三階幻方中二次等冪和的初等證明

劉蘭芝,文萍,張?jiān)诿?/p>

(1.玉溪市教育科學(xué)研究所 云南 玉溪 653100；2.玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息與技術(shù)學(xué)院，云南 玉溪 653100)

洛書古稱“龜書”，出現(xiàn)于公元前2200年的大禹時(shí)代，傳說它是上天派神龜賜給夏禹王的寶典，“天與禹洛出書.神龜負(fù)文而出，列于背，有數(shù)至于九，圣人則之”.洛書蘊(yùn)含著天地空間變化脈絡(luò)圖案，被譽(yù)為“宇宙魔方”，是中華文明的源頭.[1]洛書，又稱為九宮圖，南宋的數(shù)學(xué)家楊輝用字訣傳授它的構(gòu)造法，“九宮者，二、四為肩，六、八為足，左三右七，戴九履一，五居中央.”

洛書是中國首創(chuàng)的三階幻方，是古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶，九宮格中的數(shù)字排列十分巧妙，蘊(yùn)含著豐富的“數(shù)字玄機(jī)”.最為我們熟悉的是，九宮格中橫豎斜格列三個(gè)數(shù)字之和都等于十五.

4+9+2=15;3+5+7=15;8+1+6=15;4+3+8=15;
9+5+1=15;2+7+6=15;4+5+6=15;2+5+8=15.

除此之外，當(dāng)我們把數(shù)遞變?yōu)閮晌粩?shù)相加時(shí)，左右兩列數(shù)字之和依然相等.以左列的438與右列的276為例加以說明.即43+38+84=27+76+62，從下向上遞變依然成立.即83+34+48=67+72+26，遞變?yōu)槿粩?shù)依然相等，即：

438+384+843=276+762+627,

從下向上遞變數(shù)字依然成立，即：

834+348+483=672+726+267.

按照上述規(guī)律遞變下去為四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)，一百位數(shù)、一千位數(shù)所得的和式依然成立.神奇之處不僅如此，更為神奇的是不管是一位，還是兩位數(shù)、三位數(shù)的平方相加和依然可以左右相等.由此可以引出美妙的逆序二次等冪和等式，共6個(gè)，現(xiàn)列于下：

4922+3572+8162=2942+7532+6182=1 035 369

(1)

4382+9512+2762=8342+1592+6722=1 172 421

(2)

4562+2312+9782=6542+1322+8792=1 217 781

(3)

4712+2582+9362=1742+8522+6392=1 164 501

(4)

4562+3122+8972=6542+2132+7982=1 109 889

(5)

4172+3962+8522=7142+6932+2582=1 056 609

(6)

在文獻(xiàn)[2]里，黃越用線性代數(shù)證明等式(1)(2)(3)(6)，顯然對(duì)等式(4)(5)其證法也適用.本文用初等代數(shù)中的乘法公式，給等式(1)(2)證明，并引出更多的二次等冪和等式.

現(xiàn)在證明等式(1)，為此進(jìn)行移項(xiàng)、合并，由等式(1)得：

(4922-6182)+(3572-7532)+(8162-2942)=

1 110(492-618)+1 110(357-753)+1 101(816-294)=

1 110(492+357+816-618-753-294)=

1 110×0=0

所以等式(1)成立.

對(duì)等式(2)，同樣經(jīng)過移項(xiàng)，合并后得

(4382-6722)+(9512-1592)+(2762-8342)=

1 110(438-672)+1 110(951-159)+1 110(276-834)=

1 110(438+951+276-672-159-834)=

1 110×0=0

所以等式(2)成立.對(duì)于其他4個(gè)等式的證明也類似，故此省略.

下面再介紹10個(gè)新的冪和等式，尚未見于相關(guān)資料中，編號(hào)排序?yàn)?7)到(16)：

1322+5462+9872=9782+5642+1232=1 289 709

(7)

2132+4652+9872=8972+6452+1232=1 235 763

(8)

1322+5472+9862=9782+5632+1242=1 288 829

(9)

2632+4172+9852=8472+6932+1252=1 213 283

(10)

1372+5462+9822=9732+5642+1282=1 281 209

(11)

2312+6452+7892=8792+4652+3212=1 091 907

(12)

3122+5642+7892=7982+5462+3212=1 037 961

(13)

2312+7452+6892=8792+3652+4212=1 083 107

(14)

3622+7142+5892=7482+3962+5212=987 761

(15)

7312+6452+2892=3792+4652+8212=1 033 907

(16)

先說這10個(gè)等式的特點(diǎn)，第一，它們非逆序關(guān)系；第二，前5個(gè)等式與后5個(gè)等式卻構(gòu)成一對(duì)一的逆序關(guān)系，如(7)和(12),(8)及(13)構(gòu)成逆序關(guān)系，同理可類推.它們的證明方法仍然應(yīng)用移項(xiàng)、合并和平方差公式.以上16個(gè)等冪和等式，還可以一一推廣，以(16)為例，將其推廣為：

(7a+3b+c)2+(6a+4b+5c)2+(2a+8b+9c)2=

(3a+7b+9c)2+(4a+6b+5c)2+(8a+2b+c)2

(17)

證明仍是先移項(xiàng)，合并得：

[(7a+3b+c)2-(3a+7b+9c)2]+[(6a+4b+5c)2-(4a+6b+5c)2]+

[(2a+8b+9c)2-(8a+2b+c)2]=

10(a+b+c)[(7a+3b+c)+(6a+4b+c)+(2a+8b+9c)-(3a+7b+9c)-

(4a+6b+5c)-(8a+2b+c)=

10(a+b+c)×0=0

所以(17)式成立，這里的a，b，c可以為任意的實(shí)數(shù).這樣一來可以得到16個(gè)類似的等冪和等式，由于a，b，c的任意性它可以導(dǎo)出許多具體的數(shù)值等冪和式子來.文獻(xiàn)[2]中還介紹了兩個(gè)和式，現(xiàn)列于下：

1392+3972+9712+7132=1792+7932+9132+3172

(Ⅰ)

9512+3572+2582+6542=4562+8522+7532+1592

(Ⅱ)

(Ⅱ)式仍然使用移項(xiàng)、合并和平方差公式來求證，過程省略，現(xiàn)證明(Ⅰ)：

運(yùn)用公式a2+b2=(a+b)2-2ab，于左邊得:

(1392+9712)+(3972+7132)=

(139+971)2-2×139×971+(397+713)2-2×397×713=

2×1 1012-2(139×971+397×713)

同樣用于右邊得：

(1792+9312)+(3172+7932)=2×1 1012-2(179×931+317×793)

于是(Ⅰ)化歸為證明：

139×971+397×713=179×931+317×793

現(xiàn)將上式左邊化為：

(555-416)(555+416)+(555-158)(555+158)

右邊化為：

(555-376)(555+376)+(555-238)(555+238)

從而等式化歸為：

4162+1582=3762+2382

即：

2082+792=1882+1192

再移項(xiàng)成：

2082-1882=1192-792

也就是：

396×20=198×40=7 920

所以等式(Ⅰ)成立.

現(xiàn)仿造兩個(gè)等式于下：

8422+4262+2682+6842=2482+4862+8622+6242

(Ⅰ*)

13 5792+35 7912+57 9132+79 1352+91 3572=

97 5132+19 7532+31 9752+51 3972+75 3192

(Ⅱ*)

依托廣義3階幻方公式：

x-yx+y+zx-zx+y-zxx-y+zx+zx-y-zx+y

還可把上述等冪和式進(jìn)一步抽象化，為此以下圖中的記號(hào)取代廣義3階幻方公式的相應(yīng)代數(shù)式，即：

a4a9a2a3a5a7a8a1a6

也就是說，依序有a1=x-y-z，a2=x-z，a3=x+y,…,a9=x+y+z,這里x，y，z可以取任意實(shí)數(shù).這樣一來，只要以an取代本文上面諸等式中的數(shù)字n便得到更加抽象的等冪和式，以前面的6個(gè)等式為例，便有：

(a4a9a2)2+(a3a5a7)2+(a8a1a6)2=(a2a9a4)2+(a7a5a3)2+(a6a1a8)2

(1*)

(a4a3a8)2+(a9a5a1)2+(a2a7a6)2=(a8a3a4)2+(a1a5a9)2+(a6a7a2)2

(2*)

其余同理，不再一一列出，必須說明的是，在證明和運(yùn)用這些公式時(shí)，(aiajak)應(yīng)理解為ai×102+aj×10+ak，或更廣泛的ai×a+aj×b+ak×c.

由于篇幅有限，更具體和細(xì)致的討論就省略了.順帶指出，沈康身先生所著的《數(shù)學(xué)的魅力(四)》數(shù)據(jù)有誤：1 035 389應(yīng)為1 035 369；117 242應(yīng)為117 2421，白璧微瑕，無損大作成就.