杠桿耦合式微機械陀螺儀特性分析

彭世剛, 劉海鵬, 高世橋，金 磊，李澤章

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081)

0 引言

微機械陀螺以其體積小，質(zhì)量輕，成本低，功耗小及可批量生產(chǎn)等優(yōu)點，在航空航天、汽車工業(yè)、醫(yī)療儀器等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1]。當(dāng)前，基于科氏力的電容檢測式微機械陀螺是研究的熱點和應(yīng)用的主流。隨著研究不斷深入，精度不斷提升，已經(jīng)實現(xiàn)了戰(zhàn)術(shù)級商業(yè)應(yīng)用[2-3]。隨著對精度要求的不斷提升，采用靜電剛度調(diào)諧實現(xiàn)模態(tài)匹配和采用正交靜電解耦實現(xiàn)正交解耦已成為高精度微機械陀螺的普遍措施[4]，但通過文獻(xiàn)[5-6]發(fā)現(xiàn)，由于與中心質(zhì)量塊相連的靜電調(diào)諧梳齒和正交解耦梳齒在檢測方向均為壓膜阻尼，遠(yuǎn)大于檢測框的阻尼，致使檢測品質(zhì)因子會嚴(yán)重降低，檢測位移也更微弱[5-6]。近年來，杠桿放大機構(gòu)在微機械傳感器中已獲得應(yīng)用，主要用于放大驅(qū)動力，以提升微機械傳感器的機械靈敏度。I.Zeimpekis等在2011年固態(tài)傳感器、執(zhí)行器與微系統(tǒng)國際會議上提出了一種用于電容式微加速度的杠桿放大機構(gòu)[7]；李小卿提出了一種適用于驅(qū)動模態(tài)的微機械陀螺杠桿機構(gòu)，將驅(qū)動梳齒的驅(qū)動力放大傳遞到中心質(zhì)量塊上，最終使機械靈敏度提升了5.9倍[8]。然而以上的應(yīng)用主要是在加速度計和微機械陀螺中進(jìn)行力的放大，應(yīng)用于檢測模態(tài)微機械杠桿對微機械陀螺性能的影響需要進(jìn)行分析。

1 杠桿位移放大結(jié)構(gòu)設(shè)計

微機械陀螺儀由中心質(zhì)量塊、驅(qū)動模塊、檢測模塊和彈性梁等構(gòu)成。當(dāng)驅(qū)動梳齒施加交變電壓，中心質(zhì)量塊受靜電力在驅(qū)動方向產(chǎn)生簡諧振動，當(dāng)z軸有角速度輸入時，中心質(zhì)量塊受科氏力作用發(fā)生檢測方向的位移，通過檢測差分電容的變化敏感外界角速度的大小。

傳統(tǒng)微機械陀螺檢測模塊與中心質(zhì)量塊通過解耦弓形梁直接耦合，然而當(dāng)前電容式微機械陀螺受限于工藝條件和能力的制約，不能得到較高的精度。同時為提升硅微機械陀螺的精度，靜電調(diào)諧與靜電正交解耦已成為提升微機械陀螺性能的普遍方式，雖然其提升了檢測準(zhǔn)確度，但通過相關(guān)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，檢測品質(zhì)因子會嚴(yán)重降低，檢測位移也更微弱。曹惠亮研究發(fā)現(xiàn)，全對稱結(jié)構(gòu)陀螺品質(zhì)因數(shù)在采用靜電調(diào)諧和正交解耦電極后。其品質(zhì)因數(shù)由均近似的5 000[5]，變?yōu)轵?qū)動模態(tài)品質(zhì)因數(shù)為3 820,而檢測模態(tài)品質(zhì)因數(shù)僅為388[6]。其主要原因是由于與中心質(zhì)量塊相連的調(diào)諧電極與正交解耦電極在檢測方向為壓膜阻尼，遠(yuǎn)大于檢測梳齒的滑膜阻尼?；诖嗣?，本文創(chuàng)新性的提出了一種將檢測模塊與中心質(zhì)量塊通過杠桿耦合的新型結(jié)構(gòu)。圖1為采用杠桿耦合結(jié)構(gòu)的微機械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖，圖2為傳統(tǒng)直接耦合微機械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖，兩者除杠桿結(jié)構(gòu)的區(qū)別外，其余所有機械參數(shù)均相等，以對兩者的機械性能進(jìn)行對比研究。

圖1 杠桿耦合式微機械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 直接耦合式微機械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

2 杠桿耦合式微機械陀螺機理分析

2.1 杠桿耦合式微機械陀螺動力學(xué)分析

根據(jù)杠桿耦合式微機械陀螺結(jié)構(gòu)示意圖，建立其兩自由度振動模型，如圖3所示。圖中,mc為中心質(zhì)量塊質(zhì)量，mx2為驅(qū)動模塊質(zhì)量，cx1為中心質(zhì)量塊在驅(qū)動方向上的阻尼，cx2為驅(qū)動模塊阻尼，kx1為中心質(zhì)量塊在驅(qū)動方向上的剛度，kx2為驅(qū)動模塊在驅(qū)動方向上的剛度，ms2為檢測模塊質(zhì)量，cy1為中心質(zhì)量塊在檢測方向上的阻尼，cy2為檢測模塊在檢測方向上的阻尼，ky1為中心質(zhì)量塊在檢測方向上的剛度，ky2為檢測模塊在檢測方向上的剛度，fl11為杠桿對檢測框的動力,fl12為質(zhì)量塊對杠桿提供的力。

圖3 杠桿耦合式微機械陀螺振動模型

杠桿耦合式微機械陀螺動力學(xué)方程為

1) 驅(qū)動方向：

(1)

式中：mx為x方向的運動總質(zhì)量；kx為彈性梁在x方向上的總剛度；fd為主動驅(qū)動力，即靜電力的幅值。施加杠桿前后，各分量的值不發(fā)生變化。

2) 檢測方向：

(2)

式中：B為杠桿放大倍數(shù)；y1,y2分別為中心質(zhì)量塊和檢測框的檢測位移。

(3)

進(jìn)一步化簡為

(4)

其中

(5)

式中my,cy,ky分別為檢測方向的等效質(zhì)量、等效阻尼系數(shù)及等效剛度。

將式(4)化簡為二階振蕩形式：

(6)

其中

(7)

(8)

式中:ωy為檢測系統(tǒng)的固有頻率;ξy為檢測系統(tǒng)的等效阻尼比。

對式(6)求解，當(dāng)諧振時，即ω=ωy=ωx，檢測框的穩(wěn)定位移解為

(9)

其中

(10)

式中Qy為檢測系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)。

2.2 杠桿結(jié)構(gòu)對微機械陀螺固有頻率的影響

根據(jù)式(7)可得，有杠桿結(jié)構(gòu)的微機械陀螺檢測模態(tài)的固有頻率為

(11)

無杠桿結(jié)構(gòu)的微機械陀螺檢測模態(tài)固有頻率為

(12)

令ηw為檢測模態(tài)固有頻率比，則有

(13)

由式(13)可得，M與K為對稱反比，當(dāng)M>K時，位移放大杠桿可降低陀螺檢測模態(tài)固有頻率;當(dāng)M

2.3 杠桿結(jié)構(gòu)對陀螺檢測模態(tài)諧響應(yīng)的影響

對比有、無杠桿檢測結(jié)構(gòu)的位移解。

無杠桿檢測微機械陀螺的位移為

(14)

有杠桿檢測微機械陀螺儀的位移為

(15)

引入位移比ηy：

(16)

(17)

由式(17)可得,位移放大效率由C,K,M,B4個參數(shù)決定，其中M和K由機械參數(shù)設(shè)計決定，C由機械結(jié)構(gòu)和封裝等共同決定，而與M、K并無直接聯(lián)系，因此對式(17)分為兩部分分析。

ηy(C,K,M,B)=ηy(B,C)·ηy(M,K)=

(18)

1) 對ηy(B,C)求B的偏導(dǎo)，并令其為0， 則

(19)

(20)

對式(20)求C的偏導(dǎo)：

(21)

可得C=1時取得極小值。

2) 對ηy(M,K)在cy1?cy2，B>1情況下進(jìn)行研究：

(22)

對ηy(M,K)B>1求M的偏導(dǎo),并令其為0，可得

(23)

由式(23)可得,當(dāng)B>1時，ηy(M,K)B>1隨M的增加而增加。

對ηy(M,K)求K的偏導(dǎo),并令其為0，可得

(24)

由式(24)可得，當(dāng)B>1時，ηy(M,K)B>1隨K的增加而減小。

通過式(22)分析可知，M與K成倒數(shù)關(guān)系。當(dāng)M=K時，ηy(M,K)B>1=1；當(dāng)M>K時，ηy(M,K)B>1>1；當(dāng)M1<1。其中ky2為與檢測框相連的支撐弓形梁檢測剛度與部分杠桿的非理想情況下的等效剛度，其值一般很小。因此，一般情況下M>K時，ηy(M,K)B>1>1。

通過對ηy(B,C)和ηy(M,K)的分析可得，位移放大效果主要與C和K有關(guān)，在普遍情況下，由于調(diào)諧電極和解耦電極的阻尼遠(yuǎn)大于檢測梳齒的滑膜阻尼，且M>K。ηy(B,C)和ηy(M,K)的值均大于1，故杠桿能實現(xiàn)位移放大。

3 仿真分析

3.1 杠桿結(jié)構(gòu)設(shè)計與仿真

杠桿結(jié)構(gòu)是該設(shè)計的關(guān)鍵，理想杠桿應(yīng)具有無窮小的轉(zhuǎn)動剛度和無窮大的拉壓剛度，以此實現(xiàn)有較大的力傳遞效率。本文設(shè)計了一種柔性鉸鏈杠桿結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)盡量小的力傳遞損耗，在符合加工工藝要求和杠桿設(shè)計原則的基礎(chǔ)上，設(shè)計的杠桿檢測模塊結(jié)構(gòu)如圖4所示，其中B=2.125，整體厚為80 μm,杠桿檢測模塊結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。

圖4 杠桿模塊結(jié)構(gòu)示意圖

表1 杠桿檢測模塊各段尺寸

通過有限元軟件ANSYS對杠桿檢測結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，由靜剛度法獲得ky2=154.75 N/m。

3.2 微機械陀螺模態(tài)分析

根據(jù)微機械陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)可得各部分質(zhì)量， 即ms2=330×10-9kg，mc=1 169×10-9kg，由my=mc+B2ms2=2 659.15×10-9(kg)；驅(qū)動系統(tǒng)總質(zhì)量為mx=1 425.1×10-9kg。

同理，計算微機械陀螺各部分結(jié)構(gòu)剛度，其中ky1=840 N/m，ky2=154.75 N/m，由ky=ky1+B2ky2=1 539.78(N/m)，驅(qū)動模態(tài)總剛度kx=807.1 N/m；

根據(jù)檢測系統(tǒng)各模塊的剛度與質(zhì)量，由式(11)可得ωLy=3 829.76 Hz，驅(qū)動模態(tài)固有頻率為3 790 Hz。

采用有限元仿真軟件對微機械陀螺進(jìn)行模態(tài)仿真，驗證上述理論。微機械陀螺前6階模態(tài)和振型如圖5所示。

圖5 杠桿耦合式微機械陀螺模態(tài)仿真圖

通過模態(tài)仿真結(jié)果可知，其一階模態(tài)為驅(qū)動模態(tài)，固有頻率為3 810.7 Hz，二階模態(tài)為檢測模態(tài)，固有頻率為3 810.8 Hz，與式(11)計算結(jié)果基本相等，檢測模態(tài)準(zhǔn)確率為94%，驗證了關(guān)于剛度和固有頻率的理論計算正確性。其差值原因可能是未考慮杠桿阻礙剛度和質(zhì)量，導(dǎo)致計算頻率高于仿真頻率。驅(qū)動模態(tài)與檢測模態(tài)的固有頻率基本相等，可實現(xiàn)模態(tài)匹配，且工作模態(tài)的固有頻率遠(yuǎn)高于其他模態(tài)的固有頻率，符合設(shè)計要求。

3.3 微機械陀螺諧響應(yīng)分析

為驗證微機械杠桿對陀螺檢測位移的放大效果，本文采用有限元仿真軟件ANSYS對兩個陀螺的動態(tài)諧響應(yīng)進(jìn)行仿真，其中一個在檢測方向施加杠桿結(jié)構(gòu)，另一個無杠桿結(jié)構(gòu)，其余各部分的結(jié)構(gòu)參數(shù)均相等。對兩個陀螺施加幅值均為1 μN的科氏力，其頻率為各自的諧振頻率。由于兩者結(jié)構(gòu)參數(shù)均相等，兩者的檢測框阻尼系數(shù)和中間部分(包括調(diào)諧和正交解耦梳齒)阻尼均相等，且根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]分析，后者起主要部分,據(jù)此計算仿真阻尼比。最終檢測梳齒和中心質(zhì)量塊的諧響應(yīng)仿真結(jié)果如圖6所示，仿真參數(shù)如表2所示。

圖6 微機械陀螺諧響應(yīng)仿真值

表2 結(jié)構(gòu)仿真參數(shù)

杠桿耦合陀螺直接耦合陀螺施力幅值/μN1 1施力頻率/Hz3 805～3 8174 262～4 279中間部分阻尼88×10-9檢測梳齒阻尼 11×10-9

由圖6可知，杠桿耦合陀螺在諧振下的最大位移為0.67 μm，帶寬為8 Hz。而直接耦合陀螺在諧振下最大位移為0.418 μm，帶寬為11 Hz，其檢測梳齒位移放大比為1.601。根據(jù)式(18)理論計算值1.744，準(zhǔn)確率為91.9%，驗證了杠桿檢測位移放大理論的準(zhǔn)確性。同時可看出檢測梳齒與中心質(zhì)量塊位移比為2.22，大于B，這可能是在該頻率下檢測框形成局部共振引起的，但其具體機理需進(jìn)一步分析。

4 結(jié)束語

設(shè)計了一種基于柔性杠桿的位移放大微機械陀螺。通過二階振動動力學(xué)模型分析了杠桿結(jié)構(gòu)對微機械陀螺特性的影響機理。分析表明，杠桿結(jié)構(gòu)通過改變陀螺的結(jié)構(gòu)靜剛度與等效質(zhì)量，從而改變陀螺的固有頻率值。進(jìn)一步分析了陀螺檢測位移的諧響應(yīng)值，即放大效率與杠桿放大倍數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。通過仿真實例驗證，杠桿結(jié)構(gòu)能改善結(jié)構(gòu)的固有諧振頻率，在由于靜電調(diào)諧電極等結(jié)構(gòu)導(dǎo)致檢測梳齒的阻尼小于其余部分阻尼的情況下，能顯著提升檢測位移，進(jìn)而提升檢測精度，對今后微機械陀螺的設(shè)計與制作具有較好的指導(dǎo)意義。