翼梁腹板復合型裂紋擴展分析及試驗驗證

李玉蓮，王虎林，何龍龍

哈爾濱哈飛航空工業(yè)有限責任公司，黑龍江哈爾濱150066

飛機的服役經(jīng)驗表明，很多構件的斷裂是由于其內(nèi)部存在各種類型的裂紋，這些裂紋的存在和擴展，使結構承載能力在一定程度上削弱，從而影響飛機結構安全。因此研究裂紋開裂以及擴展規(guī)律，對飛機設計有重大指導意義?；谝陨系哪康?，國內(nèi)外學者從理論、試驗、數(shù)字仿真方面開展了大量的研究工作[1,2]。損傷容限分析的主要任務是以基于斷裂力學的裂紋擴展為分析基礎,結合剩余強度分析確定結構的檢查門檻值和檢查間隔，從而保證飛行安全并得到最優(yōu)的結構效率。飛機結構損傷容限分析的基礎是飛機結構應力強度因子的確定。因為應力強度因子計算的重要性，國內(nèi)外將應力強度因子的研究作為疲勞損傷容限設計的重點之一。

有限元法計算應力強度因子由于不受幾何以及載荷的復雜性限制而在工程上得到廣泛應用。有限元法需要模擬裂紋尖端的奇異性，在固定裂紋長度下，傳統(tǒng)有限元法計算裂紋尖端應力強度因子精度已經(jīng)非常高，而在裂紋擴展中，必須每次在裂紋擴展后重新劃分網(wǎng)格，工作量巨大。而擴展有限元[3]的提出很好地解決了這個矛盾。

擴展有限元技術是用于模擬不連續(xù)問題的有限元技術，它是在傳統(tǒng)有限元框架內(nèi)，保留了有限元所有的優(yōu)點，并基于單位分解的思想，在連續(xù)位移場上加入特殊函數(shù)對不連續(xù)問題進行建模的方法。它克服了傳統(tǒng)有限元在裂紋尖端應力區(qū)必須細化網(wǎng)格帶來的困難，大大提高了分析效率。近年來擴展有限元法在裂紋擴展分析中得到了廣泛的應用[4]，本文針對翼梁腹板的復合型裂紋擴展問題，使用擴展有限元分析手段，著重分析了網(wǎng)格密度和積分區(qū)域?qū)姸纫蜃右约皬秃闲土鸭y開裂角度計算精度的影響，并使用單翼梁結構進行了翼梁腹板裂紋擴展試驗驗證。

1 擴展有限元法

對于含有裂紋的彈性體，一方面在裂紋面上產(chǎn)生不連續(xù)位移場，另一方面在裂紋尖端又會產(chǎn)生應力集中，而采用基于連續(xù)介質(zhì)理論的傳統(tǒng)有限元法進行計算時，通常需要對裂紋尖端網(wǎng)格加密或引入奇異單元，造成操作復雜、通用性差等不便。美國西北大學Belytchko等[5]基于差值函數(shù)單元分解的思想，在常規(guī)有限元的基礎上，提出了適合描述裂紋面的近似位移插值函數(shù)：

式中：N為所有常規(guī)點的集合；Ndic為被裂紋完全貫穿的單元節(jié)點的集合（圖1中的方塊節(jié)點）；Nasy為含裂尖單元點的集合（圖1中的圓圈節(jié)點）；ui，αj，分別表示常規(guī)單元節(jié)點、貫穿單元節(jié)點和裂尖單元節(jié)點的位移；H(x)為跳躍函數(shù)，用于反映裂紋面位移的不連續(xù)性，在裂紋面上、下側分別取+1和-1。

圖1 附加函數(shù)的加強節(jié)點和裂尖極坐標Fig.1 Enriched nodes of addition function and local coordinate system of crack tip

φa(x)為裂尖漸進位移場附加函數(shù)，反映裂尖的應力奇異性。具體由以下基函數(shù)構成：

式中：r，θ為以裂紋尖端為原點的極坐標系，如圖1 右側所示。

擴展有限元采用子區(qū)域積分法對不連續(xù)場進行精確積分。

2 復合型裂紋

實際航空結構斷裂力學的工程應用中，由于結構受力復雜，裂紋形式不局限于一種，常以復合形式存在，判定復合裂紋擴展的斷裂準則主要有最大周向正應力準則[6]和應變能密度理論兩種。

最大周向正應力準則：假定裂紋初始擴展沿著周向應力σθ最大的方向，當最大應力達到臨界值時，裂紋開始擴展。對于I型和Ⅱ型裂紋復合的情況，結合Irwin得到的裂尖區(qū)域應力值，由應力強度因子疊加原理可以得到I型和Ⅱ型復合裂紋的裂尖正應力值：

取r=r0圓周上各點的σθ，有進而有：

則開裂條件為：

復合裂紋作用下，裂紋將向與原裂紋成θ0的方向擴展[7]，θ0的正負取決于的正負。

3 翼梁裂紋擴展分析

3.1 翼梁受力以及應力強度因子分析

機翼翼梁是飛機結構疲勞及損傷容限設計中的危險部位，翼梁結構失效直接關系到飛機的飛行安全。對于航空結構的機翼翼梁，總體受力為承受剪力和彎矩的聯(lián)合作用，如圖2 所示。對于使用損傷容限設計的翼梁結構，當受拉緣條裂紋擴展失效以后，裂紋擴展到翼梁腹板，在腹板上的擴展過程由于受到腹板切應力和整個翼梁承受彎矩的共同作用時，裂紋擴展速度較快，裂紋方向更為復雜，是飛機結構的一種較為危險的失效模式，對于在翼梁腹板上的裂紋擴展分析在工程上的應用尤為重要。

圖2 翼梁受力示意圖Fig.2 Wing spar subjected to moment and force

在整個機翼翼盒結構中，翼梁緣條裂紋擴展過程中，翼梁承受的彎矩會小部分轉移到蒙皮結構，翼梁腹板的切應力保持不變，緣條完全斷裂后，腹板承受彎矩引起的拉應力以及切應力，屬于典型的I型和Ⅱ型裂紋同時存在的復合型裂紋擴展。緣條斷裂以后裂紋會沿著一個角度繼續(xù)在腹板擴展。裂紋擴展示意圖如圖3所示。

翼梁的I型裂紋（見圖4）為彎矩引起的，根據(jù)手冊[8]的經(jīng)驗，當梁腹板承受純彎曲應力時，腹板邊裂紋的應力強度因子公式為：

圖3 翼梁腹板裂紋擴展示意圖Fig.3 Crack growth trajectory of wing spar web

圖4 翼梁腹板Ⅰ型裂紋擴展Fig.4 The Ⅰmodel crack growth of wing spar web

有限寬度板只承受切應力時，裂紋的應力強度因子經(jīng)驗公式[9]為：

對于純Ⅱ型裂紋[10]，可以令KI=0，得出純Ⅱ型裂紋的擴展角度為70.5°。當機翼翼梁腹板為復合型裂紋擴展時，裂紋擴展角度的取值范圍為-70.5°～+70.5°。

3.2 翼梁裂紋擴展有限元分析結果

在翼梁腹板裂紋擴展分析中，翼梁組件包括緣條和腹板以及立柱結構，翼梁選取三個肋間距的單翼梁長度進行分析，僅研究裂紋在梁腹板的面內(nèi)擴展時，初始裂紋切割為下緣條高度40mm完全斷裂。翼梁長度為1200mm，翼梁高度為330mm，翼梁腹板厚度為2mm，翼梁上下緣條為T 型材剖面，腹板材料為2014T3，詳細的翼梁材料性能以及翼梁的幾何參數(shù)見表1。

在翼梁腹板裂紋擴展分析中，腹板厚度為2mm 時，有限元模型在外圍網(wǎng)格不變的情況下，在裂紋定義區(qū)域分別采用了三種網(wǎng)格尺寸，為1mm×1mm 網(wǎng)格、2mm×2mm 和4mm×4mm 的局部細化，主要分析網(wǎng)格密度對于擴展有限元計算結果的影響，并與單翼梁結構裂紋擴展試驗的裂紋方向結果進行對比分析。

表1 2014T3材料力學性能和翼梁幾何參數(shù)Table 1 Mechanical properties of 2014T3 and geometric parameter of wing spar

在翼梁腹板裂紋擴展有限元模型中，翼梁一端施加剪力以及彎矩，在另一端為懸臂約束端，如圖5所示。

圖5 翼梁腹板裂紋擴展分析示意圖Fig.5 Crack growth analysis of wing spar web

使用擴展有限元的翼梁腹板裂紋擴展分析計算結果如圖6 所示。在使用擴展有限元分析過程中，使用單翼梁結構進行分析。在腹板的裂紋擴展過程中，翼梁結構開剖面的彎心會隨著裂紋長度的增長發(fā)生變化，而實際結構中，翼盒中的翼梁與蒙皮組成閉剖面結構，為簡便分析，有限元約束模擬簡化時，在翼梁緣條與腹板的交界線處增加垂直于腹板面的約束來限制翼梁的扭轉。

有限元分析結果表明，擴展有限元在不重新劃分網(wǎng)格情況下，裂紋可以穿透單元，進行裂紋擴展模擬，大大提高分析效率，同時為復雜航空結構裂紋擴展分析提供方便途徑。

圖6 擴展有限元裂紋擴展計算示意圖Fig.6 XFEM crack growth analysis

4 翼梁腹板裂紋擴展試驗驗證

4.1 試驗簡化

翼梁腹板裂紋擴展試驗，翼梁組件包括緣條和腹板，翼梁選取4 個肋間距的單翼梁長度進行分析及試驗，相鄰肋間距為300mm，腹板厚度為2mm，由于翼梁緣條斷裂后的裂紋擴展過程直接威脅結構安全，因此僅研究裂紋在梁腹板的面內(nèi)擴展時，初始裂紋切割為下緣條高度40mm 的完全斷裂。

試驗過程中，翼梁加載端通過作動筒施加剪力以及彎矩，在試驗件翼梁另一端通過與實驗室承力墻連接進行約束，同時使用三組防失穩(wěn)夾具限制翼梁的扭轉變形，翼梁腹板裂紋擴展試驗的安裝圖如圖7所示。

圖7 翼梁腹板裂紋擴展試驗圖Fig.7 Crack growth experiment of wing spar web

翼梁腹板裂紋擴展試驗的過程結果如圖8 所示，裂紋擴展方向發(fā)生轉折，以一定的角度擴展。

4.2 應力強度因子對比分析

在擴展有限元分析中，針對某一固定長度裂紋的應力強度因子進行計算時，不需要重新劃分網(wǎng)格，但是需要定義增強函數(shù)的半徑，針對翼梁腹板的裂紋擴展分析，著重分析了定義半徑對于裂紋的無量綱化應力強度因子的影響。擴展有限元模型在裂紋擴展區(qū)域分別采用三種較為精細的網(wǎng)格尺寸，分別為1mm×1mm、2mm×2mm和4mm×4mm時，網(wǎng)格結果對應力強度因子影響不大，其中1mm×1mm 網(wǎng)格尺寸計算結果見表2。

圖8 翼梁腹板裂紋擴展試驗過程Fig.8 Crack growth experiment process of spar web

表2 增強函數(shù)半徑對應力強度因子影響Table 2 The effect of addition function R on stress intensity factor

隨著增強函數(shù)定義的半徑不同，無量綱應力強度因子變化較大。

從圖9 中可以看出，增強函數(shù)半徑大于2.5 時，應力強度因子的數(shù)值區(qū)域穩(wěn)定，收斂性較好，因此對于有限寬度的腹板裂紋擴展，建議擴展有限元的增強函數(shù)半徑取≥2.5。

4.3 混合裂紋擴展角度對比分析

擴展有限元模型在裂紋擴展區(qū)域分別采用三種較為精細的網(wǎng)格尺寸，分別為1mm×1mm、2mm×2mm 和4mm×4mm。計算裂紋擴展方向時，選用軟件中裂紋定義的XFEM，并允許裂紋擴展。

圖9 增強函數(shù)半徑對應力強度因子影響Fig.9 The effect of addition function R on stress intensity factor

根據(jù)式（5），計算裂紋擴展角度，見表3，當網(wǎng)格尺寸為1mm×1mm 時，計算翼梁腹板的轉角為21.92°，翼梁腹板裂紋擴展的試驗結果為22.6°，擴展有限元計算分析誤差較小，分析結果能夠滿足工程計算的需求，而且在裂紋尖端不需要重新劃分網(wǎng)格。

表3 復合型裂紋轉角對比Table 3 The mixed-model crack growth angles

擴展有限元的裂紋擴展路徑計算結果和試驗結果對比如圖10所示，三種網(wǎng)格尺寸的裂紋擴展的角度經(jīng)測量均在21°左右，隨著網(wǎng)格密度的不同，裂紋擴展的角度變化不大。

通過以上的分析及試驗驗證，結果表明，在擴展有限元模型定義的裂紋擴展區(qū)域，網(wǎng)格尺寸均為較精細前提下，網(wǎng)格尺寸對與復合型裂紋的擴展角度影響較小。

5 結論

本文基于擴展有限元裂紋擴展方法，在翼梁腹板受到彎曲和剪切的載荷聯(lián)合作用下，開展了機翼梁腹板復合型裂紋擴展分析及試驗驗證工作。分析和試驗的裂紋擴展結果表明：

圖10 翼梁腹板復合裂紋擴展角度對比Fig.10 The mixed-model crack growth angles of wing spar web

（1）擴展有限元在不需要重新劃分網(wǎng)格的前提下，能夠模擬機翼翼梁腹板的復合型裂紋擴展。擴展有限元相對于傳統(tǒng)有限元在模擬不連續(xù)問題方面具有明顯的優(yōu)勢。

（2）擴展有限元采用多種網(wǎng)格尺寸進行對比分析，結果表明，擴展有限元對于網(wǎng)格尺寸不敏感，能夠較好地模擬復合型裂紋的開裂角度。

（3）Abaqus擴展有限元對于計算工程復雜受力結構的應力強度因子是可行的手段，計算精度能夠滿足工程實際的需求。