關(guān)于Michalik連分式插值的多點擴展應(yīng)用

孫思夢

（安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽淮南232001）

自然科學(xué)與工程技術(shù)中，經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜函數(shù)或復(fù)雜的散亂數(shù)據(jù)的整理。而有理函數(shù)就為其提供了很好的解決辦法。連分式插值函數(shù)有著廣泛的研究與應(yīng)用,早期，王仁宏，譚結(jié)慶等對連分式插值的各種計算方法做了總結(jié)[1-3]，其基本概念和插值方法已經(jīng)深有研究[4-9]，許多學(xué)者對有理樣條函數(shù)[10]以及一系列混合有理函數(shù)[11-14]做了討論。文獻[15]給出了新的用組合術(shù)語重新表述了幾個關(guān)于連分式的已知結(jié)果，這些多邊形剖分被解釋為Farey 鑲嵌中的行走。連分式的組合模型可以進一步發(fā)展，以獲得問題陳述語言系統(tǒng)(problem statement language，PSL)。近些年，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，連分式有理插值有了更廣泛的應(yīng)用[16-20]。文獻[21]定義和研究了卷積交流冪和，并證明了一些涉及歐拉多項式和斯特林數(shù)的恒等式，導(dǎo)出了轉(zhuǎn)換器分子和分母的顯式公式。特別地，當(dāng)t是一個偶數(shù)正整數(shù)時，得到了調(diào)和連分式的極限值。這些都是關(guān)于連分式更進一步的研究應(yīng)用。本文對Michalik 連分式做了研究，給出了一種對Michalik 連分式插值的擴展算法，與一般的連分式算法進行了比較，說明了該擴展的插值方法的有效性。該方法也可用于實際生活中含有漸近線的散亂數(shù)據(jù)來構(gòu)造插值函數(shù)，則可以算出最優(yōu)節(jié)點的情況。

1 連分式插值

連分式插值是一種有理函數(shù)逼近法。其基本出發(fā)點是將原型展開成連分式然后截取前幾個起主要作用的偏系數(shù)構(gòu)成簡化模型。它是由初期的數(shù)量形式推廣到向量形式和矩陣形式的研究內(nèi)容。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，連分式的應(yīng)用范圍也在不斷擴大，特別是以連分式為工具的數(shù)值逼近方法尤其受到人們的重視。連分式計算簡便，擬合精度較高，是一種很有效的傳遞函數(shù)簡化法。

設(shè)給出的點集X={x0,x1,…,xn}?[a,b]，函數(shù)f(x)在其上有定義，則X上的Thiele 型連分式插值為：

其中φ[x0,x1,…,xk]是f(x)在x0,x1,…,xk處的k階逆差商，其定義如下：

上述有理插值函數(shù)Rn(x)是分子次數(shù)為且分母次數(shù)為的有理函數(shù)，即對于已知的型值點(xi,yi)(yi=f(xi),i=0,1,2)，連分式插值函數(shù)為：

2 三項遞推公式

設(shè)x0，x1，…，xn為區(qū)間[a，b]上的n+1 個不同的插值節(jié)點，fi=f(xi)，i=0，1，…，n是被插值函數(shù)f(x)在這些節(jié)點處對應(yīng)的函數(shù)值，設(shè)插值連分式為，給出pn和Qn的遞推關(guān)系[1]：

設(shè)P-1=1，P0=a0,Q-1=0,Q0=1則對n≥1，

利用三項遞推公式可以逆向推導(dǎo)出所加節(jié)點的函數(shù)值，從而使該函數(shù)更加精準。

3 關(guān)于Michalik 連分式插值的擴展算法

Michalik 在1983 年為了尋找在物理學(xué)中的一些非線性方程組的數(shù)值算法，從而創(chuàng)造性地建立了系數(shù)函數(shù)的遞推格式，首次提出Michalik 連分式插值算法。即在一些有極限的情況之下，當(dāng)它們所有節(jié)點都等同的時候，插值函數(shù)就轉(zhuǎn)換成了在這些插值節(jié)點附近的連分式的展開。

對于任意非零的實值函數(shù)f(x)及其對應(yīng)的函數(shù)表x0，x1，…，xn，f(x0)，f(x1)，…，f(xn)，首先將該函數(shù)描述成以下形式：

將函數(shù)表中的第一個點代入，得到

若上述函數(shù)的乘積存在，則下述極限存在：

則插值連分式誤差計算公式

插值連分式的特征定理為：

設(shè)點集X={x0,x1,,xn},n=2m-1，且函數(shù)有水平漸進線，即，則Michalik 連分式插值函數(shù)為:

加一點xn+1，已知，則設(shè)定的擴展連分式插值函數(shù)的極限也為A，根據(jù)則能夠求出φ[x0,x1,…,xn+1]的值。利用連分式插值的三項遞推公式求解出f(xn+1)的值，則可以確定構(gòu)造出的新的插值節(jié)點和連分式插值函數(shù)。然后給出不同的插值節(jié)點進行比較，得出最優(yōu)的插值節(jié)點及插值函數(shù)。

4 數(shù)值例子

根據(jù)上述理論研究，給出如下的數(shù)值例子，從而驗證該方法的有效性和實用性。

該函數(shù)圖像如圖1。根據(jù)該被插值函數(shù)圖像，我們可以看出當(dāng)x趨于無窮大時，f(x)有極限為1。利用一般公式計算出連分式插值為：

可以計算出其誤差函數(shù)圖像如圖2 所示。關(guān)于Michalik 連分式插值的擴展算法如下：

加一個點(x4,f4)，x4=9，計算擴展連分式插值，則可以列出公式：

由公式可以求出φ[x0,…,x4]=0.007 640 9，然后根據(jù)三項遞推公式計算出f(xn+1)的值。從而計算出的擴展Michalik 連分式插值函數(shù)為：

圖1 f(x)=的圖像

圖2 一般連分式插值函數(shù)誤差圖

其誤差函數(shù)圖像如圖3 所示。

由兩種連分式方法所得出的誤差函數(shù)圖像可以明顯看出：隨著自變量的增加，一般連分式方法誤差逐漸增加，而本文中的擴展Michalik 連分式算法所計算出的函數(shù)隨著x的增加，誤差反而逐漸變小，這就表明了該擴展方法的有效性。

下面對兩種連分式插值函數(shù)做積分，積分區(qū)間為x∈[1.1,10.9]:

圖3 擴展Michalik 連分式插值函數(shù)誤差圖像

顯然，上述例子的比較驗證了一個結(jié)論：加一個插值節(jié)點的擴展Michalik 連分式插值方法得出的函數(shù)誤差會較小，使給出的連分式插值更加準確，因此該方法更加有效，具有可行性。

5 小結(jié)

本文首先將原有的插值節(jié)點進行一般的連分式插值算法，然后通過加一個插值節(jié)點，進行擴展Michalik 連分式算法，并將偶數(shù)個節(jié)點化為奇數(shù)個節(jié)點，使連分式插值的分子次數(shù)比分母次數(shù)高一次。然后通過添加不同的插值節(jié)點，給出不同的節(jié)點值，比較驗證得出更加精確的擴展的插值函數(shù)。通過確定其增加的插值節(jié)點，使給出的Michalik 連分式更加趨近于原來給出的函數(shù)。這種方法使擴展的連分式插值誤差比原來更小，連分式插值算法更加準確，提高了精確度。這是一種可行的有效插值方法，對插值計算和誤差估計有重要的影響和推動作用。