估算認(rèn)識(shí)的兩個(gè)誤區(qū)

夏冰

【摘要】部分小學(xué)教師對(duì)估算的認(rèn)識(shí)還存在兩個(gè)誤區(qū)：一是認(rèn)為估算只有好與壞之別，沒(méi)有對(duì)與錯(cuò)之分;二是認(rèn)為估算是粗略的計(jì)算，估算結(jié)果只能是粗略值而不能是精確值.這兩種認(rèn)識(shí)都是錯(cuò)誤的，這主要是由于小學(xué)教師對(duì)估算概念的認(rèn)識(shí)不夠清晰而造成的.本文將結(jié)合實(shí)例來(lái)加以說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】小學(xué);教師;估算;認(rèn)識(shí);誤區(qū)

一、估算存在的兩個(gè)誤區(qū)

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》加強(qiáng)了估算在小學(xué)的教學(xué)[1]，將“數(shù)量的估計(jì)”作為重要的教學(xué)內(nèi)容，并在不同學(xué)段提出不同的要求.在小學(xué)校舉行的教學(xué)比賽或觀摩討論課，也多選擇估算這一內(nèi)容來(lái)進(jìn)行.隨著教師對(duì)估算教學(xué)的不斷重視，對(duì)估算教學(xué)的研究不斷深入，大部分教師對(duì)估算教學(xué)誤區(qū)進(jìn)行了研究，特別是對(duì)估算認(rèn)識(shí)中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行了探討和糾正.如司繼偉糾正了“估計(jì)值不是要得到的最終答案”“估算沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案”等錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)[2].在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行調(diào)研時(shí)，筆者了解到部分小學(xué)教師對(duì)估算還存在兩個(gè)的誤區(qū)：一是認(rèn)為估算只有好與壞之別，沒(méi)有對(duì)與錯(cuò)之分;二是認(rèn)為估算是粗略的計(jì)算，只能估算出近似值而不能是精確值.這也反應(yīng)部分小學(xué)教師對(duì)估算的概念還不夠清晰，對(duì)估算的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)還不夠明確.以下筆者結(jié)合實(shí)例來(lái)澄清這兩個(gè)問(wèn)題.

二、估算不僅有好壞之分，還有對(duì)錯(cuò)之別

例1 估算8×12.

教師與學(xué)生共同討論，其估算方法大致分為以下三種：

法一：把8取整，估算結(jié)果為120.此估算方法稱為增大取整.

法二：把12取整，估算結(jié)果為80.此估算方法稱為減小取整.

教師指出，后一種估算比前一種估算好，這兩種方法都叫做取整方法，是小學(xué)估算的主要方法.

法三：若把8和12都取整，其結(jié)果為100，此估算方法最好，稱為調(diào)整（調(diào)小增大）.

以上三種方法都是正確的估算，但方法有好壞.

什么叫估算方法的好壞呢？我們用估算的值與精確值之差的絕對(duì)值和精確值的比的大小來(lái)衡量，一般來(lái)講，比值越小，估算方法就越好;比值越大，估算方法就越壞.這樣來(lái)看，“法一”的比值為0.25;“法二”的比值為0.17;“法三”的比值為0.04.所以“法三”最好，“法一”最壞.這是當(dāng)前多數(shù)教師對(duì)估算的認(rèn)識(shí).

現(xiàn)在我們來(lái)考慮以下兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：甲估算8×12的值是小于150;

問(wèn)題2：乙估算8×12的值大約是150.

甲和乙都是把8取10，把12取15，這樣估算的結(jié)果都是150，那么這種方法在這兩種情境中得到的估算結(jié)果是否有好壞之分，對(duì)與錯(cuò)之別呢？這就需要弄清估算的概念，才能回答這個(gè)問(wèn)題.

那么什么是估算的概念呢？沈威、曹廣福在研究了司繼偉等人對(duì)估算認(rèn)識(shí)的成果后進(jìn)一步指出：“估算是主體結(jié)合數(shù)學(xué)情境運(yùn)用已有數(shù)學(xué)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)快速且滿足一定條件的、與計(jì)算有關(guān)的、判斷的心理加工過(guò)程[3].這是估算概念的最新定義.該定義對(duì)小學(xué)教師和學(xué)生而言，還不夠通俗易懂.因此我們可以這樣給出估算的概念：在一定范圍內(nèi)對(duì)數(shù)值的大小給出的一個(gè)粗略估計(jì)叫做估算.這里的“一定范圍”分兩種情況：一為指定范圍，二為常識(shí)范圍.一般來(lái)講，估算有一個(gè)明確的指定范圍，如“比什么數(shù)大（?。?如果沒(méi)有明確的指定范圍，則有常識(shí)范圍，如“大約是多少”.也就是說(shuō)估算總是在“一定范圍”內(nèi)進(jìn)行的，這種范圍要么是指定的，要么是常識(shí)的，但都有范圍，這一點(diǎn)要明確.如果估算的值在“一定范圍”內(nèi)，則估算有好壞之分，如果估算的值超過(guò)了這個(gè)范圍，則該估算是錯(cuò)誤估算，這就有對(duì)錯(cuò)之別.

例1中的“一定范圍”是“常識(shí)范圍”，即是80到120的開(kāi)區(qū)間.所以他們有好壞之分.問(wèn)題1的“一定范圍”是小于150，是“指定范圍”.在該范圍內(nèi)也有好壞之分.而問(wèn)題2的“一定范圍”則是“常識(shí)范圍”，是80到120的開(kāi)區(qū)間.150超過(guò)了這個(gè)范圍，所以它是錯(cuò)誤估算，這就沒(méi)有好壞之分，只有對(duì)錯(cuò)之別了.因此判斷估算的對(duì)與錯(cuò)、好與壞，主要看估值是否在“一定范圍”內(nèi)，若估算之值在其內(nèi)，即是正確估算，則估算有好壞之分，如果估算之值不在其內(nèi)，則是錯(cuò)誤估算.因此估算不僅有好壞之分，也有對(duì)錯(cuò)之別.

三、估算也可以估算出精確值

對(duì)于第二個(gè)誤區(qū)“估算結(jié)果只能粗略值而不能是精確值”，我們來(lái)討論下列問(wèn)題：

例2 估算35×45.

這里要用到一個(gè)估算結(jié)論：兩數(shù)之積，以平均數(shù)自乘為最大.兩乘數(shù)離平均數(shù)越遠(yuǎn)，其積越小.如8×12的積，以平均數(shù)10自乘（10×10）為最大.8×12就比9×11小.

“常識(shí)范圍”是辯證的.35×45的常識(shí)范圍可以是大于1 200小于2 000，也可以是大于1 400小于1 750.依據(jù)當(dāng)事人的估算認(rèn)知水平而定.我們使用調(diào)整的方法：將35調(diào)小為30，將45調(diào)大為50，因此得到35×45>30×50=1500，由于5×5=25，因此估算35×45大約是1 525.

也可以這樣估算：將35調(diào)大為40，將45調(diào)小為40，所以35×45<40×40=1 600，由于5×5=25，因此估算35×45大約是1 600-25=1 725.

首先明確“一定范圍”是“常識(shí)范圍”，即大于1 500小于2 000，或大于1 400小于1 750.1 525在這個(gè)范圍內(nèi)，1 725也在這個(gè)范圍內(nèi)，所以這兩種估算都是正確的.而后一種方法卻估計(jì)出了精確值.以此方法，我們也可估算出35×35為1 225，也是正確估算.至此我們認(rèn)為，估算也可以估算出精確值.

根據(jù)估算方法好壞的概念，能估算出精確值的估算就是最好的估算.所以，估算的結(jié)果可能是一個(gè)粗略值，也可能是精確值.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]司繼偉.小學(xué)估算教學(xué)的常見(jiàn)誤區(qū)及對(duì)策[J].學(xué)科教育，2002（5）：27-30.

[3]沈威，曹廣福.數(shù)學(xué)估計(jì)及中國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其的培養(yǎng)要求[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（4）：37-43.

[4]鄧丹丹.走出“估算教學(xué)”的誤區(qū)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（7）：36，46.