復(fù)合函數(shù)在一點(diǎn)的極限與連續(xù)性的解析

呂勝利 李靜鉑

【摘要】 復(fù)合函數(shù)在一點(diǎn)的極限與連續(xù)性與構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)及外層函數(shù)在同一點(diǎn)的屬性有直接的關(guān)系，本文舉例分析由兩個(gè)函數(shù)所構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)在一點(diǎn)的極限與連續(xù)性與這兩個(gè)函數(shù)各自在同一點(diǎn)的極限與連續(xù)性的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 復(fù)合函數(shù);函數(shù)的連續(xù)性;函數(shù)在一點(diǎn)的極限

1 引言

函數(shù)極限與連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)的基本概念，函數(shù)的極限運(yùn)算也是中學(xué)數(shù)學(xué)要求掌握的一種基本的運(yùn)算能力，而連續(xù)性的意義對(duì)于中學(xué)生也是直觀顯見的.本文從高等數(shù)學(xué)的基本理論出發(fā)，分析復(fù)合函數(shù)在一點(diǎn)的極限與連續(xù)性的不同情況.根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)有極限是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的必要但非充分條件，而如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，則這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值.對(duì)于復(fù)合函數(shù)，根據(jù)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)連續(xù)性的不同情況，復(fù)合函數(shù)在一點(diǎn)是否有極限、極限的計(jì)算以及是否連續(xù)也有各種不同的情況.本文對(duì)這些情況給出具體的舉例分析，希望對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)及大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)提供一些直觀的素材.下面給出函數(shù)在一點(diǎn)的極限及函數(shù)的連續(xù)性的基本概念與相關(guān)定理.

2 基本概念與定理

4 結(jié)語

根據(jù)以上分析可以看到，復(fù)合函數(shù)在一點(diǎn)的極限值與內(nèi)層函數(shù)及外層函數(shù)的連續(xù)性有直接關(guān)系.我們可以給出以下結(jié)論：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]，有U°（x0）Df。g， 且g（x0）=u0，若復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處不連續(xù)，則函數(shù)u=g（x）在x=x0處不連續(xù)或函數(shù)y=f（u）在u=u0處不連續(xù).這一結(jié)論可以看作定理3的逆否命題.另外，從不同情況的分析可以看到，若函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，在求函數(shù)在該點(diǎn)的極限時(shí)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以交換.

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