一道原創(chuàng)題的兩種解法 孰是孰非

甘志國

摘?要：本文對一道求三角函數(shù)值問題給出了兩種自然解法，針對這兩種解法的不一致性進行了分析探討并給予了修正.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)值;分數(shù)指數(shù)冪;評析

題目?已知tanθ=43，求sin3θ+sinθ的值.

解法1?由tanθ=43，可得sinθcosθ=43.

所以cosθ=34sinθ，sinθ≠0.

所以sin3θ+sinθ=sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32

=sin3θ+sinθsin2θ+34sinθ2sin2θ+34sinθ232

=4116sin3θ54sinθ232

=4116sin3θ12564sin3θ=164125.

解法2?由tanθ=43>0，可得θ是第一象限角或第三象限角.

（1）當θ是第一象限角時，由tanθ=43，可得sinθ=45.

所以sin3θ+sinθ=453+45=164125.

（2）當θ是第三象限角時，由tanθ=43，可得sinθ=-45.

所以sin3θ+sinθ=-453-45=-164125.

綜上所述，可得sin3θ+sinθ=±164125.

剖析?我們發(fā)現(xiàn)解法2必然正確，因而解法1是錯誤的！那么解法1錯在哪里呢？

我們分析在解法1中sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32=4116sin3θ54sinθ232=4116sin3θ12564sin3θ是否正確：

該等式中的第一個等號成立毋庸置疑（因為“由tanθ=43，可得cosθ=34sinθ，sinθ≠0”是千真萬確的），那么解法1錯誤的原因只可能是上面等式中的第二個等號不成立因為該等式中第二個等號兩邊分式的分子恒等，所以它們的分母不恒等，即“（sin2θ）32=sin3θ”不是恒等式.

確實如此：以上等式中的第一個分式與第三個分式的分子恒等，但分母不恒等，因為（sin2θ+cos2θ）32=132=1>0，但由解法2可知12564sin3θ=12564±453=±1.

那么，為什么“（sin2θ）32=sin3θ”不是恒等式呢？

普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)1·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡稱《必修1》）第51頁第二行給出了下面的公式：

amn=nam（a>0，m，n∈N*，且n>1）.

第9行（黑體字）又寫道“0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0”，所以可把上面的公式推廣為：

amn=nam（a≥0，m，n∈N*，且n>1）.①

因而由sin2θ≥0及①，可得（sin2θ）32=（sin2θ）3=sinθ3.

由此，可得解法1的修正：

由tanθ=43，可得cosθ=34sinθ，sinθ=±45.

所以sin3θ+sinθ=sin3θ+sinθ（sin2θ+cos2θ）（sin2θ+cos2θ）32

=4116sin3θ54sinθ232=4116sin3θ12564sinθ3=164125，sinθ=45，-164125，sinθ=-45

所以sin3θ+sinθ=±164125.

筆者在《數(shù)學(xué)通訊》2006年第9期（教師版）第25頁“爭鳴”欄目發(fā)表了下面的內(nèi)容：

問題112?全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)·第一冊（上）》（人民教育出版社，2003年）第70頁的第2（3）題是：用分數(shù)指數(shù)冪表示3（a-b）2（a，b∈R+）與該教科書配套使用的《教師教學(xué)用書》第55頁給出的答案是（a-b）23.

筆者認為：在該教科書中只講述了底數(shù)為非負數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪，從未涉及負數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪（這樣處理也很合適），所以該題的答案應(yīng)為a-b23.

從“解法1的修正”來看，筆者發(fā)表的觀點3（a-b）2=a-b23（a，b∈R+）是正確的.

《必修1》第54頁的第2（3）題把問題112中的題目改成了“用分數(shù)指數(shù)冪表示3（m-n）2（m>n）”，與《必修1》配套使用的《教師教學(xué)用書》第55頁給出的答案是（m-n）23.

該觀點與筆者發(fā)表的觀點3（a-b）2=a-b23（a，b∈R+）也完全一致.

（收稿日期：2019-07-26）