一種直接利用連續(xù)時間非周期信號的頻譜計算相應(yīng)周期序列的頻譜的方法*

陳紹榮，陳柏良，何 健，薛在陽

（1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.深圳市惟新科技股份有限公司，廣州 深圳 518000；3.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；4.奧特斯科技（重慶）有限公司，重慶 401133）

0 引 言

在國內(nèi)外《信號與系統(tǒng)》著作[1-2]中，對連續(xù)時間非周期信號、非周期序列和周期序列的頻譜，依據(jù)各自的定義，研究其性質(zhì)、定理，一般僅研究了兩種信號頻譜之間的關(guān)系。基于《信號與系統(tǒng)》著作[3]和《數(shù)字信號處理》著作[4]，本文利用函數(shù)逼近沖激函數(shù)時，其曲線下的面積保持不變的特性，證明了周期沖激信號的頻譜具有離散性、諧波性和均勻性。以此為基礎(chǔ)，導(dǎo)出了連續(xù)時間非周期信號頻域分解的表達(dá)式及其頻譜計算公式。然后分別導(dǎo)出了非周期序列的頻域分解表達(dá)式及其頻譜計算公式。最后不僅給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應(yīng)周期序列的頻譜的方法，而且還給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應(yīng)周期序列的頻譜的實例。

1 連續(xù)時間非周期信號的頻譜

由式（1）可知，x(t)是周期為T0的連續(xù)時間周期信號，并且t=mT0（m為整數(shù)）時，將出現(xiàn)沖激函數(shù)Aδ(t-mT0)，因此，由式（2）可以得到：

式中，第二項是第一項當(dāng)t→mT0時的結(jié)果。考慮到函數(shù)逼近沖激函數(shù)時，其曲線下的面積具有保持不變的特性，若m=0，則沖激函數(shù)Aδ(t)的強度A為：

考慮到式（1）、式（3）、式（4）及單位沖激函數(shù)δ(t)為偶函數(shù)，則有：

式（6）表明，周期沖激信號δT0(t)可以分解成無窮次諧波kΩ0(k=0,±1,±2,…)之和，并且各次諧波的幅度都為1/T0（均勻性）。由于在頻域上角頻率Ω取值不連續(xù)（離散性），按kΩ0(k=0,±1,±2,…)的方式取值（諧波性），因此，通常用X(kΩ0)表示周期沖激信號δT0(t)的頻譜，即X(kΩ0)=1/T0。

考慮到式（1），則有：

考慮到式（7），則連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻域分解可以表示為：

式中，稱Xa(jΩ)為連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜，并且，可以表示為：

式（9）表明，連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)是頻率Ω的連續(xù)函數(shù)。

若以等間隔T對連續(xù)時間非周期信號xa(t)進(jìn)行抽樣，則樣值信號xs(t)可以表示為：

式中，x(n)=xa(nT)，稱x(n)為非周期序列。

考慮到式（9）、式（10）及式（6），則樣值信X號xs(t)的頻譜Xs(jΩ)可以表示為：

式（11）表明，時域上以等間隔T對連續(xù)時間非周期信號xa(t)進(jìn)行抽樣，得到了樣值信號xs(t)，則頻域上以Ωs為周期對連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)做周期延拓，再除以T，就得到了樣值信號 xs(t)的頻譜 Xs(jΩ)。

2 非周期序列的頻譜

考慮到式（8）及式（11），則非周期序列x(n)=xa(nT)的頻域分解可以表示為：

式中，數(shù)字角頻率ω=ΩT。X(ejω)稱為非周期序列x(n)的頻譜，并且，可以表示為：

式（13）表明，非周期序列x(n)的頻譜X(ejω)不僅是數(shù)字角頻率ω的連續(xù)函數(shù)，而且是周期為2π的周期函數(shù)。

3 周期序列的頻譜

考慮到式（6），即：

考慮到式（18）、式（12）、式（17）及周期函數(shù)在一周期內(nèi)的積分與起點無關(guān)，則一個周期為N的周期序列x～(n)的頻域分解可以表示為：

4 基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜計算相應(yīng)周期序列的頻譜

考慮到式（20）、式（13）及式（11），則有：

式（21）是直接利用連續(xù)時間信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)來計算相應(yīng)周期序列的頻譜的依據(jù)。

（1）試直接利用連續(xù)時間信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)計算相應(yīng)周期序列的頻譜

解：（1）考慮到

式 中，G2Ωc(Ω)=ε(Ω+Ωc)-ε(Ω-Ωc)，ε(Ω)為 單 位階躍函數(shù)。

在式（22）中，令Ωc=π/2，可得：

考慮到式（23），則連續(xù)時間非周期信號xa(t)的頻譜為：

定義矩形窗：

式中，ε(k)為單位階躍序列。

考慮到式（24）及式（25），則有：

5 結(jié) 語

本文證明了周期沖激信號的頻譜具有離散性、諧波性和均勻性。以此為基礎(chǔ)，導(dǎo)出了連續(xù)時間非周期信號頻域分解的表達(dá)式及其頻譜計算公式。然后分別導(dǎo)出了非周期序列的頻域分解表達(dá)式及其頻譜計算公式。最后不僅給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應(yīng)周期序列的頻譜的方法，而且還給出了基于連續(xù)時間非周期信號的頻譜來計算相應(yīng)周期序列的頻譜的實例。