一題多解：基于概念教學(xué)的應(yīng)用技巧

江蘇省南京市華電中學(xué) 張 寧

一題多解，就是根據(jù)不同思維，運用不同方法，解決相同習(xí)題或得到同一道習(xí)題的答案，這是解答數(shù)學(xué)習(xí)題常用的手段。一題多解的價值不僅僅在于解決習(xí)題答案本身，更多的還體現(xiàn)在提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，開展合作學(xué)習(xí)，開發(fā)學(xué)生的智力，激發(fā)學(xué)生的思維，從而提高學(xué)生的認(rèn)知與解決問題的能力。數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式，在該類對象的范圍內(nèi)具有普遍意義。而數(shù)學(xué)概念教學(xué)則是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，通過數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，還可以延伸或拓展數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，更加理性地了解概念的表述、分類，從而在概念系統(tǒng)中進(jìn)一步提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知。

一題多解與概念相結(jié)合的運用可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維、興趣的發(fā)展以及對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，這無疑對數(shù)學(xué)教學(xué)以及提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有很高的價值。為此，我們以一道幾何證明題為例，進(jìn)一步分析一題多解和概念教學(xué)的過程。

求證：△ABC為直角三角形。

∴AD=BD=CD，

∴△DAC和△DBC都是等腰三角形，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB，

∴∠A+∠B=∠ACD+∠DCB=∠ACB。

在△ABC中， ∠A+∠B+∠ACB=180°，

∴∠ACB=90°，∴△ABC為直角三角形。

這種解法用到了三角形內(nèi)角和定理。

證法二：如圖2，作DE⊥BC，E為垂足，故∠DEB=90°，

∴△ 和△ 都是等腰三角形，

∴∠A=∠ACD,∠CDE=∠BDE，∠A+∠ACD=2 ∠A。

而∠BDC=∠BDE+∠CDE=2 ∠BDE，又∠BDC=∠A+∠ACD，

∴2 ∠A=2 ∠BDE, 即∠A=∠BDE，∴AC∥DE,

∴∠ACB=∠DEB=90°，

∴△ 為直角三角形。

這種解法用到了等腰三角形三線合一、三角形外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和及平行線的判定。

證法三：如圖3，延長CD到點E，使DE=DC，連接AE和BE。

∵AD=BD，

∴四邊形ACBD為平行四邊形。

∴CE=AB,故平行四邊形ACBE為矩形，

∴∠ACB=90°，∴△ABC為直角三角形。

這種解法用到的方法是添補(bǔ)、構(gòu)造平行四邊形，用到了平行四邊形的判定及矩形的判定。

∴AB是以D點為圓心，AD為半徑的圓O的直徑，

故∠ACB=90°，

∴△ABC為直角三角形。

這種解法用到的方法是構(gòu)造圓，用到的概念有圓的定義、圓周角性質(zhì)。

對一道幾何題多種證法的分析不難發(fā)現(xiàn)，熟練運用概念是學(xué)生學(xué)好幾何知識的關(guān)鍵。我們可以看出，一題多解盡管不斷地改變解題方法，不斷體現(xiàn)了思維的多變，但解題的本質(zhì)屬性卻沒有變，借此解題過程可以幫助學(xué)生打破僵化的局限于“標(biāo)準(zhǔn)”的思維模式，從而在概念的理解上避免片面化，這樣學(xué)生就能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，準(zhǔn)確理解概念。

當(dāng)然，幾何概念是幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，幾何概念的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及邏輯思維能力和空間觀念的重要一環(huán)，同時我們必須清楚，如何講透概念，對老師來說又是一個難點，因此還需要我們每一位教師進(jìn)一步深入探索才能不斷突破。