兩級串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡飛行器控制系統(tǒng)設計

李瑀馨

（武漢理工大學 自動化學院，湖北 武漢430070）

1 任務要求

已知一飛行器控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

控制系統(tǒng)性能指標：調(diào)節(jié)時間小于0.01s，單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.0005，相角裕度大于80°。

本文首先分析校正前系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性等，對系統(tǒng)狀況有了初步的了解。根據(jù)實際情況選擇合適的校正裝置，使得校正后的裝置滿足設計要求，并對校正前后系統(tǒng)進行對比分析。

2 校正前系統(tǒng)性能分析

2.1 校正前系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

一般情況下，確定線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法分為基于經(jīng)典控制理論和基于現(xiàn)代控制理論的方法。

經(jīng)典控制論中，以傳遞函數(shù)或頻率特性的形式來描述控制系統(tǒng)，穩(wěn)定判據(jù)有：勞斯穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法和奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)等。

本文基于經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)，以確定特征根所在區(qū)域為目的，由此判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性[1-2]。

2.1.1 勞斯穩(wěn)定判據(jù)

勞斯判據(jù)法可根據(jù)系統(tǒng)特征方程式系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法比較簡單，但只能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。它可以用于飛行器控制系統(tǒng)設計階段，判斷所設計的飛行器控制系統(tǒng)穩(wěn)定性。

針對給定的飛行器控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，由系統(tǒng)的開環(huán)傳函可知此系統(tǒng)為一個二階系統(tǒng)。因此，可求得飛行器控制系統(tǒng)的系統(tǒng)特征方程為：

列出勞斯表如表1所示。

表1 飛行器控制系統(tǒng)的勞斯表

通過表1可以看到，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即第一列為正，則K必須大于0。

2.1.2 系統(tǒng)根軌跡判定

根軌跡是分析和設計線性定常控制系統(tǒng)的圖解方法，使用十分簡便，特別在進行多回路系統(tǒng)的分析時，應用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛應用[3]。本文利用Matlab進行編程[4]，繪制出飛行器控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)隨K變化的根軌跡圖。

由根軌跡圖可知當K＞0，根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。當0＜K＜7.25時，閉環(huán)極點位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)；當K=7.25時，閉環(huán)極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，響應速度較0＜K＜7.25情況快；當K＞7.25時，閉環(huán)極點為復數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，超調(diào)量隨K的增大而增大，但調(diào)節(jié)時間的變化不顯著。

2.1 .3 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行判別時根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。P為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)。N為軌跡沿逆時針方向包圍實軸上點（-1，j0）的次數(shù)。閉環(huán)控制系統(tǒng)正實部極點數(shù)：Z=P-R。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)指出Z=0時，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定；Z≠0時，閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

利用Matlab繪制未校正系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，并進行判斷。可知R=0，P=0，由Z=P-R可得，Z=0，說明K＞0時系統(tǒng)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)，與上述勞斯穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡判定結(jié)果一致。

2.2 系統(tǒng)伯德圖與系統(tǒng)幅值裕度、相角裕量

利用伯德圖可以看出在不同頻率下系統(tǒng)增益的大小及相位，也可以看出增益大小及相位隨頻率變化的趨勢，還可以對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行判斷。

本文利用Matlab編程仿真[5]繪制了系統(tǒng)的伯德圖。通過觀察繪制的伯德圖可以看出未校正前控制系統(tǒng)的相角裕度隨K值的增大而增大，且未校正前控制系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度均為正值，進而可得未校正前控制系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，與上述論證結(jié)果一致。

2.3 單位階躍輸入狀態(tài)下的系統(tǒng)響應

為了進一步觀察系統(tǒng)的動態(tài)性能，本文利用Matlab編程仿真，觀察未校正系統(tǒng)在單位階躍輸入和單位斜坡輸入下的響應情況。單位階躍輸入分為過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼狀態(tài)，以此研究系統(tǒng)的動態(tài)性能。求得的3種狀態(tài)下的動態(tài)性能指標如表2所示。

表2 3種狀態(tài)下動態(tài)性能指標

由表2可以觀察到過阻尼狀態(tài)系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間和上升時間隨K的增大而縮短，臨界阻尼系統(tǒng)響應速度較過阻尼情況快；欠阻尼峰值時間和上升時間隨K的增大而縮短，且超調(diào)量將隨K的增大而增大，但調(diào)節(jié)時間的變化不太顯著，并且可以清楚地看出系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，與前述分析結(jié)果一致。

3 飛行器控制系統(tǒng)的校正

3.1 系統(tǒng)K值的確定

系統(tǒng)要求單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差小于等于0.0005，根據(jù)單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差定義可做出如下計算。

由前面分析可知此系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，峰值時間和上升時間隨K的增大而縮短，且超調(diào)量將隨K的增大而增大，但調(diào)節(jié)時間的變化不顯著。因此，方便計算綜合可取K=161。

可計算得到系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts=0.199s（△=±2%），wc=813.72rad/s，相角裕度γ=23.94°。

3.2 兩級串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡設計

要將待校正系統(tǒng)的相角裕度提高到大于80°。由于串聯(lián)校正a不能過大，想要達到目標相角裕度，至少選用兩級串聯(lián)超前網(wǎng)絡。

根據(jù)上述設計步驟，本文針對給出的控制系統(tǒng)和相應的性能指標要求等，設計對應的串聯(lián)超前校正裝置，具體參數(shù)計算與設計過程如下所示[6-7]。

3.2.1 設計第一級串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡[7]

根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，確定開環(huán)增益K=724500。

求出未校正系統(tǒng)的截止頻率wc0=813.72rad/s，相角裕度γ0=23.94°。

利用超前校正網(wǎng)絡將相位裕度校正到γ1=60°，計算需要產(chǎn)生的最大超前角φm=γ1-γ0+（5°～10°）=60-23.94+（5°～10°）≈45°。

令校正后wc=wm。

確定校正裝置的傳遞函數(shù)：

3.2.2 設計第二級串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡

求出第一級校正后系統(tǒng)的截止頻率wc1=1217.9rad/s，相位裕度γ1=61.09°。

利用超前校正網(wǎng)絡將相位裕度校正到γ2＞80°，計算需要產(chǎn)生的最大超前角φm=γ2-γ1+（5°～10°）≈25°。

根據(jù)所需要最大超前角求出a=2.47。

校驗已校正系統(tǒng)的各項性能指標，求得截止頻率wc1=1217rad/s，相位裕度γ1=81.21°，調(diào)節(jié)時間ts=0.0049s。單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為0.00049855。綜上所述，校正后系統(tǒng)滿足題目設計要求。

4 校正后系統(tǒng)性能分析

4.1 校正后系統(tǒng)根軌跡

繪制校正后系統(tǒng)根軌跡如圖1所示。由圖1可知根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。

圖1 校正后系統(tǒng)根軌跡

4.2 校正后奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)

繪制校正后系統(tǒng)奈奎斯特曲線如圖2所示。通過奈奎斯特曲線可以得出R=0，P=0，所以根據(jù)Z=P-R可得Z=0，說明沒有閉環(huán)極點位于右半s平面，所以系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，與上述根軌跡判定結(jié)果一致。

圖2 校正后系統(tǒng)奈奎斯特曲線

4.3 系統(tǒng)伯德圖與系統(tǒng)幅值裕度、相角裕度

繪制校正前后系統(tǒng)的伯德圖，求出的幅值裕量和相角裕量如表3所示。

表3 幅值裕度和相角裕度

可以看出校正前后控制系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度均為正值，進而可得校正前后控制系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，且校正后系統(tǒng)滿足設計要求。

4.4 校正后系統(tǒng)單位階躍輸入狀態(tài)下的系統(tǒng)響應

為了進一步觀察系統(tǒng)的動態(tài)性能，本文利用Matlab編程仿真，觀察校正前后系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應情況，具體的仿真結(jié)果如圖3所示，可見系統(tǒng)可較好地跟蹤上階躍信號，且比原系統(tǒng)跟蹤信號的能力顯著提高。計算出系統(tǒng)動態(tài)性能指標，如表4所示。

圖3 單位階躍輸入下系統(tǒng)響應

表4 系統(tǒng)動態(tài)性能指標

由表4可知，校正后調(diào)節(jié)時間顯著縮短，峰值時間和上升時間基本不變，超調(diào)量顯著減小，可見校正后系統(tǒng)的性能顯著提升。

本文設計的兩級串聯(lián)超前校正裝置很好地滿足了設計要求，而且校正后系統(tǒng)快速性、穩(wěn)定性、跟蹤信號能力方面都有顯著提升。