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    一道高考題的解法探究

    2020-03-23 05:56:45徐祖德
    理科考試研究·高中 2020年3期

    徐祖德

    摘?要:本文以2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第12題為載體,通過化繁為簡(jiǎn)、抽象模型、提煉公式,將幾何體外接球問題變得直觀、通透,簡(jiǎn)化計(jì)算量,適合在實(shí)踐中應(yīng)用.

    關(guān)鍵詞:高考真題;幾何體;外接球

    1?題目呈現(xiàn)

    題目?(2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為(?).

    A.8 6πB.4 6πC.2 6πD. 6π

    2?試題分析

    本題緊扣課程標(biāo)準(zhǔn),主要考查幾何體的外接球的體積問題,以三棱錐為載體,考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

    3?解法探究

    思路1?對(duì)一個(gè)正三棱錐來說,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)是兩個(gè)基本量,這兩個(gè)基本量確定了,這個(gè)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征就確定了,外接球問題就自然解決了.于是本題可利用條件,建立等量關(guān)系求側(cè)棱長(zhǎng),再求外接球的半徑,從而求得外接球的體積.

    解法1?設(shè)PA=PB=PC=2x,則EF=x.

    又CF=3,在Rt△CEF中,由勾股定理可得,CE=3-x2.

    在△ACP中,由中線定理可得,

    AC2+CP2=2(AE2+CE2).

    則4+4x2=2(x2+3-x2)

    解得x= 22.

    所以PA=PB=PC=2.

    過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC,則垂足點(diǎn)D為底面正三角形的中心.

    所以PD=PC2-CD2= 63.

    設(shè)正三棱錐外接球半徑為R,則有(PD-R)2+CD2=R2解得R= 62.

    故球的體積為43πR3=6π,故選D.

    思路2?求得側(cè)棱長(zhǎng)后,根據(jù)各數(shù)據(jù)的特征,發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱兩兩互相垂直且相等,于是可以將其補(bǔ)成正方體,從而可以快速求得外接球的半徑,問題就迎刃而解.

    解法2?同思路1,先求得PA=PB=PC=2.

    又AB=AC=BC=2,則△PAC,△PAB,△PBC均為等腰直角三角形.

    所以PA,PB,PC兩兩互相垂直.

    于是可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為 2的正方體,且正方體的外接球就是三棱錐的外接球.

    設(shè)該三棱錐外接球半徑為R,則有(2R)2=(2)2+(2)2+(2)2.

    解得R= 62.

    故球的體積為43πR3=6π,故選D.

    思路3?若對(duì)正三棱錐的性質(zhì)“對(duì)棱互相垂直”非常熟悉,我們還可以通過幾何證明三條側(cè)棱兩兩互相垂直,從而大大簡(jiǎn)化計(jì)算.

    解法3?因?yàn)辄c(diǎn)E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點(diǎn),所以EF是△PAB的中位線.

    所以EF//PB.

    又因?yàn)镃E⊥EF,所以CE⊥PB.

    在三棱錐P-ABC中,因?yàn)镻A=PB=PC,△ABC為正三角形,所以AC⊥PB.

    又AC∩CE=C,所以PB⊥平面ACP.

    所以PB⊥PA,PB⊥PC.

    所以在正三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩互相垂直.

    以下同解法2.

    思路4?前面三種思路局限在立體幾何這個(gè)知識(shí)體系中,我們還可以利用空間向量的知識(shí),轉(zhuǎn)化條件,發(fā)現(xiàn)棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直的特殊性,從而使問題輕松解決.

    解法4?設(shè)PA=a→,PB=b→,PC=c→,依題意知a→=b→=c→,且〈a→,b→〉=〈b→,c→〉=〈a→,c→〉.

    因?yàn)镃E=CP+PE=-c→+12a→,EF=12b→,∠CEF=90°,則CE·EF=(-c→+12a→)·b→2=0.

    所以12cos〈a→,b→〉-cos〈b→,c→〉=0.

    所以cos〈a→,b→〉=0.

    所以a→⊥b→從而a→⊥c→,b→⊥c→

    即PA,PB,PC兩兩互相垂直.

    以下同解法2.

    4?試題變式

    思考1?根據(jù)正三棱錐的底面三角形外接圓與棱錐的高構(gòu)造一個(gè)圓錐,我們發(fā)現(xiàn)該圓錐的外接球即為正三棱錐的外接球,故可將正棱錐補(bǔ)成圓錐求解.

    變式1?已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC=l,△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形,則球O的半徑為.

    解析?如圖2,以△ABC的外接圓為底面,以PA為母線,將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)圓錐,這時(shí)三棱錐的外接球即為圓錐的外接球.

    在Rt△PAD中,有PA2=PD2+AD2,即l2=h2+r2.

    在Rt△OAD中,有OA2=OD2+AD2,即R2=(h-R)2+r2.

    所以R=l22h=l22 l2-13a2.

    思考2?在本高考題中三棱錐P-ABC具有“三棱兩兩互相垂直”這一特殊的幾何性質(zhì),我們可以削弱條件,三棱錐P-ABC中只有一條側(cè)棱PA⊥底面ABC,我們可以通過補(bǔ)成柱體求解.

    變式2?已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA⊥平面ABC,PA=h,BC=a,∠BAC=θ,則球O的半徑為.

    解析?如圖3,以△ABC的外接圓為底面,以PA為高,將三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個(gè)圓柱,這時(shí)三棱錐的外接球即為圓柱的外接球.

    在Rt△OAD中,有OA2=OD2+AD2,即R2=(h2)2+r2.

    在△ABC中,由正弦定理得2r=BCsin∠BAC=asinθ.

    所以R=(h2)2+r2=h24+a24sin2θ= h2sin2θ+a22sinθ.

    通過以上分析,我們可以得到特殊幾何體外接球半徑的三種常見求解公式:

    (1)補(bǔ)方 :R=12 a2+b2+c2

    (2)補(bǔ)錐:?R=l22h

    (3)補(bǔ)柱:R=(h2)2+r2

    5?題后反思

    美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過,掌握數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會(huì)解題,而想要學(xué)會(huì)解題,好的數(shù)學(xué)題目是關(guān)鍵,高考試題就恰恰是我們最佳研究對(duì)象.幾何體的外接球半徑問題,主要考查學(xué)生的空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力,已成為高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體.解決幾何體外接球半徑問題的關(guān)鍵是確定球心的位置,方法是先選擇幾何體的一面,確定此面多邊形外接圓的圓心,再過此圓心作垂直此面的垂線,則球心一定在此垂線上,最后根據(jù)其它頂點(diǎn)的情況確定球心的準(zhǔn)確位置.而“補(bǔ)方”“補(bǔ)錐”“補(bǔ)柱”是解決特殊幾何體外接球半徑問題行之有效的方法.

    (收稿日期:2019-12-01)

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