粒子群優(yōu)化灰色模型在沉降預(yù)測中的研究

陳家騏，司大雄，丁 蕾，丁碧瑩

(合肥學(xué)院 建筑工程系，合肥 230601)

基坑工程不僅要保證基坑本身的安全與穩(wěn)定，更要有效控制基坑周邊地層位移以保護(hù)周邊設(shè)施的安全[1]。如今基坑的開挖深度越來越大，工程的地質(zhì)條件越來越差，基坑距離周圍建筑物或者市政設(shè)施越來越近，基坑工程事故不斷發(fā)生。預(yù)測基坑工程周邊地表沉降是基坑工程安全施工及周邊既有建筑沉降安全評估的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確有效地對基坑周邊地表沉降預(yù)測和鄰近建筑安全隱患的預(yù)警對安全文明施工有著重要的意義。鄧聚龍于1982年提出灰色系統(tǒng)理論后，經(jīng)過多年發(fā)展，已充分運(yùn)用在各種安全預(yù)測領(lǐng)域[2-5]。其中DGM(1,1)模型的參數(shù)估計、數(shù)據(jù)擬合及預(yù)測均采用離散方程，不存在離散模型與連續(xù)模型之間的近似替代，具有較高的預(yù)測精度。但由于施工期間外界因素的擾動，沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)并不能完全反應(yīng)真實的沉降規(guī)律，此外由于模型本身建模時迭代初始值使用缺陷，導(dǎo)致最終的預(yù)測結(jié)果與真實結(jié)果存在一定偏差。利用變權(quán)緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行新序列構(gòu)造，可以有效地緩解外界因素的不良擾動，并運(yùn)用粒子群算法對緩沖算子可變權(quán)重及新序列初始值的缺陷進(jìn)行優(yōu)化，快速搜尋到全局最優(yōu)解，建立優(yōu)化模型，提高預(yù)測精度。工程實例計算表明，二維粒子群優(yōu)化DGM(1,1)模型能有效提高預(yù)測性能。

1 灰色預(yù)測模型

1.1 DGM(1,1)模型

定義1[6]：設(shè)序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，其中x(0)(k)≥0,k=1,2,…,n.則稱X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))為序列X(0)的一次累加生成序列，其中

(1)

定義2[7]：設(shè)序列X(0),X(1)如定義1所述，則稱

x(1)(k+1)=β1x(1)(k)+β2

(2)

為離散灰色預(yù)測模型DGM(1,1)模型，或稱為GM(1,1)模型的離散形式，其中β1，β2為估計參數(shù)。

定理1[7]：設(shè)X(0)為非負(fù)原始序列，

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

(3)

其一次累加1-AGO序列為

其中

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

(4)

(5)

對式(2)使用最小二乘法，則離散灰色預(yù)測模型的估計參數(shù)β1，β2滿足

β=(β1，β2)T=(BTB)-1BTY

(6)

其中

定理2[7]：設(shè)B,Y,β如定理1所述，β=(β1，β2)T=(BTB)-1BT，取x(1)(1)=x(0)(1),則離散灰色預(yù)測模型的解為:

(7)

其中k=1,2,…,n-1

還原值為:

k=1,2,…,n-1

(8)

1.2 變權(quán)弱化緩沖算子

定理3[8]：設(shè)X=(x(1),x(2),…,x(n))為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令

XD1=(x(1)d1,x(2)d1,…,x(n)d1)

(9)

其中，

x(k)d1=λx(n)+(1-λ)x(k)

(10)

其中，λ為可變權(quán)重，0<λ<1;K=1,2,…,n，當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)遞減序列或震蕩序列時，稱D1為變權(quán)弱化緩沖算子。

1.3 迭代初始值

且

(11)

1.4 精度檢驗

1)平均相對誤差α

(12)

2)后驗差比C

C=S2/S1

(13)

S1為原始序列的標(biāo)準(zhǔn)差；S2為擬合序列與原始序列的殘差序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

3)灰色絕對關(guān)聯(lián)度

(14)

(15)

(16)

2 粒子群算法優(yōu)化模型

2.1 粒子群算法原理

假設(shè)在D維空間中有m個粒子，粒子i在D維空間的位置向量為xi=(xi1,xi2,…,xiD),粒子i在D維空間的速度向量為vi=(vi1,vi2,…,viD)。將粒子的空間位置向量帶入目標(biāo)函數(shù)f(x)求得適應(yīng)值，根據(jù)適應(yīng)度最大或最小準(zhǔn)則判斷該位置是否為最優(yōu)位置，個體粒子i飛過的歷史最好位置為pi=(pi1,pi2,…,piD),群體中所有粒子飛過的最好位置為pg=(pg1,pg2,…,pgD)[9]。粒子群算法中的粒子速度和位置按如下公式進(jìn)行更新：

速度更新公式：

viD(t+1)=ω×viD(t)+c1×r1×(piD(t)-xiD(t))+c2×r2×(pgD(t)-xiD(t))

(17)

位置更新公式：

xiD(t+1)=xiD(t)+viD(t+1)

(18)

其中i=1,2,…,m

式中：t為迭代次數(shù)；viD為第i個粒子在第D維空間的速度；xiD為第i個粒子在第D維空間的位置；piD(t)代表第i個粒子在第D維中迭代t次時最好的位置pgD(t)代表粒子種群在第D維空間中迭代t次時最好位置；ω為慣性權(quán)重；c1是自我學(xué)習(xí)因子；c2是群體學(xué)習(xí)因子；r1,r2是[0 1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

2.2 粒子群算法的建模過程及參數(shù)設(shè)置

針對DGM(1,1)模型的不足，先后將式(10)與式(11)帶入DGM(1,1)模型中構(gòu)造優(yōu)化DGM(1,1)模型，優(yōu)化模型中的可變權(quán)重λ與修正系數(shù)β3作為待優(yōu)化參數(shù)建立二維空間粒子群算法模型，以平均相對誤差最小為準(zhǔn)則，對緩沖算子的可變權(quán)重以及緩沖算子構(gòu)造后新數(shù)據(jù)序列迭代初始值進(jìn)行優(yōu)化。

建模過程如下：

1)初始化設(shè)置。慣性權(quán)重ω取0.8；學(xué)習(xí)因子c1,c2在0到4之間，本算法模型取c1=c2=1.5;迭代次數(shù)t取值過大或過小會導(dǎo)致計算變慢或計算精度不足，本算法模型迭代次數(shù)選取t=100；優(yōu)化DGM(1,1)模型中待優(yōu)化參數(shù)λ與β3作為二維空間種群中的個體粒子，初始種群粒子個數(shù)取i=100；初始粒子的速度vi及位置xi用隨機(jī)數(shù)函數(shù)給出。

2)適應(yīng)度值計算。利用式(12)平均相對誤差作為目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)分別計算適應(yīng)度值。

3)個體極值與全局最優(yōu)解。隨機(jī)生成初始粒子λ與β3帶入優(yōu)化DGM(1,1)模型進(jìn)行適應(yīng)度值計算，采用式(17)和(18)更新粒子速度和位置。個體極值為每個粒子找到的歷史上最優(yōu)位置信息pbest，并從個體歷史最優(yōu)解中找到全局最優(yōu)解gbest，并與歷史最優(yōu)解比較，選出最佳的粒子λ與β3作為當(dāng)前的歷史最優(yōu)解。

4)循環(huán)迭代計算。以式(12)全局最小為準(zhǔn)則，判斷目標(biāo)適應(yīng)度值是否滿足要求，如不滿足要求則繼續(xù)迭代計算直至滿足最優(yōu)準(zhǔn)則或最大迭代次數(shù)。

5)計算結(jié)束。計算結(jié)束后得到優(yōu)化DGM(1,1)模型最優(yōu)參數(shù)參數(shù)λ與β3。

6)最終預(yù)測模型建立。使用求得的最優(yōu)參數(shù)λ與β3構(gòu)造優(yōu)化DGM(1,1)模型，并利用該模型進(jìn)行預(yù)測。

3 模型驗證及工程應(yīng)用

3.1 工程概況

地鐵雞鳴山路站車站為合肥市軌道交通4號線工程的第1個車站，車站有效站臺中心里程為K1+280.000。車站主體為地下兩層兩跨島式站臺車站，結(jié)構(gòu)形式為地下兩層兩跨/三跨/四跨矩形框架結(jié)構(gòu)。車站主體采用明挖法施工，附屬結(jié)構(gòu)采用明挖法施工。圍護(hù)結(jié)構(gòu)采用鉆孔樁+內(nèi)支撐的支護(hù)體系。

3.2 分析預(yù)測

選取該工程周邊地表沉降觀測點DB2-1的等時距12期觀測數(shù)據(jù)作為模型檢測數(shù)據(jù)組。其中前10期數(shù)據(jù)作為原始序列利用章節(jié)2.2的方法建立二維粒子群優(yōu)化DGM(1,1)預(yù)測模型，并對第11、12期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，后2期數(shù)據(jù)作為檢驗數(shù)據(jù)與預(yù)測值比對，評估優(yōu)化模型的預(yù)測性能。

利用表2中前10期數(shù)據(jù)分別帶入傳統(tǒng)DGM(1,1)模型和待優(yōu)化的DGM(1,1)預(yù)測模型中。傳統(tǒng)模型利用原始數(shù)據(jù)直接建模，待優(yōu)化模型利用粒子群算法求得優(yōu)化參數(shù)λ=0.0248，β3=-0.03512，利用優(yōu)化參數(shù)構(gòu)造二維粒子群優(yōu)化DGM(1,1)模型。上述兩種模型的模擬結(jié)果比對如表3所示。精度檢驗見表4。

表2 測點DB2-1沉降觀測數(shù)據(jù)

為了更加直觀的看出傳統(tǒng)模型和優(yōu)化模型擬合預(yù)測性能的差別，將擬合結(jié)果及相對誤差繪制如圖1、2、3所示。

圖1 模型擬合結(jié)果比對圖

從圖1中可看出，由傳統(tǒng)DGM(1,1)模型所擬合的曲線相比于原始數(shù)據(jù)曲線，總體走勢誤差較大，第3、4、6、10期數(shù)據(jù)的偏差在圖中可以明顯看出。這由于傳統(tǒng)DGM(1,1)模型中未考慮迭代初始值對模型本身的影響。由二維粒子群優(yōu)化DGM(1,1)模型所擬合預(yù)測的曲線相比傳統(tǒng)模型，因為考慮迭代初始值的作用，第3、4、6、10期數(shù)據(jù)的偏差相比傳統(tǒng)模型顯著減小，且作為檢驗數(shù)據(jù)的第11、12期數(shù)據(jù)，偏差均小于傳統(tǒng)模型。

圖2 模型擬合相對誤差對比圖

圖3 模型擬合殘差對比圖

從圖2和圖3可看出，由優(yōu)化模型所以擬合的曲線整體相對誤差及殘差波動小于傳統(tǒng)模型，且由優(yōu)化模型所預(yù)測的第11、12期數(shù)據(jù)的相對誤差遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)模型。

由表3的擬合及預(yù)測數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)化DGM(1,1)模型各期數(shù)據(jù)的殘差及相對誤差大部分小于傳統(tǒng)DGM(1,1)模型。優(yōu)化模型及傳統(tǒng)模型在第3、4、5、6期的擬合數(shù)據(jù)出現(xiàn)較大的相對誤差，原因是在這幾期監(jiān)測時段，監(jiān)測數(shù)據(jù)受到外界不可控因素的擾動而失真，導(dǎo)致整個監(jiān)測數(shù)據(jù)不能反映真實變化規(guī)律，出現(xiàn)擬合偏差。但優(yōu)化模型受到緩沖算子的數(shù)據(jù)還原作用，使得預(yù)測第11、12期監(jiān)測數(shù)據(jù)時，其預(yù)測值的相對誤差只有1.82%和1.39%，殘差絕對值為0.06和0.05，而傳統(tǒng)模型第11、12期預(yù)測值的相對誤差為3.31%和3.34%，殘差絕對值為0.109和0.120。優(yōu)化模型的殘差絕對值遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)模型，而優(yōu)化模型預(yù)測值的平均精度相比傳統(tǒng)模型提高了約52%。

由表4的精度檢驗結(jié)果可知，傳統(tǒng)DGM(1,1)模型和二維粒子群優(yōu)化DGM(1,1)模型均有良好預(yù)測精度，其預(yù)測精度均為一級。優(yōu)化模型的相對誤差3.39%，相比于傳統(tǒng)模型的4.53%，其預(yù)測精度提高了30%。優(yōu)化模型的后驗差比為0.12，相對于傳統(tǒng)模型的0.17，預(yù)測性能提高42%。優(yōu)化模型的灰色絕對關(guān)聯(lián)度高于傳統(tǒng)模型，說明利用優(yōu)化模型擬合預(yù)測結(jié)果具有更好的有效性。

綜上所述，傳統(tǒng)DGM(1,1)模型與二維粒子群優(yōu)化DGM(1,1)模型均具有良好的預(yù)測精度。但優(yōu)化模型相比于傳統(tǒng)模型，由于運(yùn)用粒子群算法優(yōu)化彌補(bǔ)了迭代初始值的缺陷，并用緩沖算子弱化外界因素對數(shù)據(jù)真實性的干擾，具有更高的預(yù)測可靠性及更好的模擬效果。

表3 模型擬合預(yù)測值

表4 模型精度檢驗

4 結(jié)論

運(yùn)用粒子群算法對緩沖算子可變權(quán)重以及新序列初始值進(jìn)行二維優(yōu)化，進(jìn)而提高了DGM(1,1)模型預(yù)測性能。將優(yōu)化模型應(yīng)用于基坑周邊地表沉降預(yù)測領(lǐng)域，并得出以下3點結(jié)論：

(1)運(yùn)用粒子群算法全局搜索快的特點對模型本身建模時迭代初始值缺陷進(jìn)行彌補(bǔ)優(yōu)化，解決最終的預(yù)測結(jié)果與真實結(jié)果存在偏差的問題。

(2) 運(yùn)用變權(quán)緩沖算子對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行新序列構(gòu)造，有效的緩解外界因素的不良擾動，并用粒子群算法搜尋最優(yōu)權(quán)重。

(3)二維粒子群優(yōu)化DGM(1,1)模型簡單，易于施工人員掌握及運(yùn)用，能準(zhǔn)確有效的對基坑周邊地表沉降進(jìn)行預(yù)測，并為鄰近既有建筑安全隱患的預(yù)警預(yù)報提供依據(jù)。