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    基于COMSOL的非牛頓流體在管道中的流動(dòng)特性研究*

    2020-03-26 10:39:54李亞飛
    科技與創(chuàng)新 2020年5期
    關(guān)鍵詞:牛頓流體冪律入口

    李亞飛,周 懿,胡 鉞,高 政

    (船舶動(dòng)力工程技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢430063;武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,湖北 武漢430063)

    1687年牛頓提出,作一維剪切流動(dòng)的水,其剪切應(yīng)變速率與剪切應(yīng)力的大小成正比,這個(gè)規(guī)律就是后來(lái)著名的牛頓內(nèi)摩擦定律。在流變學(xué)中,流變性符合這一規(guī)律的流體被稱(chēng)作牛頓流體;反之,則為非牛頓流體。相比于牛頓流體,非牛頓流體在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)乃至醫(yī)學(xué)研究中出現(xiàn)得更為廣泛,比如石油鉆井采出液的集輸處理、聚合物塑料制品加工、人體血液在血管中的流動(dòng)等。上述這些情形都涉及非牛頓流體在管道內(nèi)的流動(dòng)問(wèn)題,因此非牛頓流體在各種管道環(huán)境下的流動(dòng)機(jī)理具有充分的研究?jī)r(jià)值。1867年,J.C.麥克斯韋提出線性黏彈性方程,開(kāi)始了非牛頓流體力學(xué)的研究。但由于黏彈性流體問(wèn)題具有的復(fù)雜性,一直到20世紀(jì)50年代后相關(guān)研究領(lǐng)域才得到較為迅速的發(fā)展,并逐漸成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科[1]。相比牛頓流體在管道流動(dòng)領(lǐng)域已較為成熟的研究成果,關(guān)于非牛頓流體的研究還有很大的發(fā)展空間。針對(duì)非牛頓流體的研究方法主要包括實(shí)驗(yàn)法、解析解法與數(shù)值解法。實(shí)驗(yàn)法最為直接,可檢驗(yàn)其他方法的正確性,但是成本較高且實(shí)驗(yàn)結(jié)果的普遍性不佳。解析解法是理論上最為準(zhǔn)確理想的研究方法,通過(guò)建立合適的微分方程組,使用純數(shù)學(xué)方法得出方程的精確解;但對(duì)于非牛頓流體復(fù)雜的流動(dòng)情況來(lái)說(shuō),求解的難度過(guò)大。數(shù)值解法則是應(yīng)用計(jì)算機(jī)將物理場(chǎng)離散化,之后將流體微分方程組轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程并求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的參數(shù)值,屬于一種近似解法[2]。由于數(shù)值解法容易獲得且能保證足夠的求解精度,其已經(jīng)成為研究非牛頓流體問(wèn)題最為常用的方法。

    國(guó)外學(xué)者對(duì)非牛頓流體的研究開(kāi)始最早。在圓管道方面,CHEBBI[3]使用積分邊界層方法,分析了冪律流體層流在圓管入口段與充分發(fā)展區(qū)的流動(dòng)特性,獲得了與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度較高的結(jié)果。對(duì)于非圓管道,GUCKES[4]使用有限差分法求解冪律流體和賓漢流體,給出了2種流體在偏心圓環(huán)管中流動(dòng)的平均體積流率。MITSUISHI等人[5]使用高聚合物非牛頓流體作為實(shí)驗(yàn)材料,給出了偏心圓環(huán)管中非牛頓流體流速與壓降之間的關(guān)系。

    國(guó)內(nèi)對(duì)于非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)的研究起步較晚,成果也較國(guó)外少。姜篤志[6]分析了非牛頓流體在管道內(nèi)流變性的一般規(guī)律并建立模型。楊旭等人[7]分析了非牛頓流體的本構(gòu)及流動(dòng)規(guī)律,基于空間分?jǐn)?shù)階微積分方法,建立了分?jǐn)?shù)階非牛頓流體本構(gòu)模型,使用分?jǐn)?shù)階的階數(shù)大小來(lái)反映非牛頓流體流動(dòng)的空間記憶性強(qiáng)弱。

    經(jīng)過(guò)以上分析可以看出,中國(guó)對(duì)非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)這一研究領(lǐng)域的研究不太成熟,大多數(shù)停留在對(duì)非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)進(jìn)行基本的數(shù)值模擬這一階段,而缺少對(duì)于模擬條件的多樣化拓展以及對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)之間關(guān)系更加詳盡的討論。關(guān)于非牛頓納米流體管內(nèi)流動(dòng)這一新興領(lǐng)域更是空白。又考慮到非牛頓流體管內(nèi)流動(dòng)在工業(yè)上的廣泛應(yīng)用,進(jìn)一步進(jìn)行相關(guān)方面的數(shù)值研究是很有必要的。

    本文使用COM SOL Multiphysics這一軟件作為計(jì)算平臺(tái),采用有限元分析法對(duì)非牛頓流體流經(jīng)不同管道時(shí)體現(xiàn)出的流動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值模擬研究。

    1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值模擬方法

    1.1 控制方程組

    一切的流體流動(dòng)過(guò)程,都以以下3個(gè)基本的物理學(xué)原理為基礎(chǔ):質(zhì)量守恒定律,牛頓第二定律與能量守恒定律。將這些物理學(xué)用于構(gòu)建流動(dòng)模型,將會(huì)導(dǎo)出一組方程,即連續(xù)性方程、動(dòng)量方程與能量方程。這些方程是上述物理學(xué)原理的數(shù)學(xué)描述,本文不討論傳熱,所以不引入能量守恒方程,質(zhì)量守恒定律(連續(xù)性方程):

    式(1)表示的是瞬態(tài)三維可壓流體流動(dòng)的連續(xù)性方程,本文所分析的流體流動(dòng)處于穩(wěn)態(tài)且不可壓縮,密度ρ不會(huì)隨著時(shí)間的變化而改變,所以,流體流動(dòng)的數(shù)學(xué)描述為:

    式(3)(4)(5)是對(duì)于任何流體都成立的動(dòng)量守恒方程,是微元體內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)于事件的變化率等于外界作用于該微元體上的各種力的和。簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)量方程,也稱(chēng)納維斯托克斯(N-S)方程。

    1.2 本構(gòu)方程

    本構(gòu)方程是反映物料宏觀性質(zhì)的數(shù)學(xué)模型,又被稱(chēng)為流變狀態(tài)方程或是流變方程。在流變學(xué)中,本構(gòu)方程是在某些假定條件下,對(duì)流體或彈性體的材料力學(xué)行為的數(shù)學(xué)描述,可以用來(lái)區(qū)分流體類(lèi)型。前述的牛頓內(nèi)摩擦定律即最簡(jiǎn)單的流體本構(gòu)方程。本構(gòu)方程與連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程一起構(gòu)成封閉的方程組,用于求解流體的流動(dòng)特性。

    在本文仿真中使用的冪律流體的本構(gòu)方程式為:

    式(6)中:m為黏稠系數(shù),Pa·sn,表示物料的黏稠程度;n為冪律流變指數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)冪律指數(shù)),為無(wú)量綱量,表示非牛頓流體的流動(dòng)特性偏離牛頓流體的程度(n=1時(shí)為牛頓流體)。

    1.3 非牛頓流體管道流動(dòng)模型

    1.3.1 流體切應(yīng)力

    對(duì)于圓形管道內(nèi)的流體流動(dòng),非管壁處流體剪應(yīng)力?與管壁處剪應(yīng)力?w的取值滿足下列均勻流動(dòng)方程式:

    式(7)(8)中:Δp為管道壓降;r為圓柱坐標(biāo)系中的r方向坐標(biāo)位置;L為管道長(zhǎng)度;R為管道半徑。

    1.3.2 剪切應(yīng)變速率

    剪切應(yīng)變速率描述的是流體的剪切流動(dòng),定義為單位時(shí)間的剪切應(yīng)變變化:此選用的是COMSOL Multiphysics中的Laminar flow求解器模塊。這個(gè)模塊內(nèi)置了許多流動(dòng)的基本物理參數(shù),可以在這些參數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合前文所述的數(shù)學(xué)模型定義更多仿真所需要的變量。

    式(9)中:γ為剪切應(yīng)變。

    值得注意的是,剪切應(yīng)變速率常與速度梯度混淆。實(shí)際上二者是不同的概念。速度梯度是流體的速度對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù),用du/dy來(lái)表示。在數(shù)學(xué)上,二者的數(shù)值有時(shí)相等,這是因?yàn)橐话闼俣忍荻确希?/p>

    但二者的物理意義并不相同,且數(shù)值上有時(shí)并不相等(如流體在同軸圓筒之間的流動(dòng),此時(shí)有角速度的影響)。

    1.3.3 廣義雷諾數(shù)

    對(duì)于圓管內(nèi)非牛頓流體流動(dòng)的雷諾數(shù)Re計(jì)算,目前多是仿照牛頓流體,近似按照黏度或者對(duì)比牛頓流體壓降的公式計(jì)算其廣義雷諾數(shù)Re′:

    式(11)中:D為圓管直徑;n為流變指數(shù),不同流體二者的取值不同;k為流變系數(shù)。

    對(duì)于牛頓流體來(lái)說(shuō),n′=1,k′=μ。所以,牛頓流體雷諾數(shù)為:

    1.4 求解器介紹

    本次模擬使用的COM SOL Multiphysics是一款功能強(qiáng)大的多物理場(chǎng)仿真軟件,可以對(duì)多個(gè)領(lǐng)域的物理過(guò)程進(jìn)行模擬計(jì)算。本文研究的是非牛頓流體在管道內(nèi)的流動(dòng)特性,因上述均勻流動(dòng)方程式的推導(dǎo)并沒(méi)有涉及流體的性質(zhì)與流動(dòng)狀態(tài),所以該方程式適用于所有的流體與流動(dòng)狀態(tài)。

    1.5 數(shù)值計(jì)算方法

    本文涉及的數(shù)值計(jì)算使用的是有限元分析法(Finite elementmethod,F(xiàn)EM)。它的基本思路為:一個(gè)物體或系統(tǒng)被分解為由多個(gè)相互聯(lián)結(jié)的、簡(jiǎn)單、獨(dú)立的點(diǎn)組成的幾何模型。在這種方法中這些獨(dú)立的點(diǎn)的數(shù)量是有限的,因此被稱(chēng)為有限元。由實(shí)際的物理模型中推導(dǎo)出來(lái)的平衡方程式被使用到每個(gè)點(diǎn)上,由此產(chǎn)生了一個(gè)方程組,這個(gè)方程組可以用線性代數(shù)的方法求解。

    1.6 網(wǎng)格局部加密與獨(dú)立性驗(yàn)證

    在數(shù)值仿真過(guò)程中,網(wǎng)格的數(shù)量與大小與仿真結(jié)果的精度密切相關(guān)。更多的網(wǎng)格數(shù)目雖然能夠提高結(jié)果的精度,但是也意味著要耗費(fèi)更多的計(jì)算機(jī)算力資源。經(jīng)衡量,使用COMSOLMultiphysics中的Meshrefine功能對(duì)模型的關(guān)鍵計(jì)算區(qū)域進(jìn)行局部網(wǎng)格加密,模型的其他部分則保持相對(duì)較大的網(wǎng)格密度。

    局部加密效果如圖1所示。

    圖1 網(wǎng)格局部加密效果圖

    此外,為了保證求解結(jié)果的精度,每組仿真計(jì)算時(shí)都需要多次調(diào)整網(wǎng)格的數(shù)量,檢查計(jì)算結(jié)果是否因?yàn)榫W(wǎng)格密度不同而出現(xiàn)較大的誤差。經(jīng)過(guò)調(diào)整,確認(rèn)每組仿真的網(wǎng)格數(shù)量保持在200萬(wàn)~400萬(wàn)之間為宜,這時(shí)求解精度已經(jīng)足夠。

    2 仿真結(jié)果及分析

    2.1 物理模型

    2.1.1 幾何模型

    本組仿真選用了2種不同截面的長(zhǎng)直管道,分別為圓形截面、矩形截面管道。這2種截面管道的形狀示意與幾何尺寸數(shù)據(jù)如圖2和表1所示,管道整體如圖3所示。

    圖2 管道截面形狀與尺寸示意圖

    表1 管道幾何尺寸數(shù)據(jù)

    圖3 管道整體示意圖

    非牛頓流體從管道的一端流入,在管道內(nèi)進(jìn)行流動(dòng)過(guò)程后,從另一端流出。

    此后的時(shí)間里,王施凱仿佛突然被打通了任督二脈,開(kāi)始發(fā)憤圖強(qiáng),努力學(xué)習(xí)……過(guò)了一個(gè)春·天一個(gè)夏天后,期末考試他竟真的考到了班級(jí)中游。王施凱本人的說(shuō)法是有天晚上起夜,發(fā)現(xiàn)老爸在看他小時(shí)候的照片和獎(jiǎng)狀,一時(shí)間激發(fā)了奮斗的意志。當(dāng)然,大老爺們半夜抹眼淚這種事情他是不會(huì)告訴趙明月的。趙明月也沒(méi)多問(wèn),心照不宣地繼續(xù)為他講題。

    2.1.2 流體性質(zhì)

    本組仿真選用的非牛頓流體為冪律流體(冪律指數(shù)n≠1),其黏度與剪切應(yīng)變速率的關(guān)系遵循下式:

    其余的流動(dòng)特性參數(shù)列如表2所示。

    表2 不同截面管仿真中非牛頓流體的流動(dòng)特性參數(shù)值

    2.2 邊界條件

    選用如下邊界條件:①進(jìn)口邊界條件。進(jìn)口速度uin,取值固定為0.15m/s;進(jìn)口溫度Tin為293.15K(20℃)。②出口邊界條件。出口壓力為0。③壁面邊界條件。無(wú)滑移邊界條件,即壁面處的流體速度為0;常壁溫邊界,壁面溫度TW為333.15K(60℃)。④其他。流體不可壓縮,所有管道區(qū)域內(nèi)流體處于層流狀態(tài)。

    2.3 冪律指數(shù)對(duì)非牛頓流體管道流動(dòng)的影響

    對(duì)于冪律流體,當(dāng)冪律指數(shù)n<1時(shí),流體表現(xiàn)出剪切稀化效應(yīng);當(dāng)冪律指數(shù)n>1時(shí),流體表現(xiàn)出剪切增稠效應(yīng)。為了探究?jī)缏芍笖?shù)n對(duì)冪律流體在管道中流動(dòng)特性的影響,控制進(jìn)口速度uin=0.15m/s,管截面當(dāng)量直徑de=0.1m,管長(zhǎng)l=0.8m,參數(shù)相同,冪律流體n取0.6~1.4,對(duì)圓形截面管道內(nèi)的非牛頓冪律流體進(jìn)行流動(dòng)特性的仿真。不同冪律指數(shù)下非牛頓冪律流體的速度場(chǎng)分布如圖4所示。

    圖4展示了不同冪律指數(shù)條件下冪律流體在管道各個(gè)橫截面上的速度場(chǎng)分布。觀察靠近管道入口段的速度場(chǎng)橫截面,可以發(fā)現(xiàn)隨著n的增大,流體的速度入口段長(zhǎng)度越來(lái)越短。這是因?yàn)楫?dāng)冪律指數(shù)n>1時(shí),流體表現(xiàn)出剪切增稠效應(yīng),而且該效應(yīng)會(huì)隨著n的增大而得到強(qiáng)化(剪切稀化效應(yīng)同理)。剪切增稠效應(yīng)下的流體流動(dòng)性降低,速度梯度小,更容易達(dá)到充分發(fā)展?fàn)顟B(tài);反之,剪切稀化效應(yīng)下的流體流動(dòng)性提高,速度梯度大,速度入口段長(zhǎng)。

    此外,冪律指數(shù)也對(duì)流體充分發(fā)展區(qū)最大速度有一定影響,兩者呈正相關(guān)關(guān)系。上述結(jié)論均可以從MUKHERJEE的研究中得到驗(yàn)證。

    圖4 不同冪律指數(shù)下非牛頓冪律流體的速度場(chǎng)分布(單位:m/s)

    2.4 截面形狀對(duì)非牛頓流體管道流動(dòng)的影響

    保持進(jìn)口速度uin=0.15m/s,冪律指數(shù)n=0.6,管截面當(dāng)量直徑de=0.1m,管長(zhǎng)l=0.8m,參數(shù)相同,對(duì)不同截面管道內(nèi)的非牛頓流體進(jìn)行流動(dòng)特性仿真。

    2.4.1 截面形狀對(duì)速度入口段長(zhǎng)度的影響

    在本組仿真中,在各管道的軸向中心截面上繪制速度云圖,觀察非牛頓流體在不同截面管道中的速度入口段長(zhǎng)度。不同截面形狀管道軸向中心截面速度云圖如圖5所示,從圖5可以看出,流體在管道入口段形成速度邊界層,邊界層逐漸向截面中心流動(dòng)匯集,最后消失形成穩(wěn)定的流態(tài)。矩形形狀的管道內(nèi)非牛頓流體的速度入口段長(zhǎng)度比圓形管道的長(zhǎng)。這說(shuō)明速度入口段的長(zhǎng)度與管道截面形狀有關(guān)。截面為圓形的管道內(nèi)的非牛頓流體更早到達(dá)充分發(fā)展階段,流態(tài)更為穩(wěn)定。

    圖5 不同截面形狀管道軸向中心截面速度云圖(單位:m/s)

    2.4.2 截面形狀對(duì)速度場(chǎng)分布的影響

    為了更直觀地觀察出管道內(nèi)的速度場(chǎng)分布情況,重新選取數(shù)個(gè)沿管道軸向等距分布的管道橫截面來(lái)繪制速度云圖。通過(guò)觀察每個(gè)截面云圖的變化過(guò)程,可以得出非牛頓流體的速度沿徑向與軸向發(fā)展的情況。兩種截面形狀管道的橫截面速度場(chǎng)分布如圖6所示,從圖6可以看出,流體在管壁處速度為0,最大速度中心位于各管道的橫截面幾何中心區(qū)域,但并不是一開(kāi)始就在中心區(qū)域達(dá)到最大速度。在2種管道靠近入口段的截面,可看到速度最大值區(qū)域分散在截面的幾何中心周?chē)?。?duì)于矩形截面管道來(lái)說(shuō)這種現(xiàn)象更為明顯,云圖中能夠看到入口段截面形成兩三個(gè)速度中心區(qū)域,由此可見(jiàn),速度最大區(qū)域首先出現(xiàn)在靠近管道截面角區(qū)的位置,之后在向軸向發(fā)展的同時(shí)向徑向截面幾何中心合并,最終在中間達(dá)到流動(dòng)速度峰值。

    3 結(jié)論

    本文通過(guò)COMSOLMultiphysics平臺(tái),使用有限元法與局部?jī)?yōu)化網(wǎng)格技術(shù)建立了非牛頓流體在不同橫截面管道中的流動(dòng)模型。

    圖6 兩種截面形狀管道的橫截面速度場(chǎng)分布(單位:m/s)

    通過(guò)以上數(shù)值模型,分析了非牛頓流體在管道內(nèi)的速度分布,并討論了流體流動(dòng)特性參數(shù)之間的關(guān)系,以及管道截面形狀和冪律指數(shù)對(duì)流體流動(dòng)性能的影響。具體總結(jié)如下:對(duì)于冪律流體,更高的冪律指數(shù)n值將使流體更多表現(xiàn)出剪切增稠效應(yīng),進(jìn)一步使得速度入口段長(zhǎng)度逐步減短;反之,則表現(xiàn)出剪切稀化效應(yīng),增長(zhǎng)速度入口段的長(zhǎng)度。在相同的邊界條件下,橫截面為矩形的管道中流體的速度入口段長(zhǎng)度最長(zhǎng),隨后為圓形截面管道;管道內(nèi)流體流動(dòng)的發(fā)展從接近截面角區(qū)的位置開(kāi)始,之后再向管道截面幾何中心處發(fā)展。

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