馬氏瓶回流原理分析1)

姚仰平 陳 偉 陳 含

(北京航空航天大學交通科學與工程學院，北京100083)

馬氏瓶是一種能提供恒定水頭和恒定流速的裝置，它以法國物理學家Edme Mariotte 的名字命名[1]。在試驗和生活中被廣泛應用，例如作為自動補水裝置為水面蒸發(fā)儀提供恒定水位，在地下水均衡場的入滲儀中作為計量裝置計算入滲量[2]，在實驗室經(jīng)常用于穩(wěn)定供水和量測[3]。

馬氏瓶構造簡單實用，但學者們對于馬氏瓶工作原理的研究較少，僅有的研究集中在馬氏瓶恒定水頭補水的基礎上[4-5]。對于馬氏瓶出水口發(fā)生回水的逆過程未有研究，筆者在試驗過程中這種情況時有發(fā)生。

為了收集覆蓋層下鍋蓋效應生成的水，筆者進行了鍋蓋效應取水試驗，其中鍋蓋效應是指冬季土中的水氣在溫度梯度作用下向上遷移，在道面覆蓋層下的低溫區(qū)冷凝或凝華，導致覆蓋層下水分聚集的現(xiàn)象[6-13]。試驗中利用馬氏瓶作為補水裝置給土樣提供恒定水位。土樣經(jīng)升溫后覆蓋層下冷凝水和凝華冰融化成液態(tài)水流下，使水面高于馬氏瓶控制的水位，導致馬氏瓶發(fā)生了回流，部分融化的液態(tài)水回流到了馬氏瓶內(nèi)，造成了損失，為了研究有多少液態(tài)水發(fā)生了回流，以獲知試驗中實際生成液態(tài)水的量，本文對馬氏瓶的回流原理進行了相關研究。

1 馬氏瓶恒定水頭原理

如圖1 所示，馬氏瓶與試筒相連，左側(cè)為馬氏瓶：圖中1○為馬氏瓶瓶身。2○為進氣管，馬氏瓶供水時外界空氣從進氣管進入瓶內(nèi)空腔，馬氏瓶水量不足時作為注水口給馬氏瓶補充水。3○為帶有閥門的出氣管，馬氏瓶正常工作時閥門關閉。閥門打開時有兩個作用，一是在給馬氏瓶補充水時，打開閥門用來平衡氣壓出氣，二是需要將馬氏瓶作為普通連通器使用時打開閥門平衡氣壓，平衡液面為瓶內(nèi)液面。4○為出水口，用來給試筒補水。右側(cè)為與馬氏瓶出水口相連的試筒，試筒上端開口，筒中的水位可由馬氏瓶調(diào)節(jié)。當試筒中水面低于馬氏瓶進氣管底端時，進氣管底端氣體壓強小于試筒中水面氣體壓強，即小于一個大氣壓，馬氏瓶將開始給試筒補水，同時進氣管底端逸出氣泡上升到水面上部空腔進行補氣[14-15]，氣體補充的體積即為出水口流出水的體積；隨著補水的進行，試筒中水面逐漸上升，當水面上升到與進氣管底端平齊時，馬氏瓶停止補水，此時進氣管底端氣體壓強為一個大氣壓[16]，達到平衡狀態(tài)。在試筒中的水由于蒸發(fā)作用而減少時，導致水位低于進氣管底端，進氣管底端氣體壓強將再次低于大氣壓，馬氏瓶繼續(xù)為試筒補水，使水位不斷趨近進氣管底端直到平齊，達到恒定水頭補水的目的。

圖1 與試筒相連的馬氏瓶

2 馬氏瓶回流原理分析

如圖2(a)所示，馬氏瓶與試筒達到初始平衡狀態(tài)。若模擬鍋蓋效應生成水的下落過程，給試筒中添加一定量水使水面高于進氣管底端，發(fā)現(xiàn)馬氏瓶將開始回水，回流的水不僅進入進氣管，也將回流到馬氏瓶內(nèi)，如圖2(b)所示。其添加的水量Va包括三部分：留在試筒內(nèi)的水Vb、回流到馬氏瓶內(nèi)的水Vc、進氣管中水柱Vd。三者滿足關系式

而且發(fā)生回流時進氣管中水柱始終與試筒中水面同高，因為兩者液面直接與大氣接觸，液面氣壓相同，且水流之間的通道連通，類似于U型管結構。

圖2 引起馬氏瓶回流的水量組成

如圖3 所示，圖3(a)為馬氏瓶初始平衡狀態(tài)，圖3(b)為馬氏瓶回流后達到穩(wěn)定狀態(tài)，由圖3(a)中的平衡狀態(tài)加水回流后實現(xiàn)。p1和p2分別為兩種狀態(tài)下馬氏瓶內(nèi)氣體壓力，V1和V2為兩種狀態(tài)下的氣體體積，由理想氣體方程

式中，p為指理想氣體的壓強，V為理想氣體的體積，n為氣體物質(zhì)的量，T為理想氣體的熱力學溫度，R為理想氣體常數(shù)。無論馬氏瓶進氣管水柱多高，均沒有氣體進入馬氏瓶，故n恒定，所以上式右端為定值。可知馬氏瓶在兩種狀態(tài)下有等式兩端同時除以馬氏瓶橫截面面積，有

其中

式中，pA為標準大氣壓；Z1是馬氏瓶初始平衡狀態(tài)時瓶內(nèi)空腔的高度(cm)；h1為該狀態(tài)下水面到進氣管底端的距離(cm)，可認為是馬氏瓶的初始水位；Z2是馬氏瓶回流后瓶內(nèi)空腔的高度(cm)；h2為該狀態(tài)下進氣管中水柱高度(cm)；由于進氣管中水柱與試筒中水面同高；也可用h2表示試筒中相對水位；h3為馬氏瓶回流后水面到進氣管底端的距離(cm)[17]。如圖3所示。

圖3 兩種馬氏瓶穩(wěn)定狀態(tài)

式(5)～式(6)的等號兩端同時除以ρg，用水頭表示壓力

式中1034 表示為1 個大氣壓的水頭高度，式中高度單位均為cm。將式(7)代入式(4)得到

即馬氏瓶中回流水量高度為

可用式(9)計算回流到馬氏瓶內(nèi)的水量。由式(1)可知引起馬氏瓶回流所添加的水量為

式中，s1為馬氏瓶內(nèi)截面積(cm2)，s2為進氣管內(nèi)截面積(cm2)，s3為試筒內(nèi)截面積(cm2)，式(10)中忽略了馬氏瓶進氣管的壁厚，將式(9)代入式(10)中可得

式(11)即為引起馬氏瓶回流所添加水量的計算式。從上述推導過程可以看出，馬氏瓶發(fā)生逆向回流時，馬氏瓶內(nèi)水量增加，水面上部氣體壓強增大，空腔體積被壓縮，壓縮的體積由回流的水量補充。由式(9)和式(11)可知馬氏瓶回流水量高度與馬氏瓶初始水位h1、水面上部空腔高度Z1與試筒中相對水位h2及h3有關，而引起回流所添加的水量除與上述因素有關外，還與馬氏瓶、進氣管、試筒的截面積有關。

對于同一個馬氏瓶和試筒，上式中的自變量為馬氏瓶初始水位h1、水面上部空腔高度Z1、試筒相對水位h2和h3，因為h3可由h1，h2和Z1決定(由h3-h1等于式(9)可得)，Z1由h1決定，所以實際的自變量為馬氏瓶初始水位h1和試筒相對水位h2。以上參量都可以從馬氏瓶上直接獲取，可知僅通過觀測馬氏瓶就可以計算得到引起馬氏瓶回流所添加的水量。另外可以發(fā)現(xiàn)當馬氏瓶初始水位恒定，即h1和Z1不變時，試筒中相對水位h2越高，進氣管中水柱越高，h3-h2越小，馬氏瓶內(nèi)回流水量越多，引起回流所添加的水量也越大。

當馬氏瓶初始水位h1恒定時，式(11)中的Va只隨試筒中相對水位h2變化，兩者之間的變化規(guī)律如圖4所示。

圖4 Va 和h2 的變化關系

由圖4 可知，Va與h2基本成線性關系，因為Va等于回流的水Vc+Vd與留在試筒中的水Vb之和，且Vb=h2·s3，即Vb與h2成線性關系，因此Vc+Vd與h2基本成線性關系。

因為回流的水Vc+Vd相對Va一般較小，若不考慮回流的水，將Va近似等于留在試筒中的水Vb，用V′a 表示，即

Va與V′a 之間有一個回流水Vc+Vd的誤差，兩者之間的相對誤差用δ表示由上述分析可知：對于同一個馬氏瓶和試筒，在馬氏瓶初始水位h1恒定時，此時式(11)只有一個自變量h2，且Va與h2基本成線性關系，又有Vc+Vd與h2基本成線性關系，因此上式中的相對誤差δ基本為一個穩(wěn)定值，可認為相對誤差δ基本和h2無關。

當馬氏瓶中的初始水位h1變化時，相對誤差δ也將隨之變化，在馬氏瓶初始水位h1減小時，回流水Vc+Vd將變大，則相對誤差δ將變大；若馬氏瓶初始水位h1增大時，回流水Vc+Vd將變小，則相對誤差δ將變小。因為回流到瓶內(nèi)的水是依靠壓縮瓶內(nèi)空腔體積得以進入瓶內(nèi)，馬氏瓶初始水位h1越低，瓶內(nèi)空腔體積越大，相同壓力水頭下可壓縮氣體的量越大，這樣就可以留出更多的空間接收回流水，Vc+Vd也將變大，反之亦然。

3 試驗分析及驗證

為了驗證式(11)的適用性及進一步探究馬氏瓶回流原理，本文設計了兩組馬氏瓶逆向回流試驗，采用圖3 中的試驗裝置，通過改變馬氏瓶初始水位h1、給試筒添加水改變試筒中相對水位h2，探究馬氏瓶中回流水量變化。兩組試驗均采用同一個馬氏瓶和試筒，即s1，s2和s3不變，試驗中s1=63.6 cm2，s2= 0.28 cm2，s3= 706.8 cm2。因為在試驗過程中試筒中相對水位始終高于或等于馬氏瓶進氣管底端，將進氣管底端水平高度處的水位取為0。第一組試驗初始條件為Z1=16.5 cm，h1=6 cm；第二組試驗初始條件為Z1=6.5 cm，h1=16 cm。兩組試驗的試驗結果和計算結果如表1和表2所示。

表1 第一組試驗結果及計算結果

表2 第二組試驗結果及計算結果

表中馬氏瓶內(nèi)回流的水量Vc可由式(9)計算，添加水計算值由式(11)計算。由圖5 對比試驗得到的引起回流實際添加水和計算添加水，可知兩者保持一致，說明公式具有適用性。試驗中試筒的水量由觀測得到，是主要的誤差來源。

圖5 添加水的實際值與計算值對比

引起回流添加的水主要為試筒中的水，回流到馬氏瓶內(nèi)和進氣管中的水很少，但依然不能忽略，且補充的水量越大，總的回流的水越多。由第一組(或第二組)試驗可知，當馬氏瓶初始水位一定時，給試筒添加的水量越多，試筒中水位越高，回流到馬氏瓶內(nèi)和進氣管中的水量越大。

在第一組試驗中，觀察不同添加水量下Vc+Vd與Va的值，可知總的回流水Vc+Vd占比總添加水Va的比值基本為一個穩(wěn)定值，為0.18%左右。在第二組試驗中，Vc+Vd與Va的比值基本為0.10%左右，比值變小的主要原因是回流到馬氏瓶內(nèi)的水變小了。對比第一組和第二組試驗可知，當添加水量一定時，馬氏瓶初始水位越低，回流到馬氏瓶內(nèi)的水量越大，而回流到進氣管中的水基本不變，進而導致Vc+Vd與Va的比值越大。

對于不同的馬氏瓶，s1，s2和s3不同，其最終結果也不一樣，如果s1比較大，即馬氏瓶截面積較大時，回流到馬氏瓶內(nèi)的水的占比將更大，Vc+Vd與Va的比值也將更大。若s3較大，即試筒截面積較大時，回流到馬氏瓶內(nèi)的水的占比將更小，Vc+Vd與Va的比值也將更小。

由上述分析可知，采用馬氏瓶控制恒定水頭只能正向補水，一旦試筒中的水由于外界干擾高過馬氏瓶進氣管底端，就會造成回流，將無法提供恒定水頭，進而導致馬氏瓶失靈，若仍需用馬氏瓶也可以，可用文中公式求得馬氏瓶回流水量，以及引起馬氏瓶回流所添加的水量。

4 結論

筆者在進行鍋蓋效應取水試驗時發(fā)現(xiàn)融化產(chǎn)生的液態(tài)水引起了馬氏瓶回流，落下的液態(tài)水有少量進入了馬氏瓶，為了獲知試驗中實際生成液態(tài)水的量，本文對馬氏瓶的回流原理進行了相關研究，得出如下結論。

(1)馬氏瓶和試筒達到初始平衡狀態(tài)后，給試筒添加一定量水引起馬氏瓶回流，所添加的水量包括三部分：留在試筒內(nèi)的水、回流到馬氏瓶內(nèi)的水、進氣管中的水。

(2)通過馬氏瓶的兩種平衡狀態(tài)推導出引起馬氏瓶回流所添加水量的計算式，可知，僅通過觀測馬氏瓶就可以計算得到引起馬氏瓶回流所添加的水量。對馬氏瓶展開回流試驗，將試驗結果和計算結果對比，發(fā)現(xiàn)實際值與計算值保持一致。

(3)馬氏瓶發(fā)生逆向回流時，回流的水不僅進入馬氏瓶進氣管，也會進入馬氏瓶內(nèi)，回流到瓶內(nèi)的水將壓縮水面上部的空氣，使瓶內(nèi)空腔體積減小，氣體壓強增大。在回流過程中，進氣管中的水柱始終與試筒中的水面同高。當添加水量一定時，馬氏瓶的初始水位越低，回流到馬氏瓶內(nèi)的水量將越大。