歐拉線的證明方法

張柱 馬曉霜

【摘要】三角形的“三心”是平面幾何的重要內(nèi)容，本文基于維果斯基最近發(fā)展區(qū)理論，通過高等教育中射影幾何內(nèi)容對歐拉線進行證明，為學(xué)生構(gòu)建高一級的發(fā)展水平.引導(dǎo)學(xué)生積極思考、探索交流.德薩格定理是證明共線共點問題的優(yōu)質(zhì)工具，本文首先給出德薩格定理的證明方法，然后根據(jù)德薩格定理證明三角形“三心”共線.期望此種證明方法能夠成為引發(fā)學(xué)生積極思考、努力探索的教學(xué)素材.

【關(guān)鍵詞】德薩格定理;歐拉線;三角形

一、前 言

在人教版初中數(shù)學(xué)教材中引入了三角形等平面幾何知識，其中便涉及了三角形的“三心”.三角形的“三心”指的是三角形的外心、垂心和重心，它們是三角形的重要性質(zhì)，但是在中學(xué)平面幾何中教師往往只關(guān)注于學(xué)生如何利用三角形“三心”的性質(zhì)解決平面幾何問題，而對三角形“三心”的聯(lián)系的關(guān)注較少.然而三角形的“三心”之間也存在一定的聯(lián)系，歐拉在《三角形幾何學(xué)》中提出三角形的“三心”位于同一直線上，故而將這條直線稱為歐拉線.雖然歐拉線在初中教科書中沒有具體涉及，但歐拉線卻是一個完美的數(shù)學(xué)文化素材，對于在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化、培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)有著非常積極的作用.因此在學(xué)習(xí)完三角形內(nèi)容之后教師可以向?qū)W生介紹歐拉線的由來以及歐拉線的證明方法.關(guān)于歐拉線的證明方法較多，證明思路各異，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自行證明，最后再補充幾種證明方法，期望通過此環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生積極思考、勇于探索的精神.目前關(guān)于歐拉線的證明方法較多，李善明和魏春強總結(jié)了歐拉線的證明方法包括：幾何綜合證法、位似變換證法、向量證法和解析證法.[1]這些方法全部都是基于中學(xué)生現(xiàn)有知識水平的證明方法，目的在于讓學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決問題，但對學(xué)生思維能力的提高作用效果不明顯.根據(jù)維果斯基提出的最近發(fā)展區(qū)理論.教育教學(xué)要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，給學(xué)生提供一些帶有難度的知識，為學(xué)生發(fā)展提供支架.[2]德薩格定理在高中知識體系中沒有涉及，對于中學(xué)生來說是具有一定難度的新知識，但是德薩格定理是證明共線共點問題的重要工具，所以在中學(xué)幾何教學(xué)過程中，教師可以向?qū)W生介紹德薩格定理，但是不需要他們掌握定理的證明方法.故本文將應(yīng)用德薩格定理證明歐拉線，幫助學(xué)生構(gòu)架下一水平發(fā)展區(qū)，通過此種證明方法激發(fā)學(xué)生積極思考、勇于探索的精神，增強高等幾何與中學(xué)幾何之間的聯(lián)系.

二、德薩格定理的證明

德薩格定理：設(shè)有兩個三點形，它們對應(yīng)頂點的連線交于一點，則對應(yīng)邊的交點共線.[3]

由此可見：此種證明方法步驟簡單、思路清晰，其實就是對德薩格定理的直接運用，學(xué)生理解的困難更多的是來自德薩格定理本身的證明方法和一些新的概念，比如三點形.此時學(xué)生便會產(chǎn)生疑問，三點形和三角形有什么區(qū)別.當(dāng)然這些知識已經(jīng)超越了學(xué)生現(xiàn)有知識水平.屬于最近發(fā)展區(qū)中第二個發(fā)展水平，教師可以在教學(xué)中滲透相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考探索.最后期望教師能將這種方法引入到中學(xué)幾何課堂中，幫助學(xué)生構(gòu)建最近發(fā)展區(qū)，同時也滲透一定的高等幾何內(nèi)容，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ).

四、三角形三心的應(yīng)用

三角形的三心具有幾個重要性質(zhì)，運用這些性質(zhì)解決幾何問題是初中階段的重點內(nèi)容，下面以重心為例，闡述三角形三心在幾何問題中的應(yīng)用.

【參考文獻】

[1]李善明，魏春強.歐拉線定理證法集萃[J].內(nèi)江科技，2008（11）：40，66.

[2]徐美娜.“最近發(fā)展區(qū)”理論及對教育的影響與啟示[J].教育與教學(xué)研究，2010（5）：14-16，23.

[3]梅向明，劉增賢，王匯淳，等.高等幾何：第三版[M].北京：高等教育出版社，2008.