一種基于全變分技術(shù)和Lp偽范數(shù)的椒鹽噪聲去除方法

許基隆，陳穎頻

（閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，漳州，363000）

引 言

圖像是信息獲取、處理和理解過程中非常重要的來源，但由于采集、傳輸、存取過程中各種因素的影響，獲取的圖像通常是原圖像的降質(zhì)形式，例如，在數(shù)碼相機成像過程中，較長的曝光時間會導(dǎo)致椒鹽噪聲[1-2]。椒鹽噪聲在概率分布上體現(xiàn)為：以一定的概率出現(xiàn)沖擊擾動，以一定的概率出現(xiàn)零值擾動[3]。本文將從椒鹽噪聲的數(shù)學(xué)統(tǒng)計特性發(fā)出，以Lp偽范數(shù)對其加以刻畫，并結(jié)合全變分技術(shù)消除椒鹽噪聲，提高圖像恢復(fù)質(zhì)量，從而為圖像處理的后續(xù)工作服務(wù)。

椒鹽噪聲的去除方法有很多種，如：全變分（Total variation，TV）方法，TV方法分為各向異性全變分（Anisotropic total variation，ATV）[4-5]和各向同性全變分（Isotropy total variation，ITV）[5]；傳統(tǒng)中值濾波方法(Median filtering，MF)[6]；數(shù)學(xué)形態(tài) (Mathematical morphology，MM)方法[7]；脈沖耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Pulse coupled neural network，PCNN)[8]。其中，TV方法相比于MF、MM、PCNN去噪方法能更好地保護圖像邊緣。因此，近年來TV方法在圖像解模糊、圖像去噪、圖像修復(fù)等方面得到了廣泛的應(yīng)用[9-12]。例如，陳穎頻等將交疊組稀疏收縮技術(shù)引入廣義全變分，提出一種具有高魯棒性的圖像恢復(fù)算法[13]。傳統(tǒng)的TV方法一般以L1范數(shù)建模數(shù)據(jù)保真項，對噪聲的稀疏性刻畫能力并不理想。ATV方法相比于ITV方法有嚴重的階梯效應(yīng)。因此本文選擇ITV去噪模型為改進對象。目前，基于ATV、ITV的椒鹽噪聲去除方法通常用L1范數(shù)來描述保真項。但是用L1范數(shù)做保真項的約束，對椒鹽噪聲的稀疏性刻畫能力不足，所以本文用Lp偽范數(shù)代替L1范數(shù)，通過增加一個自由度來提高保真項對椒鹽噪聲的刻畫能力[14]。

1 椒鹽噪聲去噪方法

1.1 基于ITV的椒鹽去噪方法

基于ITV的椒鹽去噪方法從去噪算法域的角度可總結(jié)成兩種：一是空間域算法，二是頻率域算法[15]?？臻g域又名像素域，在圖像上以矩陣的形式存在。在空域上進行圖像去噪處理時，難免要對圖像矩陣進行列化操作，導(dǎo)致大型矩陣相乘，運算復(fù)雜度高。因此可以利用傅里葉變換把空間域中的圖像轉(zhuǎn)換到頻率域中，在頻域中進行處理后再反變換到空域，即頻域算法[16]?；诮符}噪聲的特點，本文提出了一種頻域去噪算法。

傳統(tǒng)ITV椒鹽噪聲去噪模型為[5]

式中：f∈RN2×1為恢復(fù)圖像的列化向量；g∈RN2×1表示被污染圖像的列化向量表示數(shù)據(jù)保表示ITV正則項；分別表示橫向差分矩陣和縱向差分矩陣；μ為保真項和ITV正則項的平衡參數(shù)；*表示二維卷積算子。

為減小矩陣規(guī)模、提高運算效率，本文將ITV模型改寫為

式中：F∈RN×N為原圖像；G∈RN×N為被噪聲污染的圖像分別表示橫向和縱向差分卷積核。

對比式（1,2）可知，式(1)中向量化形式的能量泛函涉及大型矩陣（?h,?v∈RN2×N2）運算的求逆運算，算法乘法復(fù)雜度為O((N2)3)，而其矩陣形式的能量泛函不存在大型矩陣，且卷積算子可以映射到頻域后以點乘的形式進行運算，從而大大提高運算效率，算法復(fù)雜度僅為O(N2log2(N))。

1.2 Lp偽范數(shù)

Lp范數(shù)定義為偽范數(shù)定義為圖1為不同Lp偽范數(shù)的等高線。

圖1 各類范數(shù)等高線Fig.1 Contour line of different norms

傳統(tǒng)的ITV椒鹽去噪模型中用L1范數(shù)做保真項的約束，對椒鹽噪聲的稀疏性刻畫能力不足。圖2展示了不同范數(shù)的稀疏性刻畫能力，其中f-g表示加在圖像信號的噪聲。顯然，圖2（c）中等高線上的點相比于圖2（a，b）更高概率地逼近于坐標軸，因此用Lp偽范數(shù)能夠誘導(dǎo)出更加稀疏的解，從而更好地描述椒鹽噪聲的稀疏特性。

圖2 各類范數(shù)稀疏性Fig.2 Sparsity of different norms

鑒于Lp偽范數(shù)優(yōu)良的稀疏刻畫能力，本文對稀疏收縮算子加以改進，將基于L1范數(shù)的全變分圖像恢復(fù)方法推廣為基于Lp偽范數(shù)[14,17-21]的全變分圖像恢復(fù)方法，用Lp偽范數(shù)代替L1范數(shù)，通過增加1個自由度來提高保真項對椒鹽噪聲的刻畫能力。

2 基于Lp偽范數(shù)的ITV去噪方法

本文將Lp偽范數(shù)引入ITV模型，提出新的去噪模型如下

對比式(3)和式(2)可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的模型相比于傳統(tǒng)的ITV模型最大的差別在于將傳統(tǒng)ITV的保真項偽范數(shù)加強對噪聲數(shù)學(xué)統(tǒng)計特性的刻畫，從而提高圖像恢復(fù)的質(zhì)量。

根據(jù)交替乘子迭代法框架，需要引入中間變量Z1=Kh*F，Z2=Kv*F，Z3=F-G，并引入對應(yīng)的拉格朗日乘子Λ1，Λ2，Λ3。則增廣拉格朗日目標函數(shù)為

為求解目標函數(shù)，需要將每個變量的子問題求解出來。對于F子問題，有

由于引進的變量與F已經(jīng)去耦合,則空域表達式為

利用卷積定理，頻域表達式為

對式(8)Fˉ變量加以求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，可以得到

整理得

式中：1表示元素全為1的矩陣；RHS為

則有

式中：符號./表示點除操作；?-1表示傅里葉逆變換算子。

對于Z1和Z2的子問題目標函數(shù)為

式中vec表示矩陣列化算子。令X=(vec(Kh*F+Λ1),vec(Kv*F+Λ2))，根據(jù)基于L21范數(shù)的收縮算子[22]有

式中softrowτ為一個映射，定義如下

式中：Zi,j表示矩陣Z=(Z1，Z2)中第i行第j列的元素，Z為矩陣Z1和Z2的增廣矩陣。這里假設(shè)X為Z的初始值，則X(i,：)表示矩陣X的第i行。

對于Z3子問題，目標函數(shù)為

令A(yù)=F+ Λ3-G,τ=1/β3，根據(jù) Lp偽范數(shù)收縮算子[18,23]，Z3的收縮規(guī)則為

式中φ(A)表示A的相位。

對偶變量Λ1子問題為

利用梯度上升法，可以得到Λ1的更新規(guī)則為

式中δ＜1表示學(xué)習(xí)率。

對偶變量Λ2子問題為

利用梯度上升法，可以得到Λ2的更新規(guī)則為

對偶變量Λ3子問題為

利用梯度上升法，可以得到Λ3的更新規(guī)則為

至此，所有子問題得到求解，本文提出算法ITV-Lp流程詳見下面算法，其中設(shè)置tol為10-4。

算法 ITV-Lp

Input：觀測圖像G

Output：去噪圖像F

Initialize：k=1,Zi=0,Λi=0(i=1,2,3),F(k)=0,μ，β1，β2，β3，δ，tol,p,E=1。

(1)While E＞tol,do

(2)利用式（13）更新F(k+1)；

(4)利用式（18）更新Z(k+1)3；

(5)利用式（20，21，24）更新 Λ(k+1)i(i=1,2,3)；

(6)k=k+1；

(8)End while

(9)Return F(k)as F

3 實驗與分析

3.1 實驗環(huán)境

為了證明本文所提出方法的優(yōu)越性，本文針對4組圖像進行實驗，如圖3所示，圖像的大小為512像素×512像素。本文使用的椒鹽噪聲水平分別為10%，20%，50%。后續(xù)實驗將本文方法與已有的方法進行對比，包括 ATV[5]，ITV[5]，MF[6]，MM[7]以及 PCNN[8]。

實驗軟硬件環(huán)境為：基于2.3 GHz的Inter CPU和8 GB的RAM硬件環(huán)境及Matlab軟件開發(fā)環(huán)境。評價圖像恢復(fù)治理的主要參數(shù)有：算法運算時間、峰值信噪比（Peak signal-to-noise ratio，PSNR）以及結(jié)構(gòu)相似性信息（Structural similarity，SSIM）[24]。PSNR和SSIM的定義為

式中：X表示原始圖像；Y表示恢復(fù)圖像；μX和μY分別為圖像X和Y的均值；和分別表示圖像X和Y的方差；σXY為X和Y的協(xié)方差。本文令k1=0.01,k2=0.03。

3.2 實驗結(jié)果

以圖3中的圖像為測試對象，加上不同水平的椒鹽噪聲，用上述6種方法進行圖像去噪，結(jié)果如表1—4所示（最優(yōu)指標用黑色粗體標出，表格中Time列為“-”時表示Matlab無法測出運算時間間隔）。從表中顯示的結(jié)果可以看出，本文提出的去噪模型去噪效果最佳。

圖3 測試圖像Fig.3 Tested images

表1 不同方法關(guān)于Lena圖像的去噪性能對比Table 1 Denoising performance of different methods with regard to Lena

表2 不同方法關(guān)于Peppers圖像的去噪性能對比Table 2 Denoising performance of different methods with regard to Peppers

表3 不同方法關(guān)于Man圖像的去噪性能對比Table 3 Denoising performance of different methods with regard to Man

表4 不同方法關(guān)于House圖像的去噪性能對比Table 4 Denoising performance of different methods with regard to House

圖4—7分別給出對大小為512像素×512像素的House和Lena圖像分別加入噪聲水平為10%和50%的椒鹽噪聲后，用6種算法恢復(fù)的圖像和細節(jié)放大對比圖。從視覺效果來看，本文方法去噪效果最好。

圖4 不同算法對House圖像恢復(fù)效果對比結(jié)果Fig.4 Comparison of recovered images of House by different methods

圖5 不同算法對House細節(jié)圖恢復(fù)效果對比結(jié)果Fig.5 Comparison of recovered images in detail of House by different methods

圖6 不同算法對Lena圖像恢復(fù)效果對比結(jié)果Fig.6 Comparison of recovered images of Lena by different methods

圖7 不同算法對Lena細節(jié)圖恢復(fù)效果對比結(jié)果Fig.7 Comparison of recovered images in detail of Lena by different methods

4 結(jié)束語

本文提出一種新的基于Lp偽范數(shù)和ITV的圖像去噪方法ITV-Lp。為求解該去噪模型，ITV-Lp方法在ADMM算法中引入快速傅里葉變換，用點除運算代替空域算法，從而避免大型矩陣運算，提高運算效率。不僅如此，ITV-Lp方法還能避免占用大量內(nèi)存的大型矩陣相乘運算。與ATV和ITV方法以及其他方法相比，ITV-Lp方法能獲得最大的PSNR和SSIM值，這說明該方法不僅在誤差方面，在結(jié)構(gòu)相似性方面也能獲得明顯優(yōu)于其他方法的圖像結(jié)果。