對一類函數(shù)模型f(x)=ax+blnx+c的探究

孟 彪 許章永

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) 210048)

一、模型解析

通過對歷年高考題及聯(lián)考題、模擬題的分析可以發(fā)現(xiàn)，各地區(qū)高考、模擬考壓軸題多以lnx、x、ex通過組合得到新的函數(shù)模型，本文將其抽象為f(x)=ax+blnx+c模型.這種模型看著復(fù)雜、難解，但是著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：對于復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.

筆者所在學(xué)校于2019年10月開展了一場南京市專家視導(dǎo)教學(xué)，本次視導(dǎo)教學(xué)的主題是：研究函數(shù)f(x)=ax+blnx+c模型.筆者將這次視導(dǎo)的內(nèi)容和研究心得整理后呈現(xiàn)給大家，供大家參考.為了研究的方便，先從模型的一種簡單形式開始研究，令模型中的a=1,b=-1,c=-1進(jìn)行研究.

問題探究f(x)=x-lnx-1，x∈(0,+)的性質(zhì).

(1)函數(shù)：f(x)=x-lnx-1≥0恒成立，(2)不等式：x-1≥lnx，(3)方程：x-lnx-1=0的根是1.以上從函數(shù)、不等式、方程三個方面對模型進(jìn)行分析研究.

將x用ex替換可得ex≥x+1，進(jìn)一步又可以得到ex≥x+1>x>x-1≥lnx.這個不等式串是壓軸題中常用的放縮形式.幾何意義如圖1所示：

評注讓學(xué)生課前先探究f(x)=x-lnx-1，x∈(0,+)模型，課堂上加以引導(dǎo)可以得到函數(shù)、方程、不等式三者之間的關(guān)系，然后讓學(xué)生將x用ex替換可得到一系列不等式串，這是從數(shù)的角度理解，為下面的專題中的放縮作鋪墊，再引導(dǎo)學(xué)生從形的角度加以解釋，即得到圖1的函數(shù)圖形.

本文通過一個典型的例題來闡述這一函數(shù)模型：f(x)=ax+blnx+c，然后進(jìn)行推廣，例題如下：

例1 已知函數(shù)f(x)=ax-lnx-a,

(1)若函數(shù)f(x)≥0恒成立，求a的值；

(2)若a>0時函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)，求a的值；

解析(1)問，方法1：分參，f(x)≥0?a(x-1)≥lnx.

當(dāng)x=1時，f(x)=0，此時f(x)≥0恒成立.綜上，a=1.

方法3：數(shù)形結(jié)合法，a(x-1)≥lnx可以理解為函數(shù)y1=a(x-1)圖象在y2=lnx的圖象上方，由圖2可知a=1時y=x-1是y=lnx在(1,0)處的切線，a為其他值均不滿足.

評注本題常規(guī)做法學(xué)生首先會想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明，但是證明過程繁瑣、易錯，這里不再呈現(xiàn).但是如果知道探究的兩個不等式模型就可以快速構(gòu)造函數(shù)解決問題.

二、模型推廣

函數(shù)模型f(x)=ax+blnx+c中的x用x2代替，可得f(x)=ax2+blnx2+c，化簡可得f(x)=ax2+2blnx+c，進(jìn)而可以將模型的次數(shù)升高、形式復(fù)雜化，這種形式備受命題者青睞.將f(x)=ax+blnx+c中的x用ex代替可得f(x)=aex+blnex+c將其化簡變形可以得到f(x)=aex+bx+c，由此得到x、ex的組合函數(shù)形式.無論如何變化，但“萬變不離其宗”，本源還是來至于模型：f(x)=ax+blnx+c.因此，只要將本模型f(x)=ax+blnx+c研究透徹，就可以解決這一系列問題.

三、考題再現(xiàn)

例1(2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù))已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．

(1)求a；(2)略.

解析本題中f(x)看著形式比較復(fù)雜，直接分參或者討論單調(diào)性均難以得到正確答案，但是分析發(fā)現(xiàn)，只需要對f(x)形式稍作處理就能快速得到答案，f(x)=x(ax-a-lnx)≥0，x>0可以轉(zhuǎn)化為f(x)=ax-a-lnx≥0,x>0，同例1(1)問，這里不再贅述.

評注洞察題目的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其本源所在是提高解題能力必不可少的一步，本題稍加處理后即轉(zhuǎn)化為例1研究的模型，一個復(fù)雜函數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為一個熟悉、簡單的模型，問題迎刃而解.

例2 (湖北省武漢市2012年高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

lnx1，上述問題得解.

評注本題證明題看著形式很復(fù)雜，學(xué)生遇到后很可能第一選擇是數(shù)學(xué)歸納法，但是證明復(fù)雜，不易得分，如果洞悉本題的本質(zhì)，只需構(gòu)造一個不等式模型即可解決，而這個不等式正是探究中研究過的形式，下面的解題思想與例1(3)思想如出一轍.

例3 (2019年南京六校聯(lián)合體考試)已知函數(shù)m(x)=x2，函數(shù)n(x)=alnx+1,a∈R.若函數(shù)f(x)=m(x)-n(x)有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

綜上，a∈(-,0]∪{2}.

評注本題的難點(diǎn)在于突破“隱零點(diǎn)”，(ⅱ)中利用“局部為零法”思想發(fā)現(xiàn)令x=e-1/a時f(x)的值大于零，由零點(diǎn)存在定理可知不符合題意，這里x還可以取e-1/2a，e-1/3a，….對于(ⅲ)需要找出f(x)大于零的部分，常規(guī)做法很難處理，但是利用本探究的“不等式放縮法”lnx≤x-1很輕松地就能解決問題.

例4 (2018 年全國新課標(biāo)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(2)證明：當(dāng)a≥e時，f(x)≥0.

評注本題表面來看是由lnx、x、ex組合而來的復(fù)雜形題目，但是分析后利用“不等式放縮法”轉(zhuǎn)化為本文探究的模型.因此，本體的主要工作就轉(zhuǎn)化為證明構(gòu)造的不等式，而這個不等式的證明很簡單.

四、反思總結(jié)

以上通過具體實(shí)例闡述了函數(shù)模型f(x)=ax+blnx+c,并得到兩個常用不等式：x-1≥lnx，ex≥x+1.可以用這兩個不等式解決恒成立問題、“隱零點(diǎn)問題”、“極值點(diǎn)難求問題” ，證明數(shù)列不等式等.在歷年的各類考試中, 壓軸題以lnx、x、ex組合為背景命題,屢見不鮮, 值得廣大師生重點(diǎn)關(guān)注.而在解決此類問題時, 需要從多個角度, 發(fā)散思維的考慮問題，注意回歸本源，不能生搬硬套模型、解題方法和技巧,需要在實(shí)踐中多次嘗試、領(lǐng)悟, 方能在解題中提高自身的能力，達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).