基于分?jǐn)?shù)階憶阻器的4D-Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)分析

丁大為 江麗 胡永兵 楊宗立

基于分?jǐn)?shù)階憶阻器的4D-Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)分析

丁大為1,2江麗1胡永兵1楊宗立1

（1.安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院，安徽合肥，230039；2. 安徽大學(xué)農(nóng)業(yè)生態(tài)大數(shù)據(jù)分析與應(yīng)用技術(shù)國家地方聯(lián)合工程研究中心，安徽合肥，230000）

憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是研究人腦行為的一種重要模型。研究人員運(yùn)用Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義，將整數(shù)階雙曲型憶阻器推導(dǎo)至分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻器，同時(shí)驗(yàn)證了它的憶阻特性，并且提出了分?jǐn)?shù)階憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。對(duì)該模型的平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性的理論分析，表明了系統(tǒng)具有多個(gè)平衡點(diǎn)的特點(diǎn)。此外，運(yùn)用Adams–Bashforth–Moulton算法對(duì)所提出的分?jǐn)?shù)階憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行的相圖及時(shí)域圖的數(shù)值仿真，揭示了在不同耦合強(qiáng)度、不同分?jǐn)?shù)階階次下系統(tǒng)展現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

雙曲型憶阻器；分?jǐn)?shù)階；Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；動(dòng)力學(xué)行為；數(shù)值仿真

引言

相較于電阻器、電感器以及電容器而言，被稱為第四基本電路元件的憶阻器的特點(diǎn)是能夠記住流經(jīng)它的歷史特性，同時(shí)這也是憶阻器名字的由來[1]。自憶阻器被惠普實(shí)驗(yàn)室研究出來，憶阻器便成為了研究的熱門。直到今天，憶阻器在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究中也占領(lǐng)著重要的地位[2]。

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有類似人腦的信息儲(chǔ)存功能，因此Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被列為研究人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要的模型之一[3]。近年來，隨著Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在科學(xué)理論和工程應(yīng)用中的廣泛使用，憶阻器在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的作用也愈加顯著。因此，研究憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)當(dāng)下和未來的科學(xué)發(fā)展都具有相當(dāng)重要的意義[4]。

相較于整數(shù)階的微積分而言，在系統(tǒng)中引入分?jǐn)?shù)階微積分會(huì)更準(zhǔn)確地描述實(shí)際系統(tǒng)的特性[5]。同時(shí)，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分中存在記憶項(xiàng)，這使得分?jǐn)?shù)階微積分被認(rèn)為是描述遺傳和記憶特征極好的工具[6]。而憶阻器及Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也有記憶存儲(chǔ)的功能，那么將分?jǐn)?shù)階微積分與憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合在一起，將有可能更大程度上地提高記憶特性及信息處理效率[6]。

本研究的主要內(nèi)容是將整數(shù)階雙曲型憶阻器拓展至分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻器，并且引入到Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成了憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并分析了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性。通過系統(tǒng)相圖數(shù)值仿真，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)進(jìn)行研究，其組織結(jié)構(gòu)如下：第一部分介紹了Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義、分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性判定方法以及雙曲型憶阻器的模型，從而推出分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻器，進(jìn)而構(gòu)造出分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)；第二部分分析了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性；第三部分通過相圖和時(shí)域圖的數(shù)值仿真，分析了耦合強(qiáng)度與分?jǐn)?shù)階階次對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要影響。

1 分?jǐn)?shù)階憶阻FNN模型

1.1 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義如下：

引理1[8]如果平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣的任一特征值滿足

這意味著系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

1.2 雙曲型憶阻器模型

雙曲型憶阻器的本構(gòu)關(guān)系[9]如下：

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義，推導(dǎo)出的分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻器的模型如下，

考慮電壓源為正弦電壓源，和分別表示激勵(lì)的振幅和頻率。運(yùn)用Adams–Bashforth–Moulton（ABM）算法進(jìn)行數(shù)值仿真，取憶導(dǎo)函數(shù)中，，并且令。當(dāng)振幅保持不變時(shí)，設(shè)置頻率分別為500、1、2,可得電流與電壓的關(guān)系()曲線如圖1(a)所示；當(dāng)頻率保持不變，設(shè)置振幅分別為1、2、3，可得曲線如圖1(b)所示。

1.3 分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻FNN

新型的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型[10]可用矩陣的形式表示，

2 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析

令（8）式左邊為0，如下所示：

因此，以為例，繪制了等式(11)給出的兩條函數(shù)曲線，如圖2所示，紅色代表曲線，藍(lán)色代表，則三個(gè)交點(diǎn)確定的分別為，，，，，。

根據(jù)以下方程可以進(jìn)一步求得系統(tǒng)的特征值：

其中，

表1 不同值下的非零平衡點(diǎn)、特征值以及穩(wěn)定性（）

3 數(shù)值模擬

3.1 耦合強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

圖3 在不同耦合強(qiáng)度下平面相圖的數(shù)值仿真

從圖3的相圖可以看出，由于耦合強(qiáng)度的不同，系統(tǒng)在不穩(wěn)定狀態(tài)下表現(xiàn)出周期或者混沌的現(xiàn)象，這與上文在不同的耦合強(qiáng)度下系統(tǒng)將會(huì)表現(xiàn)出不同的穩(wěn)定性的理論分析相呼應(yīng)，并且這也體現(xiàn)出在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中突觸重量影響著大腦的神經(jīng)活動(dòng)。

3.2 分?jǐn)?shù)階階次對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

圖4 在不同分?jǐn)?shù)階階次下平面相圖和相應(yīng)的時(shí)域圖的數(shù)值仿真

4 結(jié)論

本研究提出了一個(gè)分?jǐn)?shù)階雙曲型憶阻器的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并在理論和數(shù)值模擬上對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行研究。針對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性的理論研究表明：該系統(tǒng)具有多個(gè)平衡點(diǎn)，并且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與耦合強(qiáng)度有關(guān)。相圖和時(shí)域圖的數(shù)值仿真結(jié)果表明：在不同的耦合強(qiáng)度與不同的分?jǐn)?shù)階階次下，該系統(tǒng)在不穩(wěn)定的狀態(tài)下不僅存在不同的混沌狀態(tài)，而且還存在周期狀態(tài)。

[1] 王春華,藺海榮,孫晶如,等. 基于憶阻器的混沌、存儲(chǔ)器及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路研究進(jìn)展[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2020,42(4):795-810.

[2] 王小平,沈軼,吳計(jì)生,等. 憶阻及其應(yīng)用研究綜述[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2013,39(8):1170-1184.

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[10] Njitacke Z T , Kengne J . Nonlinear Dynamics of Three-Neurons-Based Hopfield Neural Networks (HNNs): Remerging Feigenbaum Trees, Coexisting Bifurcations and Multiple Attractors[J]. Journal of Circuits, Systems and Computers, 2019,28(7):1950121.1-1950121.27.

Dynamical Analysis on 4D-Hopfield Neural Network Based on a Fractional-order Memristor

DING Dawei1,2& JIANG Li1& HU Yongbing1& YANG Zongli1

The memristive Hopfield neural network is an important model for studying human brain behavior. Researchers pushed the theory of hyperbolic-type memristor from integer-order to fractional-order by use of the Caputo fractional-order differential definition, and verified its memristive characteristics. On this basis, the fractional-order memristive Hopfield neural network is proposed. The theoretical analysis on the equilibrium point and stability of this network presented that the network has multiple equilibrium points. Meanwhile, the numerical simulation of the phase diagrams and time domain figures of the fractional-order memristive Hopfield neural network by means of Adams–Bashforth–Moulton method reveals that the complex dynamic behavior of the system in different coupling strength and fractional orders.

hyperbolic-type memristor; fractional-order; Hopfield neural network; dynamic analysis; numerical simulation.

TP183

A

1009-1114（2020）03-0001-06

2020-04-29

丁大為（1977.9—），安徽蕪湖人，博士，安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院教授、碩士生導(dǎo)師，國家自然科學(xué)基金通訊評(píng)審專家，研究方向?yàn)榉蔷€性電路、憶阻混沌系統(tǒng)、無線通信及通信仿真等。

文稿責(zé)編 濮榮強(qiáng)