含參廣義集值平衡問題近似解映射的連續(xù)性

孟旭東

(南昌航空大學(xué) 科技學(xué)院，江西 南昌 330034)

諸多原始問題是近似問題的特殊情況，如著名的Eklands變分原理，它是處理近似解的基本規(guī)則.近似解的概念不僅適用于可行域為非凸集或非閉集的情形，而且它是數(shù)值計算的基礎(chǔ)，如穩(wěn)定性、適定性等. 論文近似解的概念是Loridan在文獻(xiàn)[1]中討論多目標(biāo)規(guī)劃問題時引入的.近年來，廣義向量平衡問題引起了人們的廣泛關(guān)注和研究興趣，取得了階段性的研究成果[2-10]. 論文受文獻(xiàn)[1，9]思想的啟發(fā)，在實拓?fù)湎蛄靠臻g中研究含參廣義集值平衡問題近似解映射的連續(xù)性.

1 基本知識

設(shè)X,Y,Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g,若對任何的t≥0,c∈C,有tc∈C，則稱C?Z為凸錐.若C≠Z，則稱錐C為正真的錐.若intC≠?，則稱錐C為立體錐.設(shè)C:X→2Z為具正真凸值的集值映射，對任何A?Z，記的A閉包為cl(A)，Z中的零元為0.

對每個(λ,ε)∈Λ×Ω，討論兩類含參廣義集值平衡問題，分別記為(PGSVEP-1)和(PGSVEP-2).找x0∈K(λ)，使得

(PGSVEP-1)F(x0,y,λ)+ε?-intC(x0),?y∈K(λ).

(PGSVEP-2) (F(x0,y,λ)+ε)∩(-intC(x0))=?,?y∈K(λ).

將(PGSVEP-1)與(PGSVEP-2)的近似有效解集分別記為Φ1(λ,ε),Φ2(λ,ε),即

Φ1(λ,ε)={x0∈K(λ):F(x0,y,λ)+ε?-intC(x0),?y∈K(λ)},

Φ2(λ,ε)={x0∈K(λ):(F(x0,y,λ)+ε)∩(-intC(x0))=?,?y∈K(λ)}.

論文總假設(shè)對每個(λ,ε)∈Λ×Ω，Φ1(λ,ε)≠?,Φ2(λ,ε)≠?，旨在討論Φ1(·,·),Φ2(·,·)在Λ×Ω上的連續(xù)性.

定義1[10]設(shè)X,Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，M?X為非空凸子集，C?Z為凸錐，f:M→Z為給定映射，則

(1) 稱f在點x∈M處C-連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對Z中零元的任何鄰域V，存在x的鄰域U，使得對任何的z∈U∩M，有f(z)∈f(x)+V+C.

(2) 稱f在M上是C-連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)f在M上的每一點皆C-連續(xù).

定義2[8]設(shè)Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，C?X為立體凸錐，設(shè)W為Z的子集.稱W為C-緊當(dāng)且僅當(dāng)對W中的任何覆蓋{Wα+C:α∈I,Wα為Z中的開集,I為指標(biāo)集}都有有限子覆蓋.

定義3[5]設(shè)X為拓?fù)淇臻g，Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，T:M?X→2Z{?},C:M?X→2Z{?}具有正真凸值的集值映射，設(shè)x0∈M，則

(1) 稱T在x∈C(x0)處為C(x0)-下半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對Z中的任何開子集V，滿足T(x)∩V≠?，存在x的鄰域U，使得T(u)∩(V+intC(x0))≠?,?u∈U.

(2) 稱T在x∈C(x0)處為C(x0)-上半連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對Z中的任何開子集V，滿足T(x)?V，存在x的鄰域U，使得T(u)?V+intC(x0),?u∈U.

定義4[9]設(shè)X為具非空凸子集M的實拓?fù)湎蛄靠臻g，Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，T:M?X→2Z{?},C:M?X→2Z{?}具有正真凸值的集值映射，則

(1) 稱T在M上為C-擬凹當(dāng)且僅當(dāng)對每個x1,x2∈M,z∈Z，滿足T(x1)?z-intC(x1)，且T(x2)?z-intC(x2)，使得

T(x)?z-intC(x),?x∈(x1,x2).

(2) 稱T在M上為C-嚴(yán)格擬凹當(dāng)且僅當(dāng)對每個x1,x2∈M,z∈Z，滿足T(x1)?z-intC(x1)，且T(x2)?z-intC(x2)，使得

T(x)?z-cl(C(x)),?x∈(x1,x2).

定義5[9]設(shè)X為具非空凸子集M的實拓?fù)湎蛄靠臻g，Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，T:M?X→2Z{?},C:M?X→2Z{?}具有正真凸值的集值映射，則

(1) 稱T在M上為C-真擬凹當(dāng)且僅當(dāng)對每個x1,x2∈M,z∈Z，滿足T(x1)∩(z-intC(x1))=?，且T(x2)∩(z-intC(x2))=?，使得

T(x)∩(z-intC(x))=?,?x∈(x1,x2).

(2) 稱T在M上為C-嚴(yán)格真擬凹當(dāng)且僅當(dāng)對每個x1,x2∈M,z∈Z，滿足T(x1)∩(z-intC(x1))=?，且T(x2)∩(z-intC(x2))=?，使得

T(x)∩(z-cl(C(x)))=?,?x∈(x1,x2).

定義6[9]設(shè)X為拓?fù)淇臻g，Z為非空子集，T,G:M?X→2Z{?}為給定集值映射，稱T為G的交叉映射當(dāng)且僅當(dāng)對每個x∈M，存在x的鄰域U，使得

引理2[9]設(shè)X,Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，C:M?X→2Z{?}具有正真凸值的集值映射，W:M?X→2Z{?}為給定集值映射，且對任意的x∈M，W(x)=ZintC(x)有閉圖，則C中至少有一個交叉映射，且具有立體凸錐值.

2 下半連續(xù)性

在以下假設(shè)條件下，討論Φ1(·,·)與Φ2(·,·)在Λ×Ω上的下半連續(xù)性.

(A1) 設(shè)X,Y,Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，M?X,Λ?Y為非空子集，C:M→2Z{?}為具正真凸值集值映射，F(xiàn):M×M×Λ→2Z{?},K:Λ→2X{?}為給定集值映射；

(A2) 對每個(λ,ε)∈Λ×Ω，Φ1(λ,ε)≠?；

(A3) 對每個(λ,ε)∈Λ×Ω，Φ2(λ,ε)≠?；

(A4)K在Λ上具緊凸值；

(A5) 對每個λ∈Λ,y∈K(λ)，F(xiàn)(·,y,λ)在K(Λ)上為C-嚴(yán)格擬凹；

(A6) 對每個λ∈Λ,x∈K(λ)，F(xiàn)(x,·,λ)在K(Λ)上為C(x)-下半連續(xù)；

(A7) 對每個λ∈Λ,x∈K(λ)，F(xiàn)(x,·,λ)在K(Λ)上為C(x)-上半連續(xù)；

(A8) 對每個λ∈Λ,x∈K(λ)，F(xiàn)(x,·,λ)在K(Λ)上為C(x)-緊.

定理1假設(shè)(A1)，(A2)，(A4)～(A6)成立，則Φ1(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

證明設(shè)(λ,ε)∈Λ×Ω，V為X中的開集，滿足V∩Φ1(λ,ε)≠?，x∈V∩Φ1(λ,ε).設(shè)x0∈V∩Φ1(λ,εμ),其中μ∈(0,1)，則

F(x0,y,λ)+με?-intC(x0),?y∈K(λ)，

因此，有

F(x0,y,λ)+ε=F(x0,y,λ)+με+(1-μ)ε?-intC(x0),?y∈K(λ)，

故x0∈V∩Φ1(λ,ε).

現(xiàn)取x*∈V∩{xθ∈K(λ):xθ=θx+(1-θ)x0},由(A5)，有

F(x*,y,λ)+ε?-cl(C(x*)),?y∈K(λ).

任取y*∈K(λ)，則存在z(y*)∈Z，使得

z(y*)∈(F(x*,y*,λ)+ε)∩(-cl(C(x*)))c.

由z(y*)?-cl(C)，知存在tz(y*)>0,使得

z(y*)-tz(y*)ε?-cl(C(x*)),

再結(jié)合z(y*)-tz(y*)ε+intC(x*)為z(y*)的鄰域，知

(F(x*,y*,λ)+ε)∩(z(y*)-tz(y*)ε+intC(x*))=?,

注意到intC(x*)+intC(x*)=intC(x*)，由(A6)知，存在y*的鄰域U(y*)，使得

(F(x*,u,λ)+ε)∩(z(y*)-tz(y*)ε+intC(x*))≠?,?u∈U(y*).

由y*∈K(λ)的任意性知，對每個y∈K(λ)，存在tz(y)>0及z(y)∈(F(x*,y,λ)+ε)∩(-cl(C(x*)))c,使得

z(y)-tz(y)ε+intC(x*)?(-cl(C(x*)))c,

以及存在y的鄰域U(y)，使得

(F(x*,uy,λ)+ε)∩(z(y)-tz(y*)ε+intC(x*))≠?,?uy∈U(y).

再由K(Λ)為緊集，則對每個λ∈Λ，存在y1,y2,…,ym∈K(λ),使得

因此，對每個y∈K(λ),有

又對每個i∈{1,2,…,m}，z(yi)-tz(yi)ε?(-cl(C(x*)))，則存在t1,t2,…,tm>0,使得

z(yi)-(tz(yi)+ti)ε?(-cl(C(x*))),i=1,2,…,m.

令t=min(t1,t2,…,tm),則對每個y∈K(λ),有

注意到(1-t)ε+intC(x*)為ε的鄰域，對每個δ∈intC(x*)，有

F(x*,y,λ)+(1-t)ε+δ?-cl(C(x*)),

故

V∩Φ1(λ,η)≠?,?η∈((1-t)ε+intC(x*)),

所以，Φ1(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

定理2假設(shè)(A1)，(A3)～(A5),(A7),(A8)成立，則Φ2(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

證明設(shè)(λ,ε)∈Λ×Ω，V為X中的開集，滿足V∩Φ2(λ,ε)≠?，x∈V∩Φ2(λ,ε).設(shè)x0∈V∩Φ2(λ,εμ),其中μ∈(0,1)，易知x0∈V∩Φ2(λ,ε).

現(xiàn)取x*∈V∩{xθ∈K(λ):xθ=θx+(1-θ)x0},由(A5)，有

(F(x*,y,λ)+ε)∩(-cl(C(x*)))=?,?y∈K(λ).

任取y∈K(λ)，對每個z∈F(x*,y,λ)，存在與z相關(guān)的tz>0,使得

z-(1-2tz)ε?-cl(C(x*))，

再結(jié)合z-(1-tz)ε+intC(x*)為z+ε的鄰域，知

再由(A8)知，存在z1,z2,…,zm∈F(x*,y,λ),使得

令ty=min(tz1,tz2,…,tzm),則

再由(A7)知，存在y的鄰域V(y)，使得

故對每個u∈V(y)，有

(F(x*,u,λ)+(1-ty)ε)∩(-cl(C(x*)))=?，

再據(jù)K(Λ)為緊集，則對每個λ∈Λ，存在V(y1),V(y2),…,V(ym),使得

記t=min(ty1,ty2,…,tym),則對每個y∈K(λ),有

(F(x*,y,λ)+(1-t)ε)∩(-cl(C(x*)))=?，

則對任意的η∈((1-t)ε+intC(x*)),有x*∈Φ2(λ,η).故Φ2(·,·)在(λ,ε)∈Λ×Ω處下半連續(xù)，再由(λ,ε)的任意性，所以，Φ2(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

3 上半連續(xù)性及連續(xù)性

在以下假設(shè)條件下，討論Φ1(·,·)與Φ2(·,·)在Λ×Ω上的上半連續(xù)性.

(B1) 設(shè)X,Y,Z為實拓?fù)湎蛄靠臻g，M?X,Λ?Y為非空子集，C:M→2Z{?}為具正真凸值的集值映射，D:M→2Z{?}為C的交叉映射，K:Λ→2X{?},F:M×M×Λ→2Z{?}為給定集值映射；

(B2) 對每個(λ,ε)∈Λ×Ω，Φ1(λ,ε)≠?；

(B3) 對每個(λ,ε)∈Λ×Ω，Φ2(λ,ε)≠?；

(B4)K在Λ上具有緊值；

(B5)W:M→2Z{?}為給定集值映射，W(x)=Z(-intC(x))具有閉圖；

(B6) 對每個λ∈Λ,y∈K(λ)，F(xiàn)(·,y,λ)在K(Λ)上為D(x)-下半連續(xù)；

(B7) 對每個λ∈Λ,y∈K(λ)，F(xiàn)(·,y,λ)在K(Λ)上為D(x)-上半連續(xù)；

(B8) 對每個λ∈Λ,x,y∈K(λ)，F(xiàn)(x,y,·)在Λ上為D(x)-緊.

定理3假設(shè)(B1)，(B2)，(B4)，(B5)，(B7)，(B8)成立，則Φ1(·,·)在Λ×Ω上上半連續(xù).

證明設(shè)(λ,ε)∈Λ×Ω，由K(λ)為X的緊集，則Φ1(λ,ε)有一個閉圖.設(shè)網(wǎng)(λα,εα)→(λ,ε),xα∈Φ1(λα,εα)，由K(λ)為緊集，則必有xα→x∈Φ1(λ,ε).

事實上，若x?Φ1(λ,ε)，則存在y∈K(λ)，使得

A(λ):=F(x,y,λ)+ε?-intC(x).

由(B5)知，對每個zλ∈A(λ)，存在zλ的鄰域V1(zλ)及x的鄰域V2(zλ)，使得

V1(zλ)?-intC(v),?v∈V2(zλ).

設(shè)ezλ∈V1(zλ)∩(zλ+intD(x)),則ezλ-intD(x)為zλ的鄰域，且

ezλ-intD(x)?-intC(v),?v∈V2(zλ)，

據(jù)(B7)知，存在x的鄰域U(x)，使得

F(u,y,λ)+ε?B(λ)-intD(x)=B(λ),?u∈U(x).

F(u,y,λ)+ε*?B(λ)+tλθ-intD(x)=B(λ)+tλθ,?u∈U(x),ε*∈U(ε).

F(u,y,λ)+ε*?-intC(u),?u∈U(λ),ε*∈U(ε)，

這與(λα,εα)→(λ,ε),xα→x,xα∈Φ1(λα,εα)矛盾，故x∈Φ1(λ,ε)，所以Φ1(·,·)在(λ,ε)處上半連續(xù).再由(λ,ε)的任意性，知Φ1(·,·)在Λ×Ω上上半連續(xù).

定理4假設(shè)(B1)，(B3)～(B6)成立，則Φ2(·,·)在Λ×Ω上上半連續(xù).

證明設(shè)(λ,ε)∈Λ×Ω，由K(λ)為X的緊集，則Φ2(λ,ε)有一個閉圖.設(shè)(λα,εα)→(λ,ε),xα∈Φ2(λα,εα)，由K(λ)為緊集，則必有xα→x∈Φ2(λ,ε).

事實上，若x?Φ2(λ,ε)，則存在y∈K(λ)及z∈Z，使得

z∈(F(x,y,λ)+ε)∩(-intC(x)),

故存在t>0,使得z+2tε∈-intC(x).由z+tε-intD(x)為z的鄰域，結(jié)合(B6)知，存在x的鄰域U1(x)，使得

(z+tε-intD(x)-intD(x))∩(F(u,y,λ)+ε)≠?,?u∈U1(x)，

又由D為C的交叉映射，則存在x的鄰域U2(x)，使得

intD(x)?intC(u),?u∈U2(x)，

再由W具有閉圖，則存在x的鄰域U3(x)，使得

z+2tε∈-intC(u),?u∈U3(x).

(F(u,y,λ)+ε*)∩(-intC(u))≠?,

這與(λα,εα)→(λ,ε),xα→x,xα∈Φ2(λα,εα)矛盾，故x∈Φ2(λ,ε)，所以Φ2(·,·)在(λ,ε)處上半連續(xù).再由(λ,ε)的任意性，知Φ2(·,·)在Λ×Ω上上半連續(xù).

據(jù)定理1及定理3 知，(PGSVEP-1)的近似解Φ1(·,·)在Λ×Ω上具有連續(xù)性.

定理5假設(shè)(B1),(B2)，(A4)～(A6),(B5),(B7),(B8)成立，則Φ1(·,·)在Λ×Ω上連續(xù).

據(jù)定理2,4知，(PGSVEP-2)的近似解Φ2(·,·)在Λ×Ω上具有連續(xù)性.

定理6假設(shè)(B1),(B3),(A4),(A5),(B5),(B6),(A7),(A8)成立，則Φ2(·,·)在Λ×Ω上連續(xù).

4 結(jié)束語

在實拓?fù)湎蛄靠臻g中研究兩類含參廣義集值平衡問題，分別記為(PGSVEP-1)與(PGSVEP-2)，并給出(PGSVEP-1)和(PGSVEP-2)的近似有效解的概念.在適當(dāng)條件下，分別給出了(PGSVEP-1)和(PGSVEP-2)的近似解映射Φ1(·,·)和Φ2(·,·)在Λ×Ω上的連續(xù)性最優(yōu)條件.研究結(jié)果表明，兩類含參廣義集值平衡問題近似解映射的連續(xù)性理論具有統(tǒng)一性.