此時(shí)參考數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)丟失的個(gè)數(shù)增加，直接從參考數(shù)據(jù)中獲取雜波協(xié)方差矩陣的信息進(jìn)一步降低，因此此時(shí)的AMF和LI-AMF的檢測(cè)性能會(huì)進(jìn)一步降低。MCMC-AMF和EM-AMF的檢測(cè)性能也會(huì)受到影響，K=12時(shí)，與圖3(a)對(duì)比出現(xiàn)一定程度的下降，但下降程度不太明顯。而對(duì)于K=32時(shí)，檢測(cè)性能受到p的影響較小，這還是因?yàn)閰⒖紨?shù)據(jù)的增加在一定程度上可以彌補(bǔ)數(shù)據(jù)樣本丟失導(dǎo)致的信息損耗。同樣，利用先驗(yàn)信息，MCMC-AMF(Info)的檢測(cè)性能可以得到進(jìn)一步的提高。

5 結(jié)語(yǔ)

在復(fù)雜電磁環(huán)境中，各種可能的干擾會(huì)導(dǎo)致雷達(dá)接收數(shù)據(jù)中個(gè)別樣本丟失，如果不加以處理，或僅僅是簡(jiǎn)單的插值處理，檢測(cè)性能往往會(huì)受到嚴(yán)重的影響。本文提出了基于EM算法和MCMC仿真的2種雜波協(xié)方差矩陣估計(jì)方法，如果關(guān)于協(xié)方差矩陣的先驗(yàn)信息較少，采用EM算法和采用MCMC仿真方法得到的檢測(cè)性能是相當(dāng)?shù)?。如果可以采用協(xié)方差矩陣的部分先驗(yàn)信息，即便先驗(yàn)信息不夠準(zhǔn)確，仍然可以有效提升檢測(cè)性能。