基于“三級水平”的“條件概率”教學(xué)

顧彥瓊

摘要：基于知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新三級水平設(shè)計“條件概率”的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生分析條件概率概念的要素和特征，通過不同的方式推導(dǎo)（詮釋）條件概率公式，認(rèn)識條件概率公式與其他概率計算公式的聯(lián)系與區(qū)別;提煉運(yùn)用條件概率解決問題的基本模型，積累運(yùn)用條件概率解決問題的活動經(jīng)驗(yàn);合作探究解決開放性、生活化的問題，通過基本問題的推廣與變式得到經(jīng)典的“三門問題”。

關(guān)鍵詞：條件概率知識理解知識遷移知識創(chuàng)新

喻平教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的本源是知識，其發(fā)展要經(jīng)過知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三個階段（三級水平）?！皸l件概率”是高中數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計”主題的重點(diǎn)內(nèi)容之一?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中有關(guān)“隨機(jī)事件的條件概率”的教學(xué)要求是：“結(jié)合古典概型，了解條件概率，能計算簡單隨機(jī)事件的條件概率……了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系……會利用乘法公式計算概率……會利用全概率公式計算概率。了解貝葉斯公式。”“條件概率”內(nèi)容比較抽象，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。而一些教師在教學(xué)中，只關(guān)注概念和公式的識記以及簡單題型的套用，導(dǎo)致學(xué)生沒有很好地掌握這部分知識，對這部分知識的綜合應(yīng)用感到畏懼。對此，筆者嘗試基于知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新三級水平設(shè)計“條件概率”的教學(xué)。

一、基于“知識理解”水平

知識理解的基本含義是指對知識的要素、本質(zhì)、類屬及與其他知識的聯(lián)系的理解，包括“是什么”和“為什么”兩個層面。知識理解既是一個過程，即利用已有經(jīng)驗(yàn)和已學(xué)知識同化或順應(yīng)新知識的過程;又是一種結(jié)果，即對新知識的把握和領(lǐng)悟。

分析條件概率概念的要素和特征，是理解條件概率的前提。條件概率P（A|B）的內(nèi)涵包含三個要素：事件A、事件B和條件關(guān)系。事件A的特征在于它的隨機(jī)性，即還未發(fā)生;事件B的特征在于它的確定性，即已經(jīng)發(fā)生;而條件關(guān)系的特征在于其表達(dá)方式的靈活多樣性，在許多場合是由一個顯明的條件結(jié)構(gòu)表示的，如“已知……的條件下，求……的概率”。

通過不同的方式推導(dǎo)（詮釋）條件概率公式，能更加深入地理解條件概率。條件概率公式的推導(dǎo)（詮釋）可以從形和數(shù)兩個角度展開。

形的角度比較直觀，應(yīng)該首先引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)：如圖1，用整個矩形（面積為1）來表示樣本空間Ω（隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果），用矩形內(nèi)任意封閉曲線圍成的圖形表示事件，把圖形的面積理解為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若圈A、B的面積分別表示事件A、B發(fā)生的概率P（A）、P（B）（AΩ，BΩ），則陰影部分的面積表示事件A、B同時發(fā)生的概率P（AB）。根據(jù)條件概率的定義，就是局限于已發(fā)生的事件B的范圍來考察未發(fā)生的事件A發(fā)生的概率，而因?yàn)樵谑录﨎發(fā)生的情況下，若事件A發(fā)生，則事件A、B同時發(fā)生，所以，就相當(dāng)于考察陰影部分的面積在圈B的面積中所占的比例，所以P（A|B）=P（AB）P（B）。

然后，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度詮釋：對于古典概型，局限于已發(fā)生的事件B的范圍來考察未發(fā)生的事件A發(fā)生的概率，就相當(dāng)于考察事件AB包含的基本事件數(shù)在事件B包含的基本事件數(shù)中所占的比例，因此P（A|B）=n（AB）n（B）。分子、分母同時除以樣本空間包含的事件總數(shù)n（Ω），所以P（A|B）=n（AB）n（B）=n（AB）n（Ω）n（B）n（Ω）=P（AB）P（B）。

認(rèn)識條件概率公式與其他概率計算公式的聯(lián)系與區(qū)別，可以進(jìn)一步深化理解各個概率計算公式的特點(diǎn)以及使用條件。

首先，由條件概率公式P（A|B）=P（AB）P（B），可得P（AB）=P（B）P（A|B），這就是乘法公式。條件概率公式和乘法公式說明，P（A|B）與P（AB）可以相互表示。進(jìn)而，可以讓學(xué)生辨析P（A|B）與P（AB）的聯(lián)系與區(qū)別：都是事件A、B同時發(fā)生，但前者是在事件B已發(fā)生的條件下，后者則沒有這個條件。

其次，若把樣本空間Ω劃分為n個子空間Bi（i=1，2，…，n），則由乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）可得P（AΩ）=P（A）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi），這就是全概率公式。若把全概率公式中的A視為“果”、Bi視為“因”，則全概率公式反映“由因求果”的概率問題;其中的P（Bi）是根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)得到的，所以被稱為先驗(yàn)概率。

最后，把P（A|B）和P（B|A）兩個條件概率公式結(jié)合起來，可以得到P（B|A）=P（B）P（A|B）P（A），而將其全概率化，可以得到P（Bi|A）=P（Bi）P（A|Bi）P（A）=P（Bi）P（A|Bi）∑nj=1P（Bj）P（A|Bj），這就是貝葉斯公式。相對地，貝葉斯公式反映“執(zhí)果溯因”的概率問題，即在結(jié)果A已發(fā)生的情況下，尋找原因Bi;其中的P（Bi|A）是得到“信息”A后求出的，所以被為后驗(yàn)概率。

綜合來看，全概率公式與貝葉斯公式是條件概率公式和乘法公式的復(fù)雜化，是計算復(fù)雜事件概率的重要工具;先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率有著不可分割的聯(lián)系，后驗(yàn)概率的計算是以先驗(yàn)概率為基礎(chǔ)的，即計算P（Bi|A）要用到P（A），而計算P（A）要用到P（Bi）。

二、基于“知識遷移”水平

知識遷移是指把理解的知識（形成的基本技能）遷移到不同的情境中去，促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)或不同情境中問題的解決。這些情境包括現(xiàn)實(shí)情境、學(xué)科內(nèi)部問題情境、跨學(xué)科問題情境。

基本理解了條件概率的概念和公式后，要把它應(yīng)用到各種問題情境中。對此，一方面，可以通過一些相對簡單的問題，引導(dǎo)學(xué)生提煉運(yùn)用條件概率解決問題的基本模型，通過概括性提升學(xué)生的遷移運(yùn)用和問題解決能力。

例1有一批種子的發(fā)芽率為0.9，成活率為0.72，則種子發(fā)芽后幼苗成活的概率為。

例2一個盒子中裝有4只產(chǎn)品，其中3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取1只，不放回，則在第一次取到一等品的條件下第二次取到一等品的概率為。

由這兩道題的解決，可以引導(dǎo)學(xué)生提煉出運(yùn)用條件概率解決問題的兩個基本模型，即直接利用公式P（B|A）=P（AB）P（A）和縮小基本事件范圍利用P（B|A）=n（AB）n（A）。

另一方面，可以提供更現(xiàn)實(shí)、更復(fù)雜的問題情境，幫助學(xué)生積累運(yùn)用條件概率解決問題的活動經(jīng)驗(yàn)，獲得類比遷移的固著點(diǎn)，從而提升遷移運(yùn)用和問題解決的能力。具體來說，可以引入與學(xué)生生活息息相關(guān)的性別問題、天氣問題等。

例3（性別問題）假定男女出生率一樣，在有兩個孩子的家庭中隨機(jī)選取一個家庭。

（1）求其有一個男孩、一個女孩的概率;

（2）若預(yù)先知道選取的家庭至少有一個女孩，求其有一個男孩、一個女孩的概率。

例4（天氣問題）一周的天氣情況如表1所示，求在預(yù)報有雨的條件下實(shí)際也下雨的概率。

星期日一二三四五六預(yù)報晴陰雨雨雨晴雨實(shí)際晴雨陰雨雨晴晴三、基于“知識創(chuàng)新”水平知識創(chuàng)新的一層含義是指能夠解決一些非常規(guī)的開放性問題（或者說“結(jié)構(gòu)不良問題”），或者生成超越教材規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識，或者通過推廣與變式得到新的問題;另一層含義是指能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光和思維看待和處理一些現(xiàn)實(shí)生活中的問題。這里的“創(chuàng)新”是相對于學(xué)生而言的，需要學(xué)生以參與者而非旁觀者的身份介入學(xué)習(xí)，以自我“發(fā)現(xiàn)”獲得知識、解決問題，融入或形成自己的觀點(diǎn)、意見、思想。

“條件概率”的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生合作探究，解決一些非常規(guī)的開放性問題，或者運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光和思維看待和處理一些現(xiàn)實(shí)生活中的問題。例如，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會上普遍存在的“讓孩子贏在起跑線上”的焦慮感和“爭相讓子女入讀名牌幼兒園”的現(xiàn)象，提出“是否贏在起跑線上，入讀名牌幼兒園，才能贏到最后？”的問題，通過網(wǎng)絡(luò)上公開的升學(xué)率數(shù)據(jù)，運(yùn)用條件概率的知識，得出在名牌幼兒園和普通幼兒園學(xué)習(xí)對進(jìn)入大學(xué)的影響的有關(guān)結(jié)論。由此，不僅可以增加學(xué)生對社會的認(rèn)識，還可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和理性精神。

還可以引導(dǎo)學(xué)生通過推廣與變式得到新的問題。例如，將例3演變?yōu)榻?jīng)典的“三門問題”：游戲節(jié)目中，參賽者會看見三扇關(guān)閉的門，其中一扇后面有一輛汽車，另外兩扇后面各有一只山羊;參賽者隨機(jī)選中一扇門，如果該門后面有汽車，則參賽者可贏得該汽車;當(dāng)參賽者選定一扇門后，主持人先不開啟它，而開啟剩下兩扇門中的一扇，露出其后的山羊，然后問參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)著的門。對此，可以借助條件概率公式或全概率公式，得到“換另一扇門會增加贏得汽車的概率，所以要換”的結(jié)論。如果學(xué)生不能理解這一似乎有悖常識或直覺的結(jié)論，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將其極端化，推廣為“100門問題”：參賽者選定一扇門后，主持人開啟剩下99扇門中的98扇，露出其后的山羊，那么參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)著的門？進(jìn)而，幫助學(xué)生獲得肯定的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

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