三種求根方法的比較

溫智琦

摘要：實(shí)踐中，求解方程得出的近似解必須有著必要的精度，也就是說(shuō)求解方法必須使得近似解可以精確到小數(shù)點(diǎn)后任意位。求解方程近似解時(shí)，運(yùn)用二分法、牛頓迭代法和不動(dòng)點(diǎn)法，實(shí)際上是使用了算法的思想，可以解決一些一元多次方程和無(wú)理數(shù)方程、超越方程等問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：二分法 ? 牛頓法 ? 不動(dòng)點(diǎn)法 ? 迅速求根 ? 收斂

函數(shù)是因變量關(guān)于自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，方程是函數(shù)的基礎(chǔ)上，求解特定自變量的等式。

對(duì)于一些簡(jiǎn)單的方程，我們可以用公式法求得精確解[1]。但對(duì)于高次方程、超越不等式、隱函數(shù)方程等很難在理論上求出精確的解。在實(shí)踐中的目的是尋求方程的近似解。那么，求解方程近似解的方法便成為了必須要解決的問(wèn)題。而且，求解得出的近似解必須有著必要的精度，也就是說(shuō)求解方法必須使得近似解可以精確到小數(shù)點(diǎn)后任意位。

求解方程近似解時(shí)，運(yùn)用二分法、牛頓迭代法和不動(dòng)點(diǎn)法，實(shí)際上是使用了算法的思想，可以解決一些一元多次方程和無(wú)理數(shù)方程、超越方程等問(wèn)題。

一、二分法

（一）二分法的概念

首先，引入零點(diǎn)存在定理：在區(qū)間上連續(xù)并且端點(diǎn)值異號(hào)的函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上一定存在零點(diǎn)[2]。

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可以得出求解方程近似解的二分法——即一分為二的方法。

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[α，b]上連續(xù)，并且f（α）*f（b）<0，可以通過(guò)把函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的較小的區(qū)間分成兩部分，然后選擇根所在的那個(gè)區(qū)間，繼續(xù)二分該區(qū)間，逐步迭代，使區(qū)間越來(lái)越小。當(dāng)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的精確度足夠時(shí)，任一端點(diǎn)均可作為近似解。這就是二分法的精髓。

（二）二分法舉例

以方程 x4+x3+2x2-3=0為例。

（1）嘗試選取x1=1，x2=-1。將x1=1 與x2=-1代入函數(shù)f（x）=x4+x3+2x2-3，即可得f（1）=1，f（-1）=-1;

（2）f（x1）與f（x2）異號(hào)，所以直接進(jìn)入下一步。否則重復(fù)第一步，直到找出f（x1）與f（x2）異號(hào)的結(jié)果;

（3）將x1與x2兩者的平均數(shù)x3代入函數(shù)f（x），也就是將x3=0可得f（x3）=-3<0;

（4）f（x3）=-3<0，令x1=x1，x2=x3;否則令x1=x3，x2=x2，然后回到步驟（1），循環(huán)這個(gè)步驟[3]。

我們將迭代使用的近似根列在下表中：

這樣，十步迭代之后，我們可以得出該方程的一個(gè)近似根在（0.898425，0.90028125）之間。

二、牛頓法

（一）牛頓法概念

牛頓法又稱(chēng)為牛頓迭代法、牛頓-拉弗森方法[4]。牛頓法是把非線性方程在局部小區(qū)間線性化的近似方法。把f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)展開(kāi)：

取其線性部分（即泰勒展開(kāi)的前兩項(xiàng)），并令其等于0，即

，以此作為非線性方程f（x）=0的近似方程，若 ? ? ? ? ? ? ? ，則其解為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，同理可得：

（二）牛頓法舉例

仍以方程x4+x3+2x2-3=0為例。

（1）嘗試選取x1=1。將x1=1代入函數(shù)f（x）=x4+x3+2x2-3 ，即可得f（1）=1;

（2）求 ? ? ;

（3）即 ? ?;

（4）令x1=x2，回到步驟（1），循環(huán)這個(gè)步驟。

我們將迭代使用的近似根列在下表中：

這樣，經(jīng)過(guò)三步迭代之后，我們已經(jīng)得到該方程的一個(gè)近似根在0.89943附近。

（三）牛頓法局限性

舉一個(gè)例子： ? ? ? ? ? ?。

首先，嘗試選取x1=1;則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。則x2

。然后，繼續(xù)令x1=-2;則

我們發(fā)現(xiàn)，首先選取的根為1，第二步迭代后為-2，但是第三步迭代后的根為4.0028，這在（-2，1）的范圍外。顯然可知，

的根為，在（-2，1）的區(qū)間之內(nèi)。所以，牛頓法具有局限性，對(duì)于某些方程，可能無(wú)法快速算出有效的結(jié)果。

三、不動(dòng)點(diǎn)法

（一）不動(dòng)點(diǎn)法概念

不動(dòng)點(diǎn)原理是泛函分析中最重要的一個(gè)原理之一，它依據(jù)于著名的巴拿赫壓縮映射[5]。

由方程f（x）=0構(gòu)造方程g（x）=x。其中g(shù)（x）是連續(xù)函數(shù)。若x=x*是方程f（x）=0的根，則其肯定也滿足g（x*）=x*，x*是函數(shù)g（x）的不動(dòng)點(diǎn)（之一）。

構(gòu)造迭代公式

這就是不動(dòng)點(diǎn)迭代法，若該式滿足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則x*是函數(shù)g（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即方程f（x）=0的一個(gè)根。

（二）不動(dòng)點(diǎn)法舉例

仍以方程 x4+x3+2x2-3=0為例。構(gòu)造函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ?。然后，

（1）嘗試選取x1=1，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

（2）令x1=x2，回到步驟（1），循環(huán)這個(gè)步驟。

我們將迭代使用的近似根列在下表中：

這樣，經(jīng)過(guò)三步迭代之后，我們得到該方程的一個(gè)近似根在0.89附近。并且10次之迭代后，我們可以確定該方程的一個(gè)根的前四位有效數(shù)字為0.8994。

（三）不動(dòng)點(diǎn)法局限性

仍以方程x4+x3+2x2-3=0為例。若構(gòu)造函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

然后以同樣的思路，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)幾次迭代后并不收斂。所以不動(dòng)點(diǎn)法求根，具有一定的局限性。

四、結(jié)語(yǔ)

三種方法都是求解近似根的方法。首先都需要確定一個(gè)初始迭代值，然后逐步迭代，逼近方程的理論上的實(shí)數(shù)根。并且都只是求解出一個(gè)或者幾個(gè)近似根，并不能在理論上保證求出所有的根。

二分法易于理解，并且使用范圍廣。只要在連續(xù)函數(shù)區(qū)間[a，b]上由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，就能夠通過(guò)二分法求得該方程的一個(gè)解。但是，其收斂很慢，需要迭代步數(shù)多。最終確定的是根的所在小區(qū)間，而且無(wú)法判斷所求根更靠近區(qū)間的哪一端。

牛頓法也易于理解。相較于二分法，它的收斂很快，但是適用范圍小，對(duì)有的方程迭代后并不收斂，需要重新選取初始迭代值，或者選用別的方法。所以牛頓法具有一定的局限性。

不動(dòng)點(diǎn)法原理不是很易于理解。相較于二分法，它可以較快地收斂。相較于牛頓法，它的步驟簡(jiǎn)單。但是，不動(dòng)點(diǎn)法使用范圍小，對(duì)于一些方程迭代后并不收斂。所以不動(dòng)點(diǎn)法也有一定的局限性。

所以，在求解實(shí)際問(wèn)題中，選取何種方法，要由方程本身的性質(zhì)決定，也要考慮收斂速度的因素。盡量選取既適用，又可以迅速得出近似根的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]陸桂菊.求方程的近似解與近年高考題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，（02）：47-50+53.

[2]王涵，匡佳佳，許國(guó)會(huì).“用二分法求方程的近似解”一課教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018，（10）：16-18.

[3]盧欽和.方程近似解、二分法及其它（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005，（10）：1-3.

[4]張曉勇，王仲君.二分法和牛頓迭代法求解非線性方程的比較及應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2013，（25）：139.

[5]張麗婭.不動(dòng)點(diǎn)原理在分析中的應(yīng)用[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，（04）：25-26+35.

（作者單位：河北石家莊精英中學(xué)）