解析幾何中的數(shù)學(xué)思想賞析

黃光鑫 謝 超

(1.四川省成都市四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610066;2.四川省成都市第二十中學(xué)校 610036)

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的.

解析幾何的創(chuàng)立在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上具有里程碑的意義.學(xué)習(xí)解析幾何不僅要學(xué)習(xí)各種不同題型的解答方法，更要透過(guò)靈活多樣的方法，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想就是利用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)并加以研究，從而使問(wèn)題獲解.方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，然后通過(guò)解方程(組)使問(wèn)題獲解.函數(shù)與方程的思想既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過(guò)程中的基本數(shù)學(xué)思想.

例1 已知拋物線C:x2=py(p>0)上點(diǎn)M處的切線方程為x+y+1=0.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)A(x1,y1)和B(x2,y2)為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中y1≠y2,且y1+y2=2，線段AB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)T，求△ABT面積的最大值.

由Δ=16k2+16m>0得：k2+m>0.②

y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+2m=2?4k2=2-2m.③

由4k2=2-2m>0得：m<1，將③代入②得：m>-1，∴-1

將③代入④得：

賞析本題將△ABT的面積表示為一個(gè)變量m的函數(shù)，隨后就可以采用處理一般函數(shù)最值的常用辦法(求導(dǎo))去解決三角形面積的最大值問(wèn)題.

整理得：2tx1-2y1+1=0.①

設(shè)B(x2,y2)，同理可得2tx2-2y2+1=0. ②

于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.

賞析本題第(1)問(wèn)用變量的觀點(diǎn)根據(jù)①式、②式以及方程的定義直接得出直線方程的方法值得借鑒！此題是利用變量的觀點(diǎn)將兩個(gè)變量統(tǒng)一到一個(gè)方程之中.變量是函數(shù)的基礎(chǔ)，對(duì)應(yīng)是函數(shù)的本質(zhì)！

(2)設(shè)兩切線為l1，l2，

①當(dāng)l1⊥x軸或l1∥x軸時(shí)，對(duì)應(yīng)l2∥x軸或l2⊥x軸，可知P(±3,±2)；

∴36k2-4[(y0-kx0)2-4]=0,

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想就是充分運(yùn)用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)和”形”的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合，通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，變抽象思維為形象思維，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有利于達(dá)到優(yōu)化解題的目的.

(1)求橢圓C1的方程；

解法2 延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，顯然O為線段AB的中點(diǎn)，又因?yàn)镺C∥AD，所以點(diǎn)C為線段BF的中點(diǎn).因?yàn)锳C是△ABF的中線，DE∥FB,從而點(diǎn)P為線段DE的中點(diǎn).即|PD|=|PE|.

賞析解析幾何本來(lái)就是數(shù)形結(jié)合的光輝典范！老一輩數(shù)學(xué)家華羅庚也曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休！”本題解法二充分挖掘圖形的幾何屬性，數(shù)形結(jié)合，尋找數(shù)學(xué)美，巧添輔助線，如此機(jī)智的證明方法簡(jiǎn)直令人拍案叫絕！

三、分類與整合的思想

分類與整合就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.分類與整合就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)思想.

解(1)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a，c，由已知得

當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓.

賞析本題第(2)問(wèn)由于方程中參數(shù)取值的不確定性，因此需要進(jìn)行詳細(xì)的分類討論.分類討論實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題劃分為若干個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題各個(gè)擊破！體現(xiàn)出化難為易，化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思維.分類討論必需做到不重不漏！

四、轉(zhuǎn)化與化歸的思想

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某些數(shù)學(xué)知識(shí)，將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，未知問(wèn)題己知化等，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想.

(1)若|PF|=3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)求△ABP面積的最大值.

“欲窮千里目，更上一層樓！”數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,只有對(duì)數(shù)學(xué)思想的透徹理解，深刻領(lǐng)悟，才能居高臨下地看待問(wèn)題，也才能找到更多、更好、更新的解法.