NA序列隨機(jī)和的幾乎處處中心極限定理*

井照敬，張 玉

(巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 巢湖 238000)

20世紀(jì)80年代，Schatte[1]和Brosamler[2]討論了幾乎處處中心極限定理，近年來，該理論一直是概率極限理論研究的熱點(diǎn).Berkes等[3]構(gòu)造了一系列獨(dú)立隨機(jī)變量序列，使其滿足幾乎處處中心極限定理但不滿足中心極限定理.這說明在實(shí)際生活中，幾乎處處中心極限定理的應(yīng)用更廣泛.隨后，Berkes等[4]推廣了文獻(xiàn)[3]，在無界函數(shù)條件下得到幾乎處處中心極限定理.之后，獨(dú)立隨機(jī)變量的幾乎處處中心極限定理被推廣到相依序列[5-7].筆者的主要目的是證明NA序列的隨機(jī)和序列依然滿足幾乎處處中心極限定理，且在幾種不同權(quán)重條件下該結(jié)論依然成立.

定義1[1]獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量部分和的幾乎處處中心極限定理的簡(jiǎn)單形式如下：

其中I(·)為示性函數(shù)，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

定義1是最常見的幾乎處處中心極限定理的形式.近年來，該結(jié)論通過不同條件在各種相依類型上得到證明.

其中Z～N(0,σ2).

定義2[8]稱隨機(jī)變量X1,…,Xn(n≥1)為負(fù)相協(xié)的(簡(jiǎn)記NA), 如果對(duì)于任意2個(gè)具有相同單調(diào)性的函數(shù)f1和f2，以及集合{1,2，…，n}的任意2個(gè)非空且不相交子集A和B,有

Cov(f1(Xi,i∈A),f2(Xj,j∈B))≤0.

若隨機(jī)變量X1,X2，…,Xn是NA的,f1,f2,…,fn是非減函數(shù), 則隨機(jī)變量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)也是NA的.

定義3[7]稱隨機(jī)變量X1,…,Xn(n≥1)為正相協(xié)的(簡(jiǎn)記PA),如果對(duì)于任意2個(gè)使得協(xié)方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙档暮瘮?shù)g1和g2，以及集合{1,2，…，n}的任意2個(gè)非空且不相交子集A和B,有

Cov(g1(Xi,i∈A),g2(Xj,j∈B))≥0.

對(duì)于隨機(jī)變量序列{Xk，k≥1}和{Nn,n≥1}，做出以下假設(shè)：

引理2[9]設(shè){Xn,n≥1}是嚴(yán)平穩(wěn)的、均方可積的相協(xié)隨機(jī)序列，且滿足假設(shè)(H1)和(H2)，則有

(1)

易證(1)式對(duì)于NA序列也成立.

證明記

則f-(x1,…,xn)是關(guān)于每個(gè)分量都非增的函數(shù).關(guān)于f+(x1,…,xn)與f-(x1,…,xn)，由單調(diào)性可知Cov(f+(x1,…,xn),f-(x1,…,xn))≤0，于是

(2)

(3)

于是由B-C引理可知，

(4)

E(Zn(f))→E(f(Z))n→+∞.

(5)

結(jié)合(4)，(5)式，可得

(6)

接下來還需證明

(7)

要證明(7)式成立，可通過如下計(jì)算：

其中

(8)

由于|f|是Lipschitz函數(shù)，因此由(4)式顯然可得

于是

(9)

綜上可知(3)式成立.