凍土導(dǎo)熱系數(shù)骨架模型研究

李順群，張 翻，王彥洋，夏錦紅，陳之祥

1)天津城建大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300384；2)天津市軟土特性與工程環(huán)境重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；3)天津市建設(shè)工程技術(shù)研究所，天津 300204；4)新鄉(xiāng)學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，河南新鄉(xiāng) 453003；5)大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116085

導(dǎo)熱系數(shù)是寒區(qū)水工結(jié)構(gòu)物溫度場(chǎng)預(yù)測(cè)以及進(jìn)行凍脹融沉量評(píng)估的重要參數(shù)．受礦物成分、含水量、密度和含冰量等多種因素影響，多孔、多相、碎散的巖土材料的導(dǎo)熱系數(shù)變化將變得更為復(fù)雜．因此，準(zhǔn)確計(jì)算多種因素作用下巖土的導(dǎo)熱系數(shù)，對(duì)于溫度場(chǎng)預(yù)測(cè)、凍結(jié)溫度場(chǎng)模型試驗(yàn)以及熱方程的解析求解具有重要意義[1-4]．

相體含量、溫度和干密度等條件是凍土導(dǎo)熱系數(shù)的重要因素，據(jù)此建立了考慮土、水和冰三相體積含量的飽和凍土導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)估模型，即幾何平均法[5]；基于歸一化方法建立了考慮飽和度影響的非飽和(凍)土導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)估模型[6]．除上述研究之外，眾多研究人員對(duì)凍土導(dǎo)熱系數(shù)的影響因素展開相應(yīng)的研究，并取得一定的成果[7-8]．除了凍土中各物質(zhì)含量及溫度等條件是影響導(dǎo)熱系數(shù)變化的主要因素外，導(dǎo)熱系數(shù)變化還取決于凍土孔隙的分布形式．

凍土是一種各向異性的導(dǎo)熱體，即凍土在空間中任意一點(diǎn)的導(dǎo)熱能力都是各向異性的．但是，點(diǎn)的概念不能涵蓋土顆粒、孔隙冰和孔隙水的含量關(guān)系，因此引入空間代表體元(representative elementary volume, REV)的概念[9]，即空間中任意點(diǎn)的空間體積代表體，以此解釋凍土在空間中組成物質(zhì)含量的連續(xù)性．引入REV概念既可以保證凍土物質(zhì)含量在空間中的連續(xù)性，同時(shí)也能保證空間中凍土導(dǎo)熱的連續(xù)性．在保證凍土在空間中傳熱的連續(xù)性基礎(chǔ)上，基于REV概念，假設(shè)凍土在空間中的傳熱為各向同性．

本研究假設(shè)土顆粒為均質(zhì)的球缺球體(圖1)，且土顆粒彼此間為等效球缺接觸，以此建立密實(shí)與非密實(shí)排列的兩種土骨架模型及土水冰之間的復(fù)合傳熱模式，并根據(jù)建立的骨架幾何模型與復(fù)合傳熱模式，推導(dǎo)出飽和凍土導(dǎo)熱系數(shù)的預(yù)估模型．

1 土體球缺接觸

圖1 等效球缺接觸Fig.1 Equivalent ball missing contact

土顆粒在形成過(guò)程中，在受到風(fēng)、水以及重力等外部因素主導(dǎo)的搬運(yùn)沖刷作用下，土顆粒被磨圓成近似球體以及橢圓體[10-11]．為了方便研究，將土顆粒假設(shè)成均勻球體．實(shí)際上，土顆粒間存在諸如點(diǎn)接觸和面接觸等多種接觸方式，故假設(shè)土顆粒間接觸等效為球缺接觸， 如圖1． 由圖1可見(jiàn)， 球缺接觸的土顆粒體積Vs要小于等直徑球體的體積Vq，即

Vs

(1)

欲求得Vs，須求得球缺部分體積V′．球缺部分為圓弧體，球缺土顆粒與球缺部分的幾何關(guān)系如圖2．

圖2 球缺部分與球體之間的幾何關(guān)系Fig.2 Geometric relationship between the missing part of the ball and the sphere

圖2中存在如下關(guān)系：

x2+l2=R2

(2)

R-l=l′

(3)

其中，R為土顆粒半徑；x為球缺部分截面半徑；l′、l分別為球缺部分頂點(diǎn)和土顆粒中心點(diǎn)至球缺截面的距離．有

V′=πl(wèi)′2(R-l′/3)

(4)

x與R的關(guān)系為

(5)

其中，a為常數(shù)，且a>1． 將式(2)、式(3)和式(5)代入式(4)并化簡(jiǎn)得

(6)

式(6)為1個(gè)球缺體積，就土體整體而言，土體中存在a′個(gè)球缺體，總的球缺體積為

V″=a′V′

(7)

其中，a′為不同排列方式下的土顆粒接觸點(diǎn)個(gè)數(shù)．

2 土顆粒骨架

根據(jù)土顆粒排列時(shí)的相對(duì)位置關(guān)系，可構(gòu)建兩個(gè)不同排列形式的土體骨架模型．一種為土顆粒正交排列的土骨架模型，另一種為土顆粒聚合密實(shí)排列的土骨架模型．

2.1 正交排列土骨架

該土骨架由相同排列方式的土顆粒層豎向疊加而成．每1個(gè)土顆粒與6個(gè)土顆粒接觸，每1個(gè)球形土顆粒缺少6個(gè)球缺體，如圖3．

圖3 正交排列土骨架Fig.3 The soil skeleton in an orthogonal pattern

如圖3(b)所示，球缺土顆?？蓡为?dú)占據(jù)1個(gè)邊長(zhǎng)為l1的正方體，且l1=2R-2l′． 這種排列方式下的土骨架在空間中關(guān)于xoy、yoz和zox平面對(duì)稱．假設(shè)土顆粒組成一致，則該土骨架排列形式下的土體為各向同性．

2.2 聚合密實(shí)排列土骨架

空間中任意土顆粒與其他土顆粒聚合成為正四面體時(shí)，土骨架能達(dá)到相對(duì)密實(shí)狀態(tài)．相比正交排列的土骨架，聚合密實(shí)排列的土骨架更為密實(shí)，孔隙體積更小，同樣將該土骨架視為各向同性體．聚合密實(shí)排列的土骨架如圖4．

圖4 聚合密實(shí)排列的土骨架Fig.4 Aggregate compact arrangement of soil skeletons

如圖4(b)，密實(shí)狀態(tài)下的土顆粒聚合成邊長(zhǎng)為l2的正四面體，聚合正四面體中缺少12ζ/180個(gè)球缺體，ζ為正四面體二面角，約為70°32′．

2.3 土骨架體積含量

根據(jù)圖3(b)以及圖4(b)，可計(jì)算不同排列形式土骨架所占土體體積含量．正交排列土骨架體積分?jǐn)?shù)φs1為

(8)

(9)

化簡(jiǎn)為

(10)

其中，Vs1為土骨架體積；V1為圖3(b)所示的立方體體積．

圖4(b)中土顆粒約為1/3球，根據(jù)式(8)可類比計(jì)算出聚合密實(shí)排列土骨架體積分?jǐn)?shù)φs2為

(11)

l2=l1

(12)

整理得

(13)

其中，ζ為正四面體二面角，約為70°32′．式(10)與式(13)中a值存在最優(yōu)解，根據(jù)0<φs<1的限定條件，可得出式(10)和式(13)中a的取值范圍(兩式a的取值相互獨(dú)立)．除此之外，根據(jù)計(jì)算干土的目標(biāo)孔隙率不同，a的取值也發(fā)生變化，式(10)中a>1.70， 式(13)中2.64

當(dāng)式(10)中a趨于無(wú)窮大時(shí)，φs1收斂于0.52．式(13)中a為4.30時(shí)，土體為完全巖體．根據(jù)a的取值不同，可以模擬不同孔隙率土體的空間結(jié)構(gòu)，進(jìn)而計(jì)算出土體導(dǎo)熱系數(shù)．

2.4 孔隙冰骨架

實(shí)際凍結(jié)過(guò)程，距離相鄰?fù)令w粒的球心最遠(yuǎn)端處的孔隙水最先凍結(jié)成孔隙冰．隨著凍結(jié)溫度的降低，孔隙冰體積含量逐漸增大并發(fā)展成為貫通的冰骨架．冰骨架具有空間整體性，但是受土顆粒排列方式的影響，正交排列土骨架中冰骨架的空間結(jié)構(gòu)更具有整體性．細(xì)顆粒土體中，在溫度<0 ℃條件下，土體中存在未凍水，且未凍水廣泛存在于土骨架與冰骨架之間．根據(jù)水冰含量轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以計(jì)算出未凍水與孔隙冰的體積分?jǐn)?shù)分別為

(14)

φi=1-φs-φu

(15)

其中，mu和ms分別為未凍水和土顆粒的質(zhì)量(單位g)；ρd和ρw分別為凍土的干密度和未凍水的密度(單位：g/cm3)；wu為未凍水含量；φu和φi分別為未凍水和孔隙冰的體積分?jǐn)?shù).在土體凍結(jié)過(guò)程中，土體中將產(chǎn)生水分的遷移[12]，即當(dāng)考慮水分遷移影響時(shí)，凍土內(nèi)部的水冰發(fā)生重新分布，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可不考慮土體凍脹效應(yīng). 凍土中各物質(zhì)的體積分?jǐn)?shù)可通過(guò)式(10)、式(13)、式(14)和式(15)計(jì)算獲得．

未凍水含量可通過(guò)核磁共振法與混合量熱法測(cè)得，對(duì)于一般土工熱計(jì)算，可采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算獲得[13-15]．

3 導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型

3.1 垂直流法與平流法

凍土是多相介質(zhì)組成的混合體，通過(guò)測(cè)試可以獲得凍土熱參數(shù)值，而且任何實(shí)測(cè)數(shù)值的驗(yàn)證對(duì)比均需要合理的計(jì)算公式．對(duì)凍土各組成物質(zhì)熱參數(shù)及其含量之間的聯(lián)系，可通過(guò)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到[4]．凍土各組成物質(zhì)的混合導(dǎo)熱系數(shù)λ為

(16)

其中，λi為凍土中各物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)；N為各組成物質(zhì)的數(shù)量．

類比電晶格框架，得出基于凍土熱傳遞的平層熱流的導(dǎo)熱系數(shù)表達(dá)式為

(17)

3.2 復(fù)合傳熱計(jì)算模型

JOHANSEN等[5]根據(jù)凍土中各物質(zhì)的體積分?jǐn)?shù)，建立了飽和及非飽和凍土的導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型．該計(jì)算模型綜合考慮了凍土中各組成物質(zhì)含量的影響，但是卻忽視了土顆粒排列方式及凍土中孔隙分布對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)的影響．根據(jù)Wiener理論模型，多孔介質(zhì)在平行傳熱與垂直傳熱的不同傳熱模式下，多孔介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)存在兩種不同計(jì)算方式．李順群等[16]提出了混合傳熱模式下的凍土導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型．

建立本研究導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型的關(guān)鍵問(wèn)題，就是要證明凍土的土-水和冰-水之間的傳熱是獨(dú)立的．根據(jù)SASS等[17]的研究，當(dāng)土體內(nèi)部各相體導(dǎo)熱系數(shù)相差較小時(shí)，可采用幾何平均法計(jì)算土體導(dǎo)熱系數(shù)．因此欲證明獨(dú)立，只需證明土-水混合物的導(dǎo)熱系數(shù)和冰-水混合物的導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上相近，因此需要獲得土骨架、冰骨架和未凍水的導(dǎo)熱系數(shù)．冰和水是均質(zhì)物質(zhì)，導(dǎo)熱系數(shù)已知．但土骨架是由土顆粒聚合而成的復(fù)雜聚合物，導(dǎo)熱系數(shù)較難確定，可通過(guò)試驗(yàn)及計(jì)算得到．

干土是由土和氣組成的二相體，且干土的導(dǎo)熱系數(shù)受溫度影響很小，可視為定值．類比孔隙水在非飽和土體中的滲流，熱流在干土中會(huì)存在一個(gè)實(shí)際的傳熱路徑．同一土樣中，干土導(dǎo)熱截面面積與其土骨架導(dǎo)熱截面面積有如下關(guān)系：

ΔF1=(1-n)ΔF2

(18)

其中，ΔF1和ΔF2分別為土骨架和干土試樣的導(dǎo)熱截面面積；n為干土試樣的孔隙率．

根據(jù)導(dǎo)熱系數(shù)測(cè)試?yán)碚摴絒15]和式(18)，可確定干土骨架的導(dǎo)熱系數(shù)，即

(19)

其中，Q為熱量； Δθ/Δh為溫度梯度；t為時(shí)間；λdry為干土的導(dǎo)熱系數(shù)．

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的干土導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)據(jù)，利用式(19)可以求得不同干密度下的土骨架導(dǎo)熱系數(shù)，如圖5所示．

圖5 不同干密度下干土和土骨架的導(dǎo)熱系數(shù)Fig.5 Thermal conductivity of dry soil and the soil skeleton under different dry densities

由圖5可見(jiàn)，干密度為1.8 g/cm3時(shí)土骨架的導(dǎo)熱系數(shù)值為2.07 W/(m·K)，冰的導(dǎo)熱系數(shù)取值為2.22 W/(m·K)，未凍水的導(dǎo)熱系數(shù)取值為0.55 W/(m·K)．根據(jù)式(16)可以計(jì)算出土-水混合物和冰水混合物的導(dǎo)熱系數(shù)，即

λsw=λsφs+λwφu

(20)

λrw=λiφi+λwφu

(21)

φs=φi

(22)

其中，λsw和λiw分別為土水混合物和冰-水混合物的導(dǎo)熱系數(shù)．式(20)和式(21)的計(jì)算結(jié)果如圖6．

圖6 土水混合物和冰水混合物的導(dǎo)熱系數(shù)Fig.6 Thermal conductivity coefficient of soil-water mixture and ice-water mixture

從圖6可見(jiàn)，當(dāng)組成物的體積分?jǐn)?shù)相同時(shí)，土水混合物和冰水混合物的導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上相差較小，表示土水混合物和冰水混合物的導(dǎo)熱能力相近，可看作兩種混合物獨(dú)立傳熱．

圖7 傳熱模式和傳熱物理模型Fig.7 Heat transfer mode and its physical model

土骨架的導(dǎo)熱系數(shù)與孔隙冰的導(dǎo)熱系數(shù)相差不過(guò)一個(gè)數(shù)量級(jí)，可視為熱流在土骨架與孔隙冰中為獨(dú)立傳遞，而土骨架與孔隙水、孔隙冰與孔隙水之間為混合傳熱，構(gòu)成的土水、冰水之間的傳熱利用幾何平均法計(jì)算．基于上述假設(shè)，提出土、水和冰組合形式下復(fù)合熱傳遞模型．凍土中熱傳遞如圖7(a)．類比電流在電晶格中傳遞，復(fù)合傳熱模型如圖7(b)．基于式(16)和式(17)，可推導(dǎo)出復(fù)合傳熱計(jì)算模型：

1)當(dāng)凍土中熱主要以土、水和冰、水路徑進(jìn)行傳遞時(shí)，凍土的導(dǎo)熱系數(shù)分為兩部分．土、水間熱傳遞為

(23)

冰-水間熱傳遞為

(24)

2)考慮凍土中土-水與冰-水間的平行傳熱，則凍土導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算式為

λ=λ1φ1+λ2φ2

(25)

將式(23)和式(24)代入式(25)中，可得

(26)

其中，λs，λw和λi分別為土骨架、未凍水和孔隙冰的導(dǎo)熱系數(shù)．將式(10)、式(13)、式(14)和式(15)代入式(26)，可得到凍土導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算式．

實(shí)際上，凍土凍結(jié)過(guò)程可分成冰核形成與冰骨架形成兩個(gè)階段，這兩個(gè)階段的傳熱形式有所不同．冰核形成階段，冰核存在于孔隙水中，此過(guò)程主要為土水之間傳熱；冰骨架形成階段，凍土中冰核發(fā)展成完整孔隙冰骨架，此過(guò)程主要為土-水-冰之間傳熱．

4 對(duì)比驗(yàn)證

基于瞬態(tài)平面熱源法測(cè)試凍土導(dǎo)熱系數(shù)，試驗(yàn)配制干密度分別為1.4、1.6和1.7 g/cm3的飽和粉土試樣，并在低溫箱的不同溫度環(huán)境冷凍48 h以上，制成飽和凍土試樣．將凍土試樣平滑切成等大的兩部分，并將測(cè)試探頭放置于切割面上且加緊探頭．將加緊探頭的凍土試樣放入恒溫箱中，待探頭溫度與試樣溫度一致時(shí)開始測(cè)試．單個(gè)試樣的測(cè)試時(shí)間控制在5 min左右．測(cè)試發(fā)現(xiàn)，干粉土試樣導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化幅度很小，可以認(rèn)為干粉土導(dǎo)熱系數(shù)在不同溫度下為一個(gè)定值．

根據(jù)給定的干密度值可以確定干土試樣孔隙率．結(jié)合a值，基于土顆粒的兩種排列方式，可以擬算出不同干密度下凍土試樣的導(dǎo)熱系數(shù)，如圖8(a)．將復(fù)合傳熱法與Johansen法、混合流法、實(shí)測(cè)值進(jìn)行數(shù)值比對(duì)，結(jié)果如圖8(b)．

圖8 復(fù)合傳熱模型計(jì)算值Fig.8 Calculation value of composite heat transfer model

如圖8(a)所示，利用復(fù)合傳熱法計(jì)算出3種干密度情況下的導(dǎo)熱系數(shù)值，實(shí)測(cè)導(dǎo)熱系數(shù)值均落在計(jì)算值區(qū)間內(nèi)．從圖8(a)可見(jiàn)，在溫度區(qū)間-5～0 ℃ 時(shí)，計(jì)算值大于實(shí)測(cè)值，這是由于凍結(jié)開始時(shí)，凍土內(nèi)部開始形成凍結(jié)的冰核，但是冰核并未發(fā)展成為貫通的骨架體系，故導(dǎo)致計(jì)算值大于實(shí)測(cè)值．除此之外，凍結(jié)過(guò)程中的水熱遷移也是導(dǎo)致實(shí)測(cè)值小于計(jì)算值的重要因素．干密度為1.4 g/cm3的土體的土顆粒排列與正交排列的土骨架模型相近，干密度為1.6 g/cm3和1.7 g/cm3的土體的土顆粒排列與聚合密實(shí)排列的土骨架模型相近．

如圖8(b)所示，由于Johansen法只考慮了土體相體含量的影響，而沒(méi)考慮熱流在土體中傳遞的規(guī)律，所以計(jì)算準(zhǔn)確度較低，與實(shí)測(cè)值差別較大．在-5 ～ 0 ℃時(shí)，本研究提出的復(fù)合傳熱法的計(jì)算值要小于Johansen法與混合流法的計(jì)算值，與實(shí)測(cè)值較為吻合；在-20 ～ -5 ℃時(shí)，復(fù)合傳熱法的計(jì)算值要大于混合流法的計(jì)算值，小于Johansen法的計(jì)算值，整體計(jì)算數(shù)值處于兩種計(jì)算方法之間．由此可見(jiàn)，復(fù)合傳熱法的計(jì)算精度優(yōu)于Johansen法，計(jì)算精度處于Johansen法與混合流法之間，計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間誤差小于10%，符合土工熱計(jì)算的誤差要求．

本研究提出的導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型尚存在一定的局限性和適用條件．由于土體干密度決定土體中土顆粒的含量，干密度越大，土顆粒彼此間接觸越緊密，所以該計(jì)算模型適用于計(jì)算飽和、干密度較大的凍土導(dǎo)熱系數(shù)，對(duì)于飽和砂土和粉質(zhì)黏土較為適用．對(duì)于低密度土體，如淤泥質(zhì)土，土體中未形成有效的土骨架，因此利用該模型計(jì)算將會(huì)產(chǎn)生一定誤差．除此之外，該計(jì)算模型未考慮土體級(jí)配的影響，對(duì)于計(jì)算級(jí)配較好的凍土導(dǎo)熱系數(shù)，誤差可能較大．影響該模型計(jì)算精度的另一個(gè)重要原因是凍土未凍水測(cè)試結(jié)果，未凍水含量測(cè)試結(jié)果越精確，利用該模型計(jì)算的導(dǎo)熱系數(shù)越準(zhǔn)確．

5 結(jié) 論

1)考慮土顆粒為均質(zhì)球體且土顆粒間為球缺接觸，給出了正交排列的土顆粒以及聚合密實(shí)排列的土顆粒兩種土骨架構(gòu)成形式．計(jì)算出了兩種排列方式土顆粒體積的計(jì)算方法，并給出了土骨架的體積分?jǐn)?shù)表達(dá)式．依據(jù)表達(dá)式中未知數(shù)a的取值，可求得不同孔隙率時(shí)土骨架的體積含量．同時(shí)給出了對(duì)應(yīng)的孔隙冰骨架模型，并依據(jù)未凍水含量可計(jì)算凍土中孔隙冰和孔隙水體積分?jǐn)?shù)．

2)考慮到土骨架的導(dǎo)熱系數(shù)與孔隙冰的導(dǎo)熱系數(shù)相差不大，可以認(rèn)為熱流在土骨架和孔隙冰中的傳熱過(guò)程相互獨(dú)立．而孔隙水與土骨架、孔隙冰之間存在熱量的相互交換，由此構(gòu)建出包括土-水、冰-水兩個(gè)熱交換過(guò)程的復(fù)合傳熱模式．基于建立的復(fù)合傳熱模型以及多孔介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式，推導(dǎo)出了相應(yīng)的導(dǎo)熱系數(shù)計(jì)算模型．

3)通過(guò)復(fù)合傳熱法計(jì)算不同干密度凍土在不同溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)，并與實(shí)測(cè)值、Johansen法與混合流法計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證．驗(yàn)證結(jié)果顯示，復(fù)合傳熱法的計(jì)算精度處于Johansen法與混合流法之間，優(yōu)于Johansen法計(jì)算精度．在-5 ～ 0 ℃ 溫度段內(nèi)，復(fù)合傳熱法的計(jì)算值要略大于實(shí)測(cè)值，這是由于凍結(jié)初始階段，凍土內(nèi)未形成貫通的孔隙冰骨架．復(fù)合傳熱法的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值誤差小于10%，符合誤差要求．