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    多關(guān)節(jié)機(jī)器人的反步法控制及仿真研究

    2020-03-13 20:58李鵬高述勇楊杰遲潔茹
    關(guān)鍵詞:穩(wěn)定性

    李鵬 高述勇 楊杰 遲潔茹

    摘要:??針對(duì)關(guān)節(jié)型機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問(wèn)題,本文設(shè)計(jì)了基于反步法的控制器。利用反步法將復(fù)雜的非線性機(jī)器人系統(tǒng)分解成兩個(gè)子系統(tǒng),借助Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)中間虛擬控制量,一直后推到整個(gè)系統(tǒng),獲取控制系統(tǒng)實(shí)際的控制律,同時(shí)利用積分環(huán)節(jié)將每個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)起來(lái),從而形成對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的控制,并利用Lyapunov穩(wěn)定性定理,證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時(shí),以?xún)勺杂啥汝P(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對(duì)象,搭建仿真控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明,反步法控制不僅具有良好的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能,而且魯棒性較強(qiáng),說(shuō)明該控制方法的軌跡跟蹤控制有效可行。該研究具有良好的應(yīng)用前景。

    關(guān)鍵詞:??關(guān)節(jié)型機(jī)器人;?反步法控制;?跟蹤控制;?穩(wěn)定性

    中圖分類(lèi)號(hào):?TP242.2?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:?A

    收稿日期:?2018-11-27;?修回日期:?2019-09-20

    作者簡(jiǎn)介:??李鵬(1991-),男,山東臨沂人,碩士研究生,主要研究方向?yàn)闇y(cè)控技術(shù)及智能儀器。

    通信作者:??楊杰(1967-),男,山東青島人,副教授,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)闇y(cè)控技術(shù)及智能儀器。Email:?jackiey69@sina.com

    關(guān)節(jié)型機(jī)器人(即機(jī)械手臂),是工業(yè)領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的機(jī)器人類(lèi)型之一,在裝配、搬運(yùn)、焊接等工業(yè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[1]。但由于機(jī)器人系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng),耦合性強(qiáng),傳動(dòng)的轉(zhuǎn)矩控制以及PID等控制方法已經(jīng)難以滿(mǎn)足工業(yè)化快速發(fā)展對(duì)機(jī)器人控制精度和速度的要求[2]。由于現(xiàn)代智能控制的快速發(fā)展,其在控制速度和精度上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)控制,但是在現(xiàn)代智能控制中仍然存在一些問(wèn)題[3-4]。模糊控制無(wú)需建立精確的數(shù)學(xué)模型,魯棒性較強(qiáng),但是在實(shí)際控制中卻存在穩(wěn)態(tài)精度不夠的問(wèn)題[5-8]。反饋線性化控制能夠?qū)?fù)雜的非線性系統(tǒng)解耦,線性化準(zhǔn)確度高,但是易受外界干擾,魯棒性較差[9-10];無(wú)源控制具有全局穩(wěn)定性且不存在奇異點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn),但是一般只能借助阻尼的注入來(lái)設(shè)計(jì)控制器,使用其他方法,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性將難以得到保證,且期望的哈密頓函數(shù)、互聯(lián)矩陣以及阻尼矩陣比較復(fù)雜[11-14];反步法,即后推法,通過(guò)設(shè)計(jì)虛擬控制律保證系統(tǒng)內(nèi)核在穩(wěn)定性等方面的性能,并通過(guò)不斷的修正虛擬控制律,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定的跟蹤,控制系統(tǒng)的搭建和系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析比較簡(jiǎn)單,控制系統(tǒng)的動(dòng)、靜性能優(yōu)良。潘月斗等人[15]將反步法應(yīng)用到矩陣變換器輸入側(cè)電流的控制,實(shí)現(xiàn)在負(fù)載變化存在的情況下對(duì)輸入側(cè)電流的快速跟蹤,有效的提高了控制系統(tǒng)的魯棒性;劉燕斌等人[16]將反步法應(yīng)用到高超音速飛機(jī)縱向逆飛行控制中,實(shí)現(xiàn)了在具有嚴(yán)重非線性、強(qiáng)耦合的飛機(jī)縱向飛行控制以及對(duì)外界干擾的抑制,且能夠保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性;賀躍幫等人[17]將反步法應(yīng)用到無(wú)人直升機(jī)的跟蹤控制中,實(shí)現(xiàn)了外界干擾以及建模誤差等存在情況下的軌跡跟蹤控制,使控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性?;诖?,本文設(shè)計(jì)了基于反步法的控制器,借助Lyapunov函數(shù)得到控制系統(tǒng)實(shí)際的控制律,同時(shí)利用Lyapunov穩(wěn)定性定理,分析了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并以二自由關(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對(duì)象,搭建了機(jī)器人仿真控制系統(tǒng),驗(yàn)證了反步法控制的有效性。

    1?關(guān)節(jié)型機(jī)器人系統(tǒng)

    對(duì)具有n個(gè)關(guān)節(jié)的剛性關(guān)節(jié)型機(jī)器人,其動(dòng)態(tài)方程可用如下二階非線性微分方程描述[18]為

    τ=M(q)+C(q,)(1)

    式中,τ∈Rn為控制力矩;∈Rn為關(guān)節(jié)角位置矢量;∈Rn為關(guān)節(jié)角速度矢量;q∈Rn為關(guān)節(jié)角加速度矢量;M(q)∈Rn×n為機(jī)器人慣性矩陣;C(q,)∈Rn為機(jī)器人哥氏力與向心力矩陣。

    2?關(guān)節(jié)型機(jī)器人反步法控制器設(shè)計(jì)

    關(guān)節(jié)機(jī)器人的控制問(wèn)題是指利用各關(guān)節(jié)的控制量,使各個(gè)關(guān)節(jié)能夠在較短的時(shí)間內(nèi)跟蹤輸入信號(hào),同時(shí)保證控制輸出的穩(wěn)定性。定義如下非線性控制系統(tǒng)

    1=f1(x1)+x22=f2(x1,x2)+x3i=fi(x1,…,xi)+xi+1n=fn(x1,…,xn-1,xn)+u(2)

    式中,x為系統(tǒng)的狀態(tài)向量;u=u(x)控制系統(tǒng)的反饋控制輸入。

    反步法的基本思想是通過(guò)將每個(gè)子系統(tǒng)i中的xi+1作為虛擬控制量,并通過(guò)適當(dāng)?shù)奶摂M反饋xi+1=αi(i=1,2,…,n),使前面的狀態(tài)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。但由于一般難以滿(mǎn)足xi+1=αi,因此需要引入誤差,從而通過(guò)控制作用保證xi+1與αi之間漸進(jìn)穩(wěn)定[19-20]。

    利用系統(tǒng)的狀態(tài)與虛擬反饋,定義n個(gè)誤差為

    e1=x1e2=x2-α1(x1)en=xn-αn-1(x1,x2,…,xn-1)(3)

    式中,αi(i=1,2,…,n)為待定。通過(guò)Lyapunov函數(shù)構(gòu)造,可以使每一個(gè)狀態(tài)分量能夠漸進(jìn)的穩(wěn)定。

    為了便于使用反步法,定義機(jī)器人控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量x1=q,x2=,系統(tǒng)的輸出y=x1,則非線性系統(tǒng)(1)可以表示為

    1=x22=M-1(x1)τ-M-1(x1)Cx2y=x1(4)

    采用反步法,設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制器,其步驟如下:

    步驟1?定義關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制系統(tǒng)的輸出誤差為

    e1=y-yd(5)

    其中,yd為控制系統(tǒng)期望的輸出。對(duì)式(5)求導(dǎo),可得

    1=1-d=x2-d(6)

    定義第1個(gè)子系統(tǒng)的虛擬控制量為

    α1=-c1e1+d(7)

    其中,c1為可調(diào)整的參數(shù),且c1>0。

    定義關(guān)節(jié)型機(jī)器人的虛擬控制誤差為

    e2=x2-α1(8)

    對(duì)第1個(gè)子系統(tǒng)定義Lyapunov函數(shù)為

    V1=12e21(9)

    則對(duì)式(9)求導(dǎo),并結(jié)合式(6)可得

    1=e11=e1(x2-d)=e1(e2+α1-d)(10)

    將式(8)代入式(10)可得

    1=-c1e21+e1e2(11)

    如果e2=0,則1≤0,為此,進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。

    步驟2?對(duì)式(8)求導(dǎo),并結(jié)合式(4)可得

    2=M-1(x1)τ-M-1(x1)Cx2-1(12)

    對(duì)第2個(gè)子系統(tǒng)定義Lyapunov函數(shù)為

    V2=V1+12e22(13)

    對(duì)式(13)求導(dǎo)可得

    2=1+e22=-c1e21+e1e2+e22=-c1e21+e1e2+e2(M-1(x1)τ-M-1(x1)Cx2+c11-d1)(14)

    為使2≤0,設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制器的實(shí)際控制律為

    τ=Cx2+M(x1)d-M(x1)c11-M(x1)e1-c2e2(15)

    其中,c2為可調(diào)整的參數(shù),且c2>0。則

    2=-c1e21-c1e22≤0(16)

    關(guān)節(jié)型機(jī)器人控制律的設(shè)計(jì)滿(mǎn)足Lyapunov穩(wěn)定性定理的條件,使e1和e2漸進(jìn)穩(wěn)定,從而可以保證系統(tǒng)具有全局的漸進(jìn)穩(wěn)定。

    3?仿真實(shí)驗(yàn)

    為了驗(yàn)證多關(guān)節(jié)機(jī)器人反步法控制的有效性,選取了二自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對(duì)象,在Matlab/Simulink搭建仿真控制系統(tǒng),仿真控制系統(tǒng)如圖1所示。

    二自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程為

    M11M12M21M2212+C11C12C21C2212=τ(17)

    其中,M11=0.006?012cos?q2-0.005?07sin?q2+0.065,M12=M21=0.003?006cos?q2-0.002?535sin?q2+0.029?34,M22=0.029?34;

    C11=(-0.017?88sin?q2)2,C21=(0.000?893?4sin?q2)1,C12=(-0.000?893?4sin?q2)2,C22=0。

    采用反步法控制時(shí),系統(tǒng)仿真參數(shù)分別為c1=50,c2=1?000。采用PD時(shí),機(jī)器人控制系統(tǒng)的力矩或者力控制輸出為

    τ=kpe+kd(18)

    其中,τ為控制力矩或力;e為軌跡跟蹤誤差;kp為比例系數(shù);kd為微分系數(shù)。

    給定關(guān)節(jié)型機(jī)器人旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的期望角度為qr1=qr2=1。采用反步法控制時(shí),反步法控制關(guān)節(jié)1期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖2所示,反步法控制關(guān)節(jié)2期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖3所示。由圖2和圖3可以看出,反步法控制的跟蹤速度較快,能夠較快的到達(dá)穩(wěn)態(tài),而且到達(dá)穩(wěn)態(tài)后,反步法控制的穩(wěn)態(tài)精度較高,說(shuō)明反步法控制具有良好的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

    采用PD控制時(shí),PD控制關(guān)節(jié)1期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖4所示,PD控制關(guān)節(jié)2期望軌跡與實(shí)際軌跡如圖5所示。由圖4和圖5可以看出,PD控制的跟蹤速度比反步法控制跟蹤速度慢,且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí),PD控制比反步法控制的穩(wěn)態(tài)精度低。

    當(dāng)t=0.6?s時(shí),施加一個(gè)持續(xù)時(shí)間為0.01?s的干擾后,采用反步法控制時(shí),干擾對(duì)反步法控制關(guān)節(jié)1軌跡曲線的影響如圖6所示,干擾對(duì)反步法控制關(guān)節(jié)2軌跡曲線的影響如圖7所示。

    由圖6和圖7可以看出,在給各關(guān)節(jié)施加干擾后,采用反步法控制的波形波動(dòng)較小,再次達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時(shí)間較短,說(shuō)明反步法控制具有較強(qiáng)的魯棒性。

    采用PD控制時(shí),干擾對(duì)PD控制關(guān)節(jié)1軌跡曲線的影響如圖8所示,干擾對(duì)PD控制關(guān)節(jié)2軌跡曲線的影響如圖9所示。由圖8和圖9可以看出,采用PD控制的波形波動(dòng)比反步法控制大,再次達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用的時(shí)間比反步法控制長(zhǎng)。

    由以上仿真結(jié)果可知,反步法控制具有更好的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能,且控制系統(tǒng)能夠更明顯的減弱外界干擾對(duì)機(jī)器人控制系統(tǒng)輸出的影響,魯棒性更強(qiáng),說(shuō)明該控制方法有效,符合設(shè)計(jì)的要求。

    4?結(jié)束語(yǔ)

    本文針對(duì)多關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制,提出了反步法控制。選取二自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人為研究對(duì)象,在Matlab/Simulink中搭建控制系統(tǒng),進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),并將反步法控制與傳統(tǒng)的PD控制進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明,當(dāng)系統(tǒng)存在外界干擾時(shí),與傳統(tǒng)的PD控制相比,反步法控制系統(tǒng)的輸出波形變化較小,說(shuō)明反步法控制能夠更強(qiáng)的抑制外界干擾影響,具有更強(qiáng)的魯棒性;同時(shí)與傳統(tǒng)PD控制相比,反步法控制的輸出能夠更快的跟蹤輸入信號(hào),且穩(wěn)態(tài)精度更高,說(shuō)明反步法控制具有更好的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能,因此該控制方法是可行有效的。

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    Control?and?Simulation?of?MultiLink?Robots?Based?on?Backstepping

    LI?Penga,?GAO?Shuyonga,?YANG?Jiea,?CHI?Jierub

    (a.?School?of?Electromechanic?Engineering;?b.?School?of?Electronic?Information,?Qingdao?University,?Qingdao?266071,?China)

    Abstract:??Aiming?at?the?tracking?control?of?multilink?robots,?a?controller?based?on?backstepping?is?designed.?Backstepping?method?can?decompose?the?nonlinear?robot?system?into?two?subsystems.?And?by?the?use?of?Lyapunov?function,?we?can?design?inter?virtual?control?variables,?until?back?to?the?whole?system.?Then?by?the?use?of?the?Lyapunov?function,?we?can?obtain?the?actual?control?law?of?the?control?system.?Each?subsystem?is?connected?in?series?by?the?use?of?integral?part,?thus?it?can?realize?the?control?of?entire?system.?The?Lyapunov?stability?theorem?is?used?to?prove?the?stability?of?the?system.?The?simulation?results?show?that?the?backstepping?method?not?only?has?good?dynamic?and?steadystate?performance,?but?also?has?strong?ability?to?suppress?the?external?interference.?The?simulation?results?indicate?that?the?trajectory?tracking?control?of?backstepping?is?effective?and?feasible.?The?control?method?has?a?good?application?prospect.

    Key?words:??multilink?Robots;?backstepping?control;?tracking?control;?stability

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    非線性多率離散時(shí)間系統(tǒng)零動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性
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