H-矩陣最小奇異值的一個下界*

傅有明

(三明學(xué)院信息工程學(xué)院,福建 三明 365004)

1 預(yù)備知識

(1)

注意到hi(A)易通過(1)式計算.用矩陣語言可表述為

h(A)=|D|(|D|-|L|)-1|U|e=|D|(I-(|D|-|L|)-1A)e,

具體參考文獻[1].

定義1[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,n≥2,是非零對角元矩陣.如果對于每個i∈N,

|aii|>hi(A)i∈N

(2)

成立,那么稱A為Nekrasov矩陣.

Kolotilina[1]指出，條件(2)等價于|D|e>|D|(|D|-|L|)-1|U|e,或者是Z-矩陣(|D|-|L|)-1A=I-(|D|-|L|)-1|U|的嚴格對角占優(yōu)的條件.

(3)

Johnson利用Gersgorin定理證明了[4]

(4)

并對嚴格對角占優(yōu)矩陣給出了進一步的下界[5]

(5)

和

(6)

Wang等[6]給出了嚴格對角占優(yōu)矩陣最小奇異值的下界

(7)

筆者將給出Nekrasov矩陣的最小奇異值的一個下界，并基于這個下界給出H-矩陣的最小奇異值的下界.

2 主要結(jié)果

證明注意到AA-1=I,則由A=|D|-|L|-|U|可知，

(|D|-|L|)(I-(|D|-|L|)-1|U|)A-1=I.

(I-(|D|-|L|)-1|U|)bi=(|D|-|L|)-1ei,

(8)

記C∶=(I-(|D|-|L|)-1|U|)，那么(8)式等價于

Cbi=yi.

(9)

從而

因此

證畢.

為了獲得Nekrasov矩陣最小奇異值的下界，記

定理1假設(shè)A=(aij)∈Rn×n是Nekrasov矩陣，則有

σn(A)≥α(A).

(10)

因為嚴格對角占優(yōu)矩陣也是Nekrasov矩陣，所以Nekrasov矩陣的最小奇異值σn(A)的下界也能應(yīng)用到H-矩陣.

定理2設(shè)A=(aij)∈Cn×n，是H-矩陣，且存在一個正對角矩陣D使得B=AD=∶(bij)為嚴格對角占優(yōu)矩陣，則有

(11)

由定理1和引理 3易知(11)式成立.

3 數(shù)值實例

考慮如下矩陣：

這些矩陣的最小奇異值的下界列于表1.

表1 矩陣的最小奇異值的下界

表1中 “—” 表示公式不可用.由表1可知，由(10)式計算的界對矩陣A1～A6都是最好的.