一類完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán)的構(gòu)造

王樹新, 王鶴潼, 李思宇, 王冬雪

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

1970年，J.H.Conway[1]從鏈環(huán)可進(jìn)行纏繞分解的角度出發(fā)，指出任何鏈環(huán)的投影圖都可以分解成代數(shù)纏繞的集合，并給出了代數(shù)鏈環(huán)的定義，同時(shí)介紹了鏈環(huán)投影圖與其基本多面體之間的關(guān)系；2005年，C.L.McCabe[2]結(jié)合樹圖的有關(guān)知識(shí)，給出了將代數(shù)鏈環(huán)的代數(shù)投影圖轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的代數(shù)投影圖的具體方法，并給出了MAP(最小代數(shù)表示)鏈環(huán)的棍棒指標(biāo)估計(jì)，同時(shí)指出代數(shù)鏈環(huán)的非代數(shù)投影圖至少由6個(gè)代數(shù)纏繞構(gòu)成；2005年，E.Insko[3]給出了任意非代數(shù)紐結(jié)和鏈環(huán)與完全非代數(shù)連接基本多面體之間的關(guān)系，同時(shí)給出了非代數(shù)紐結(jié)和鏈環(huán)新的棍棒指標(biāo)估計(jì). 本文從上述角度出發(fā)，構(gòu)造性地證明了對(duì)于任意的自然數(shù)n(n≥6，n≠7)均存在完全非代數(shù)連接基本多面體，進(jìn)而證明了完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán)的廣泛存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[4]設(shè)(B，t1∪t2)是一偶對(duì),其中，B是一個(gè)三維實(shí)心球體，t1，t2是B中的2條互不相交的弧段，若ti∩?B=?ti(i=1，2)，則稱偶對(duì)(B，t1∪t2)是一個(gè)2-纏繞.

注1.1本文所指的纏繞均為2-纏繞.

定義1.2從0-纏繞出發(fā)，做n次正(負(fù))水平扭轉(zhuǎn)形成的纏繞稱為水平整數(shù)纏繞，記為水平+n(-n)-纏繞；從∞-纏繞出發(fā)，做n次正(負(fù))豎直扭轉(zhuǎn)形成的纏繞稱為豎直整數(shù)纏繞，記為豎直+n(-n)-纏繞；水平整數(shù)纏繞和豎直整數(shù)纏繞統(tǒng)稱為整數(shù)纏繞.

定義1.3設(shè)T1，T2是兩個(gè)纏繞，若纏繞T1，T2間至少通過2段弧相連，則稱纏繞T1和T2以代數(shù)方式連接.

定義1.4設(shè)T是一個(gè)由n個(gè)整數(shù)纏繞Ti(1≤i≤n，n∈+)彼此連接構(gòu)成的纏繞，若任意2個(gè)纏繞Ti，Tj間均通過代數(shù)方式連接，其中,i≠j且1≤i，j≤n，則稱纏繞T為一個(gè)代數(shù)纏繞.

定義1.5設(shè)L是一鏈環(huán)，DL是L的任意投影圖，將DL中的每個(gè)整數(shù)纏繞Ti用1個(gè)頂點(diǎn)vi(i≥1，i∈+)來代替，此時(shí)DL對(duì)應(yīng)得到1個(gè)平面四岔圖，記為GDL.若GDL中至少存在2頂點(diǎn)間由2段弧相連，則可對(duì)GDL進(jìn)行如圖1所示的局部變形，將vi，vj2個(gè)頂點(diǎn)縮成1個(gè)頂點(diǎn)vi，j(i，j≥1，i，j∈+)，對(duì)GDL中所有滿足上述條件的局部進(jìn)行收縮變形，直到對(duì)應(yīng)的平面四岔圖不能再進(jìn)行如圖1所示的收縮變形為止，記得到的平面四岔圖為BGDL，則稱BGDL為DL對(duì)應(yīng)的基本多面體. 若BGDL中的任意頂點(diǎn)均與其他4個(gè)不同的頂點(diǎn)相連，則稱BGDL中的點(diǎn)以完全非代數(shù)方式連接，此時(shí)稱BGDL為完全非代數(shù)連接基本多面體，進(jìn)一步地稱鏈環(huán)L為完全非代數(shù)連接鏈環(huán).

圖1 平面四岔圖GDL的局部收縮變形Fig.1 Local shrinkage deformation of 4-valent planar graph GDL

命題1.1設(shè)L是一鏈環(huán)，DL是L的任意投影圖，BGDL為DL對(duì)應(yīng)的基本多面體且BGDL具有7個(gè)頂點(diǎn)，則BGDL一定不是完全非代數(shù)連接基本多面體.

注1.2命題1.1通過組合構(gòu)造的方法即可證明.

本文中未給出的概念和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的，參見文獻(xiàn)[5-8].

2 主要結(jié)果

定理2.1對(duì)?n≥6(n≠7，n∈+)，一定存在一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

證設(shè)v1，v2，…，vn(n∈+)是n個(gè)互不相同的頂點(diǎn)，下面分情況討論n的取值.

(1)n為合數(shù).

由n是合數(shù)可知n可表示為j×i(i，j∈+)，易知i≥2，j≥2，且i，j不同時(shí)為2. 下面給出具有n個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖的構(gòu)造方法，具體操作如下：

首先,選取一個(gè)由j個(gè)頂點(diǎn)(j≥3)構(gòu)成的j邊形為中心圖形，在j邊形的各邊外分別增加1個(gè)頂點(diǎn)，如圖2(1)所示，并將新增加的頂點(diǎn)與原頂點(diǎn)按如圖2(2)所示的方式連接，此時(shí)可得到一個(gè)具有2j個(gè)頂點(diǎn)的圖形，記為P2j，由完全非代數(shù)連接的定義，可知P2j是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

圖2 具有2j個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P2j的表示Fig.2 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P2j which has 2j vertices

接下來在P2j最外面的j段弧上分別增加頂點(diǎn)v2j+1，v2j+2，…，v3j，并將每個(gè)新增加的頂點(diǎn)分別同與它相鄰的新增加的2個(gè)頂點(diǎn)相連，此時(shí)得到一個(gè)具有3j個(gè)頂點(diǎn)的圖形，記為P3j，如圖3所示，由完全非代數(shù)連接的定義可知P3j是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖，繼續(xù)進(jìn)行從P2j到P3j相同的構(gòu)造過程，每次增加j個(gè)頂點(diǎn)，增加i-2次，即可得到由n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接平面四岔圖Pn.

圖3 具有3j個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P3j的表示Fig.3 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar P3j which has 3j vertices

綜上所述，對(duì)任意的n≥6且n為合數(shù)時(shí)，定理均成立.

(2)n為質(zhì)數(shù).

由命題1.1可知n≠7，顯然此時(shí)n可由11+4i或13+4i(i≥0，i∈+)表示.下面分情況說明.

①n=11+4i

首先,考慮i=0，即n=11. 此時(shí)任取11個(gè)頂點(diǎn)v1，v2，…，v11. 不失一般性，不妨設(shè)從v1出發(fā)的4段弧分別與v2，v4，v5，v7相連，從v13出發(fā)的4段弧分別與v8，v10，v5，v7相連,對(duì)于未完成連接的頂點(diǎn)vj(2≤j≤10)進(jìn)行如圖4所示的連接，記得到的圖形為P11，由完全非代數(shù)連接的定義，可知P11是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

圖4 具有11個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P11的表示Fig.4 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P11 which has eleven vertices

接下來考慮n=11+4i(i≥1)的情形. 此時(shí)，從P11出發(fā)，在P11最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn)v12，v13，v14，v15，并將新增加的頂點(diǎn)以如圖5所示的方式連接，記得到的圖形為P15.

圖5 具有15個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P15的表示Fig.5 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P15 which has fifteen vertices

重復(fù)上述操作，每次均在P11+4k(1≤k≤i-1)最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn)，最終可得到由11+4i個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接平面四岔圖Pn.

②n=13+4i

首先,考慮i=0，即n=13. 此時(shí)任取13個(gè)頂點(diǎn)v1，v2，…，v13. 不失一般性，不妨設(shè)從v1出發(fā)的4段弧分別與v2，v4，v5，v9相連，從v13出發(fā)的4段弧分別與v10，v12，v5，v9相連，對(duì)于未完成連接的頂點(diǎn)vj(2≤j≤12)進(jìn)行如圖6所示的連接，記得到的圖形為P13，由完全非代數(shù)連接的定義，可知P13是一個(gè)完全非代數(shù)連接平面四岔圖.

圖6 具有13個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P13的表示Fig.6 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P13 which has thirteen vertices

接下來考慮n=13+4i(i≥1)的情形. 此時(shí)，從P13出發(fā)，在P13最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn)v14，v15，v16，v17，并將新增加的頂點(diǎn)以如圖7所示的方式連接，記得到的圖形為P17.

圖7 具有17個(gè)頂點(diǎn)的完全非代數(shù)連接平面四岔圖P17的表示Fig.7 The representation of completely non-algebraic connected 4-valent planar graph P17 which has seventeen vertices

重復(fù)上述操作，每次均在P13+4k(1≤k≤i-1)最外側(cè)的4段弧上分別增加一個(gè)頂點(diǎn)，最終可得到由13+4i個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接平面四岔圖Pn.

綜上，定理得證.

推論2.1?n≥6(n≠7，n∈+)均存在任意多個(gè)完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán).

證由定理2.1可知，對(duì)于?n≥6(n≠7，n∈+)均存在由n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的完全非代數(shù)連接基本多面體BGDL，將BGDL中的每一個(gè)頂點(diǎn)用任意纏繞代替，即可得到一個(gè)完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán)，由纏繞的任意性可知，?n≥6，n≠7，均存在任意多個(gè)完全非代數(shù)連接紐結(jié)與鏈環(huán).