吾愛(ài)數(shù)學(xué)，吾更愛(ài)數(shù)學(xué)文化
——在小學(xué)數(shù)學(xué)課中滲透數(shù)學(xué)思維

胡曉倩

(重慶市沙坪壩小學(xué) 重慶 400030)

2014年秋天，一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，我有幸參與了某辦學(xué)單位組織的有關(guān)“學(xué)習(xí)價(jià)值”的討論會(huì)。討論過(guò)程中，學(xué)生家長(zhǎng)與教師們各抒己見(jiàn)，期間，有部分家長(zhǎng)提到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，他們固執(zhí)地認(rèn)為：生活中用到的數(shù)學(xué)只是簡(jiǎn)單的算術(shù)知識(shí)。數(shù)學(xué)給予的一切純粹是智力游戲，無(wú)任何實(shí)際意義。我不禁思考：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)到底要教給學(xué)生什么？難道僅僅是為了學(xué)習(xí)課本上的數(shù)學(xué)知識(shí)？?jī)H僅是為了應(yīng)付某次考試？?jī)H僅是為了會(huì)解答某類難題？

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：數(shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，但絕對(duì)不僅僅以教會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過(guò)程中了解數(shù)學(xué)文化，獲得數(shù)學(xué)思維。于是，我開(kāi)始了關(guān)于“數(shù)學(xué)文化之?dāng)?shù)學(xué)思維”的探索與研究[1]。

一、什么是數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維從廣義上講內(nèi)涵十分豐富，我通俗地把數(shù)學(xué)思維理解為“將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的東西”。

數(shù)學(xué)學(xué)科能給予我們很多數(shù)學(xué)知識(shí)。知識(shí)和技能固然能幫助我們解決一些實(shí)際問(wèn)題，但數(shù)學(xué)更大的價(jià)值在于，它提供了一種不同于日常思維的新思維方式。數(shù)學(xué)的思維方式為我們正確認(rèn)識(shí)客觀世界提供了新的工具和視角，它使我們批判地閱讀，識(shí)別謬誤，探查偏見(jiàn)，估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，并提出變通的辦法，從而增進(jìn)我們的認(rèn)識(shí)能力和理性力量。

小學(xué)階段，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)之一是讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)思維，從而具備用數(shù)學(xué)思維方法處理、解決問(wèn)題的能力，從數(shù)學(xué)角度看問(wèn)題的能力。

二、數(shù)學(xué)思維的分類

數(shù)學(xué)的基本思維主要指：數(shù)學(xué)抽象思維，數(shù)學(xué)推理思維，數(shù)學(xué)建模思維。

人類通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科；通過(guò)數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以發(fā)展；通過(guò)數(shù)學(xué)建模，把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生巨大的效益，反過(guò)來(lái)又促進(jìn)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

由上述數(shù)學(xué)思維演變、派生、發(fā)展出來(lái)的思維還有很多，如分類思維、歸納思維、優(yōu)化思維、轉(zhuǎn)換思維、有限與無(wú)限思維等。

三、數(shù)學(xué)思維在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)思維蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。在義務(wù)教育階段應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容逐步滲透數(shù)學(xué)的基本思維[1]。

案例1：數(shù)學(xué)抽象思維之集合思維。西南師范出版社《數(shù)學(xué)文化讀本》三年級(jí)上冊(cè)P64-68“一共訂了幾種雜志”[2]。

天天訂了《紅領(lǐng)巾》《作文大本營(yíng)》《小哥白尼》《少年先鋒報(bào)》《漫畫(huà)世界》5本雜志，波波訂了《小哥白尼》《幽默大師》《漫畫(huà)世界》《數(shù)學(xué)探秘》4本雜志，他們一共訂了幾種雜志？

師：我們可以把天天訂的5種雜志看作一個(gè)集合，每一種雜志都是其中一個(gè)元素，這個(gè)集合由5個(gè)元素組成。波波訂的雜志是另一個(gè)集合，它由4個(gè)元素組成。

師：兩個(gè)集合里有元素重復(fù)，不能用“5+4=9（種）”直接相加求兩人所訂雜志種類的總和。

生：我明白了，看起來(lái)共訂了5+4=9（種），但有2種雜志重復(fù)計(jì)算了，所以只訂了9-2=7（種）。

學(xué)生通過(guò)教師的引導(dǎo)，直觀觀察思考，感知數(shù)學(xué)文化中專門研究集合的數(shù)學(xué)理論——集合論。數(shù)學(xué)知識(shí)中有很多集合思維。比如，正方形是長(zhǎng)和寬相等的特殊長(zhǎng)方形。我們可以把全體長(zhǎng)方形看作一個(gè)集合，把全體正方形看作一個(gè)集合，它們的關(guān)系又是怎樣的集合關(guān)系？

在這里，教師需要當(dāng)好引導(dǎo)者，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思維和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。

簡(jiǎn)單的集合思維，能感悟到同類物體具有相同的特性。在課堂活動(dòng)中，體驗(yàn)用集合圖表示概念之間的關(guān)系，這樣的活動(dòng)能初步培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考問(wèn)題，達(dá)到逐步滲透集合思維的目的。

案例2：數(shù)學(xué)推理思維之一逆向思維。西南師范出版社《數(shù)學(xué)文化讀本》三年級(jí)上冊(cè)P69-72“李白買酒與逆向思維”[2]。

李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見(jiàn)花飲八口。三遇店和花，喝光壺中酒。請(qǐng)君猜一猜，壺中原有酒。

師：畫(huà)圖表示是一種非常重要的分析方法，特別是只知道結(jié)果，不知道起始條件的情況。

酒店×2→花鋪－8→酒店×2→花鋪－8→酒店×2→花鋪－8=0（喝光了）

生1：我們可以從結(jié)果開(kāi)始，一步一步倒推回去。

生2：結(jié)果是遇到花鋪3喝了8口喝光了，那么在花鋪3之前就還有8口酒。

師：孩子們，對(duì)于這種知道結(jié)果和每一步變化過(guò)程的題目，可以從結(jié)果開(kāi)始，逆向推回去。

這種思維方式，叫做逆向思維，也叫求異思維。用逆向思維方式解題在數(shù)學(xué)中很常見(jiàn)。它是從問(wèn)題的相反面進(jìn)行深入探索，對(duì)司空見(jiàn)慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生敢于“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，樹(shù)立新思維，創(chuàng)立新形象。讓學(xué)生明白：當(dāng)大家都朝著一個(gè)固定的思維方向思考問(wèn)題時(shí)，而你卻獨(dú)自朝相反的方向思索，這樣的思維方式非常可取。

企業(yè)知識(shí)型員工無(wú)論是成就需要、控制源還是自我效能感的人格預(yù)測(cè)變量，對(duì)人際關(guān)系的預(yù)測(cè)均高于對(duì)任務(wù)績(jī)效和工作奉獻(xiàn)的預(yù)測(cè)，分析原因可能是由于我國(guó)傳統(tǒng)文化一貫重視人際關(guān)系，與人為善。工作環(huán)境要融洽，不要嚴(yán)格；人際關(guān)系要簡(jiǎn)單，不要復(fù)雜，這樣的企業(yè)文化將有利于員工把精力投入到工作中，提高工作績(jī)效，創(chuàng)造更多勞動(dòng)成果。而知識(shí)型員工要求獲得尊重的需求非常強(qiáng)烈，建議企業(yè)的管理者積極創(chuàng)造“以人為本”的企業(yè)文化，尊重員工、平等溝通，注重人情味，做到事業(yè)留人、感情留人和文化留人。給予員工家庭歸屬感，幫助員工職業(yè)成長(zhǎng)，創(chuàng)造和諧、健康、團(tuán)結(jié)的企業(yè)文化環(huán)境。

司馬光砸缸就是一例逆向思維的實(shí)例。有人落水，常規(guī)的思維模式是“救人離水”，而司馬光面對(duì)緊急險(xiǎn)情，運(yùn)用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。教學(xué)中讓學(xué)生感悟，對(duì)于某些問(wèn)題，尤其是一些特殊問(wèn)題，從結(jié)論往回推，倒過(guò)來(lái)思考，從求解回到已知條件，反過(guò)去想或許會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

案例3：數(shù)學(xué)抽象思維之一分類思維。西南師范出版社《數(shù)學(xué)文化讀本》三年級(jí)下冊(cè)P42-45“我是家務(wù)小能手”[2]。

妮妮當(dāng)家，任務(wù)：整理好晾曬的衣服，倒垃圾。爸爸媽媽和自己的衣服堆放在一起，不知如何下手？垃圾怎么倒才環(huán)保？生1：先把爸爸媽媽和妮妮的衣服分開(kāi)疊好。師：又該如何放進(jìn)衣柜？

生2：把各自的上衣和上衣放一起，褲子和褲子放一起，裙子和裙子放一起……

生3：為了減少環(huán)境污染，變廢為寶，垃圾也要分類處理。

生4：紙類、玻璃、塑料、金屬等可以回收，放進(jìn)回收垃圾箱；剩菜、剩飯等屬于廚余丟進(jìn)廚房垃圾箱……

簡(jiǎn)單的分類活動(dòng)，能感悟到同類物體具有相同的特性。在分類活動(dòng)中，體驗(yàn)分類結(jié)果在單一標(biāo)準(zhǔn)下的一致性，這樣的活動(dòng)能初步培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考問(wèn)題，養(yǎng)成整理物品的習(xí)慣。

四、由數(shù)學(xué)思維內(nèi)化出數(shù)學(xué)思考方法

數(shù)學(xué)思維比一般的數(shù)學(xué)概念具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。數(shù)學(xué)思維是與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考方法的精神實(shí)質(zhì)與理論基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思考方法則是實(shí)施有關(guān)的數(shù)學(xué)思維的技術(shù)與操作程式。

案例4：我和學(xué)生探討“龍龍和爸爸各買一雙皮鞋共用去720元，龍龍的皮鞋價(jià)格是爸爸皮鞋價(jià)格的80%，龍龍和爸爸的皮鞋各多少元？”經(jīng)過(guò)充分的思考和嘗試后，學(xué)生給出了豐富的答案。

生1：爸爸的皮鞋價(jià)格為單位“1”，720÷(1+80%)=400（元），從而得到龍龍的皮鞋價(jià)格，720-400=320（元）；

生2 ： 用方程解答， 設(shè)爸爸的皮鞋價(jià)格為x 元，80%x+x=720，x=400因此龍龍的皮鞋價(jià)格，720-400=320（元）；

生3：龍龍的皮鞋價(jià)格是爸爸皮鞋價(jià)格的80%，龍龍的皮鞋價(jià)格與爸爸皮鞋價(jià)格的比為4：5，720÷(4+5)=80，爸爸的皮鞋價(jià)格80×5=400元，龍龍的皮鞋價(jià)格80×4=320（元）；

師：比較三種方法，你更欣賞哪一種思路？為什么？這一思路給了你哪些有益的啟示？

……

三種方法都能順利解決問(wèn)題，但細(xì)細(xì)琢磨，期間的差別值得玩味。方法一是找到與數(shù)量相對(duì)應(yīng)的百分率，因?yàn)槭俏粗獑挝弧?”，所以用已知數(shù)量除以對(duì)應(yīng)百分率，從而求出單位“1”的量，此種解題方法的關(guān)鍵在于確定單位“1”；方法二是建立在等量關(guān)系上的方程列式，其間蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)建模思維派生出來(lái)的方程思維，數(shù)學(xué)建模的初步意識(shí)等，都彰顯了數(shù)學(xué)思考的魅力；方法三反映出解題者的綜合解題能力，巧妙地抓住了“龍龍的皮鞋價(jià)格”與“爸爸的皮鞋價(jià)格”之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，巧妙地從兩個(gè)數(shù)量比的角度審視問(wèn)題結(jié)構(gòu)，反映出學(xué)生良好的“題感”及善于從數(shù)學(xué)角度觀察、分析、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。教師還及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，在比較中分析每一思路背后的數(shù)學(xué)思考方式，在比較中優(yōu)化，進(jìn)而在認(rèn)同中內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)思考。

這樣的例子還有很多，又如，在給學(xué)生講解等差數(shù)列求和公式時(shí)，提到“數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)算出布特納給學(xué)生們出的將1到100的所有整數(shù)加起來(lái)的算術(shù)題。布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案，而其他孩子都算錯(cuò)了。”一個(gè)10歲的孩子，能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和的數(shù)學(xué)方法實(shí)屬不易，更能反映出高斯從小就注意把握更本質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，以及其所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)抽象方法、符號(hào)化、模型化及化歸的數(shù)學(xué)思維等。學(xué)生們驚嘆：原來(lái)，從數(shù)學(xué)的角度觀察和思考問(wèn)題，可以獲得如此簡(jiǎn)潔的方法。一種對(duì)數(shù)學(xué)思考方式的認(rèn)同及數(shù)學(xué)文化的熏陶深深地潤(rùn)澤著學(xué)生的心田。

現(xiàn)代教育觀點(diǎn)認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。是師生之間、生生之間數(shù)學(xué)思維交往與共同發(fā)展的過(guò)程。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，它們是基礎(chǔ)知識(shí)的靈魂，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思維，并使它們落實(shí)到學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中能讓學(xué)生了解和體會(huì)數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如此，我們的學(xué)生除了學(xué)會(huì)課本上的數(shù)學(xué)知識(shí)以外，還將得到很多，很多。