“雙冪次+指數(shù)式”的下肢康復(fù)機(jī)器人滑?？刂?/h1>
2020-03-24 09:45:40沈顯慶任琳琳
黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào) 2020年1期
沈顯慶， 任琳琳
(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)
0 引 言
下肢康復(fù)機(jī)器人是通過(guò)模擬正常人行走的步態(tài)規(guī)律，幫助由于各種原因?qū)е碌南轮c患者，進(jìn)行康復(fù)訓(xùn)練的一種機(jī)電一體化系統(tǒng)。隨著人口老齡化的加重，因脊髓損傷以及腦梗等疾病引起的下肢運(yùn)動(dòng)功能障礙的患者越來(lái)越多。因此，諸多學(xué)者開(kāi)始關(guān)注研究下肢康復(fù)機(jī)器人的控制方法和控制策略?；？刂芠1]具有快速響應(yīng)且在控制過(guò)程中與控制對(duì)象的參數(shù)變化及擾動(dòng)無(wú)關(guān)、不需要系統(tǒng)在線進(jìn)行辨識(shí)等特點(diǎn)，因此，滑?？刂瞥蔀闄C(jī)器人裝置的首選方法。
在人機(jī)交互的過(guò)程中，下肢康復(fù)機(jī)器人滑?？刂葡到y(tǒng)會(huì)存在抖振現(xiàn)象，機(jī)器人的跟蹤效果不夠精確，且對(duì)于剛性結(jié)構(gòu)而言，跟蹤的精度不夠，很可能對(duì)患者產(chǎn)生二次傷害。楊婷等[2]對(duì)比了基于估計(jì)模型和模型上界的兩種滑?？刂品椒ǎl(fā)現(xiàn)兩種方法都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)軌跡的跟蹤，但從控制輸入來(lái)看，兩者都存在一定程度的抖振現(xiàn)象。徐杰等[3]將切換函數(shù)和趨近律一同在控制器中進(jìn)行設(shè)計(jì)，達(dá)到實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)男Ч?，并在一定程度上削弱系統(tǒng)的抖振。張俊輝等[4]改進(jìn)了飽和函數(shù)趨近律，并對(duì)改進(jìn)后的滑?？蛇_(dá)性進(jìn)行了證明，結(jié)果表明改進(jìn)后的趨近律具有更好的跟蹤性能。 基于此，筆者針對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人滑模控制系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了一種“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂品椒ǎ瑸榭祻?fù)機(jī)器人的進(jìn)一步研究提供一定的參考。
1 建模與滑模函數(shù)的選取
下肢康復(fù)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)坐標(biāo)圖[5]如圖1所示。
圖1 下肢康復(fù)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)
利用拉格朗日的方法對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人的關(guān)節(jié)機(jī)械裝置建立動(dòng)力學(xué)模型[6-7]：
式中：M(q)——n×n階轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；
G(q)——n×1階重力向量；
q——關(guān)節(jié)變量的向量,q∈Rn；
τ——執(zhí)行機(jī)構(gòu)施加的關(guān)節(jié)控制扭矩向量，τ∈Rn；
τd——外界干擾量。
則實(shí)際的控制對(duì)象為
將建模誤差、參數(shù)變化、機(jī)械裝置之間的摩擦及其他不確定因素視為外界干擾量E，則
其中，
取雙關(guān)節(jié)下肢康復(fù)機(jī)器人理想的位置跟蹤指令為qd(t)，實(shí)際的位置跟蹤指令為q(t)，則雙關(guān)節(jié)的跟蹤誤差為
e=qd(t)-q(t)，
則
式中：q1d、q2d——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的理想位置；
q1、q2——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)跟蹤的實(shí)際位置；
設(shè)計(jì)滑模函數(shù)[8]為
則
滑?？刂破鳛?/p>
(1)
2 趨近律的選取
2.1 單冪次趨近律
控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。
圖2 改進(jìn)趨近律的滑?？刂?/p>
單冪次趨近律為
(2)
將式(2)代入式(1)，可得控制率
(3)
在該控制率中，由于E是未知的，控制率在實(shí)際應(yīng)用中無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因此取Ec為E的估計(jì)值，采用Ec替代式(3)中的E，則控制率為
(4)
將式(4)代入式(1)，可得
(5)
取李亞普諾夫函數(shù)為
(6)
對(duì)式(6)求導(dǎo)，聯(lián)合式(3)～(5)，可得
2.2 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律
其中，K1>0,K2>0,0<α<1,ε>0。
因此，改進(jìn)的趨近律滿足滑?？蛇_(dá)性條件。式中|s|<1可以通過(guò)減小α的值來(lái)增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|>1，α越小，-K1s|s|αsgns相對(duì)于-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起的作用，要小得多,可忽略不計(jì)。|s|>1，可以通過(guò)增大β來(lái)增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|<1，β越大，-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起到的作用就很小，可以忽略不計(jì)。用-εsgns-ks來(lái)增加系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，使得當(dāng)s趨近于零時(shí)刻，趨近的速度是ε，而不是零，保證系統(tǒng)在有限的時(shí)間到達(dá)。以此來(lái)削弱系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
(7)
將式(7)代入式(1)，并將Ec替換為E系統(tǒng)的控制率為
(8)
將式(8)代入式(1)，可得
ks+M-1(Ec-E)。
(9)
對(duì)式(6)求導(dǎo)，并結(jié)合式(8)和(9)可得
根據(jù)李亞普諾夫直接法可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
3 控制系統(tǒng)仿真
3.1 參數(shù)設(shè)置
τd=[2sin(2πt) 3cos(2πt)]T。
下肢康復(fù)機(jī)器人的兩關(guān)節(jié)角度的理想指令取為
q1d=cost，q2d=sint，
系統(tǒng)的初始狀態(tài)為
取c1=c2=0.5，k=3，K1=1，K2=3，α=0.2，β=3，對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人采用控制率(4)以及控制率(8)分別進(jìn)行控制系統(tǒng)仿真分析。
3.2 結(jié)果與誤差分析
采用經(jīng)典的單冪次趨近律時(shí)，下肢康復(fù)機(jī)器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖3所示。
由圖3a、b可見(jiàn)，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達(dá)到理想的跟蹤狀態(tài)，但在膝關(guān)節(jié)的速度跟蹤過(guò)程中出現(xiàn)了抖動(dòng)現(xiàn)象。由于下肢康復(fù)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，髖關(guān)節(jié)的受力比較復(fù)雜，所以在利用單冪次趨近律滑模控制時(shí)，髖關(guān)節(jié)的跟蹤效果明顯沒(méi)有達(dá)到理想的跟蹤要求。從圖3c控制輸入的力矩來(lái)看，力矩輸入具有明顯的抖振現(xiàn)象。
圖3 單冪次趨近律時(shí)下肢康復(fù)機(jī)器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
利用改進(jìn)的“雙冪次+指數(shù)式”趨近律后，下肢康復(fù)機(jī)器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖4所示。
由圖4a、b可見(jiàn)，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達(dá)到理想的跟蹤狀態(tài)，并且具有一定的穩(wěn)定性。利用改進(jìn)趨近律的滑?？刂坪?，雖然髖關(guān)節(jié)的位置和速度的跟蹤效果也沒(méi)有達(dá)到理想的跟蹤要求。但是相對(duì)于單冪次趨近律而言，在一定程度上提高了髖關(guān)節(jié)的跟蹤精度。從圖4c控制輸入的力矩來(lái)看，采用改進(jìn)“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂?，在一定程度上削弱了系統(tǒng)的抖振，提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
圖4 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律時(shí)下肢康復(fù)機(jī)器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
采用不同趨近律時(shí)，下肢康復(fù)機(jī)器人的位置與速度跟蹤的誤差分析如圖5所示。
對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人采用兩種不同趨近律的滑膜控制跟隨誤差進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂破鲿r(shí)，明顯縮小了跟蹤的誤差。從圖5a可以看出控制初始時(shí)，采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律滑?？刂茣r(shí)，髖關(guān)節(jié)的速度誤差相對(duì)于單冪次趨近律而言較大，但是髖關(guān)節(jié)速度跟蹤誤差卻能夠在很短的時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)定。說(shuō)明在穩(wěn)定性方面采用改進(jìn)的趨近律的滑模控制要優(yōu)于傳統(tǒng)的單冪次趨近律滑?？刂?。圖5b的對(duì)比可以看出，改進(jìn)趨近律滑?？刂频南リP(guān)節(jié)誤差，隨時(shí)間很快趨于平穩(wěn)并且保持穩(wěn)定狀態(tài)，明顯增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。
圖5 采用不同趨近律時(shí)髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤誤差
4 結(jié)束語(yǔ)
針對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人滑模控制系統(tǒng)存在抖振，以及在控制過(guò)程中因抖振問(wèn)題產(chǎn)生的機(jī)器人跟隨誤差等問(wèn)題，采用改進(jìn)“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的方法，不僅削弱控制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，而且提高了下肢康復(fù)機(jī)器人的跟蹤精度以及控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)Matlab/Simulink環(huán)境下的S函數(shù)對(duì)控制算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)和對(duì)比分析可知，采用改進(jìn)“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的方法設(shè)計(jì)的滑?？刂葡到y(tǒng)，相對(duì)于傳統(tǒng)的單冪次趨近律而言，具有良好的魯棒性和控制精確度并且削弱了系統(tǒng)的抖振，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，為進(jìn)一步研究下肢康復(fù)機(jī)器人提供了一些參考。
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在人機(jī)交互的過(guò)程中，下肢康復(fù)機(jī)器人滑?？刂葡到y(tǒng)會(huì)存在抖振現(xiàn)象，機(jī)器人的跟蹤效果不夠精確，且對(duì)于剛性結(jié)構(gòu)而言，跟蹤的精度不夠，很可能對(duì)患者產(chǎn)生二次傷害。楊婷等[2]對(duì)比了基于估計(jì)模型和模型上界的兩種滑?？刂品椒ǎl(fā)現(xiàn)兩種方法都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)軌跡的跟蹤，但從控制輸入來(lái)看，兩者都存在一定程度的抖振現(xiàn)象。徐杰等[3]將切換函數(shù)和趨近律一同在控制器中進(jìn)行設(shè)計(jì)，達(dá)到實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)男Ч?，并在一定程度上削弱系統(tǒng)的抖振。張俊輝等[4]改進(jìn)了飽和函數(shù)趨近律，并對(duì)改進(jìn)后的滑?？蛇_(dá)性進(jìn)行了證明，結(jié)果表明改進(jìn)后的趨近律具有更好的跟蹤性能。 基于此，筆者針對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人滑模控制系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了一種“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂品椒ǎ瑸榭祻?fù)機(jī)器人的進(jìn)一步研究提供一定的參考。
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下肢康復(fù)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)坐標(biāo)圖[5]如圖1所示。
圖1 下肢康復(fù)機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)
利用拉格朗日的方法對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人的關(guān)節(jié)機(jī)械裝置建立動(dòng)力學(xué)模型[6-7]：
式中：M(q)——n×n階轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；
G(q)——n×1階重力向量；
q——關(guān)節(jié)變量的向量,q∈Rn；
τ——執(zhí)行機(jī)構(gòu)施加的關(guān)節(jié)控制扭矩向量，τ∈Rn；
τd——外界干擾量。
則實(shí)際的控制對(duì)象為
將建模誤差、參數(shù)變化、機(jī)械裝置之間的摩擦及其他不確定因素視為外界干擾量E，則
其中，
取雙關(guān)節(jié)下肢康復(fù)機(jī)器人理想的位置跟蹤指令為qd(t)，實(shí)際的位置跟蹤指令為q(t)，則雙關(guān)節(jié)的跟蹤誤差為
e=qd(t)-q(t)，
則
式中：q1d、q2d——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的理想位置；
q1、q2——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)跟蹤的實(shí)際位置；
設(shè)計(jì)滑模函數(shù)[8]為
則
滑?？刂破鳛?/p>
(1)
2 趨近律的選取
2.1 單冪次趨近律
控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。
圖2 改進(jìn)趨近律的滑?？刂?/p>
單冪次趨近律為
(2)
將式(2)代入式(1)，可得控制率
(3)
在該控制率中，由于E是未知的，控制率在實(shí)際應(yīng)用中無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因此取Ec為E的估計(jì)值，采用Ec替代式(3)中的E，則控制率為
(4)
將式(4)代入式(1)，可得
(5)
取李亞普諾夫函數(shù)為
(6)
對(duì)式(6)求導(dǎo)，聯(lián)合式(3)～(5)，可得
2.2 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律
其中，K1>0,K2>0,0<α<1,ε>0。
因此，改進(jìn)的趨近律滿足滑?？蛇_(dá)性條件。式中|s|<1可以通過(guò)減小α的值來(lái)增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|>1，α越小，-K1s|s|αsgns相對(duì)于-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起的作用，要小得多,可忽略不計(jì)。|s|>1，可以通過(guò)增大β來(lái)增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|<1，β越大，-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起到的作用就很小，可以忽略不計(jì)。用-εsgns-ks來(lái)增加系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，使得當(dāng)s趨近于零時(shí)刻，趨近的速度是ε，而不是零，保證系統(tǒng)在有限的時(shí)間到達(dá)。以此來(lái)削弱系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
(7)
將式(7)代入式(1)，并將Ec替換為E系統(tǒng)的控制率為
(8)
將式(8)代入式(1)，可得
ks+M-1(Ec-E)。
(9)
對(duì)式(6)求導(dǎo)，并結(jié)合式(8)和(9)可得
根據(jù)李亞普諾夫直接法可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
3 控制系統(tǒng)仿真
3.1 參數(shù)設(shè)置
τd=[2sin(2πt) 3cos(2πt)]T。
下肢康復(fù)機(jī)器人的兩關(guān)節(jié)角度的理想指令取為
q1d=cost，q2d=sint，
系統(tǒng)的初始狀態(tài)為
取c1=c2=0.5，k=3，K1=1，K2=3，α=0.2，β=3，對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人采用控制率(4)以及控制率(8)分別進(jìn)行控制系統(tǒng)仿真分析。
3.2 結(jié)果與誤差分析
采用經(jīng)典的單冪次趨近律時(shí)，下肢康復(fù)機(jī)器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖3所示。
由圖3a、b可見(jiàn)，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達(dá)到理想的跟蹤狀態(tài)，但在膝關(guān)節(jié)的速度跟蹤過(guò)程中出現(xiàn)了抖動(dòng)現(xiàn)象。由于下肢康復(fù)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，髖關(guān)節(jié)的受力比較復(fù)雜，所以在利用單冪次趨近律滑模控制時(shí)，髖關(guān)節(jié)的跟蹤效果明顯沒(méi)有達(dá)到理想的跟蹤要求。從圖3c控制輸入的力矩來(lái)看，力矩輸入具有明顯的抖振現(xiàn)象。
圖3 單冪次趨近律時(shí)下肢康復(fù)機(jī)器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
利用改進(jìn)的“雙冪次+指數(shù)式”趨近律后，下肢康復(fù)機(jī)器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖4所示。
由圖4a、b可見(jiàn)，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達(dá)到理想的跟蹤狀態(tài)，并且具有一定的穩(wěn)定性。利用改進(jìn)趨近律的滑?？刂坪?，雖然髖關(guān)節(jié)的位置和速度的跟蹤效果也沒(méi)有達(dá)到理想的跟蹤要求。但是相對(duì)于單冪次趨近律而言，在一定程度上提高了髖關(guān)節(jié)的跟蹤精度。從圖4c控制輸入的力矩來(lái)看，采用改進(jìn)“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂?，在一定程度上削弱了系統(tǒng)的抖振，提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
圖4 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律時(shí)下肢康復(fù)機(jī)器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
采用不同趨近律時(shí)，下肢康復(fù)機(jī)器人的位置與速度跟蹤的誤差分析如圖5所示。
對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人采用兩種不同趨近律的滑膜控制跟隨誤差進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂破鲿r(shí)，明顯縮小了跟蹤的誤差。從圖5a可以看出控制初始時(shí)，采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律滑?？刂茣r(shí)，髖關(guān)節(jié)的速度誤差相對(duì)于單冪次趨近律而言較大，但是髖關(guān)節(jié)速度跟蹤誤差卻能夠在很短的時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)定。說(shuō)明在穩(wěn)定性方面采用改進(jìn)的趨近律的滑模控制要優(yōu)于傳統(tǒng)的單冪次趨近律滑?？刂?。圖5b的對(duì)比可以看出，改進(jìn)趨近律滑?？刂频南リP(guān)節(jié)誤差，隨時(shí)間很快趨于平穩(wěn)并且保持穩(wěn)定狀態(tài)，明顯增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。
圖5 采用不同趨近律時(shí)髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤誤差
4 結(jié)束語(yǔ)
針對(duì)下肢康復(fù)機(jī)器人滑模控制系統(tǒng)存在抖振，以及在控制過(guò)程中因抖振問(wèn)題產(chǎn)生的機(jī)器人跟隨誤差等問(wèn)題，采用改進(jìn)“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的方法，不僅削弱控制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，而且提高了下肢康復(fù)機(jī)器人的跟蹤精度以及控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)Matlab/Simulink環(huán)境下的S函數(shù)對(duì)控制算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)和對(duì)比分析可知，采用改進(jìn)“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的方法設(shè)計(jì)的滑?？刂葡到y(tǒng)，相對(duì)于傳統(tǒng)的單冪次趨近律而言，具有良好的魯棒性和控制精確度并且削弱了系統(tǒng)的抖振，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，為進(jìn)一步研究下肢康復(fù)機(jī)器人提供了一些參考。
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