融合L2 和KL保真項的圖像恢復(fù)算法

劉洪琛，劉朝霞，張 龍

中央民族大學(xué) 理學(xué)院，北京100081

1 引言

圖像去噪是圖像處理研究領(lǐng)域中經(jīng)常研究的問題[1]。為了在去除噪聲的同時更好地保持圖像的清晰度、紋理特征等有用的信息，大量的去噪方法相繼出現(xiàn)[2]。其中，1992 年Rudin 等提出的全變差正則化[3]（Rudin Osher Fatemi，ROF）模型是迄今最為成功的圖像復(fù)原模型之一。全變差正則化模型在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用，但該模型有一個很大的缺點(diǎn)，易在相對平滑區(qū)域產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”[4]；基于L2范數(shù)的調(diào)和模型能有效地在平滑區(qū)域去除噪聲，但處理圖像的邊緣易模糊[5]。2007 年，艾必剛等[6]利用分?jǐn)?shù)階微積分的定義，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階微分梯度算子的頻率濾波器。該濾波器對圖像增強(qiáng)的效果較好，在增強(qiáng)細(xì)節(jié)的同時，能夠有效去除噪聲，但同時也增加了計算復(fù)雜程度；2016 年，石玉英等[7]提出了基于L1和L2混合保真項的圖像恢復(fù)模型，充分發(fā)揮了L1和L2保真項的優(yōu)點(diǎn)，有效地去除了高斯-椒鹽混合噪聲并保留圖像的有效信息，但還是存在較大程度的階梯效應(yīng)；2018 年，馬紅強(qiáng)等[8]提出了基于改進(jìn)棧式稀疏去噪自編碼器的圖像去噪模型，降噪效果良好。但是需要數(shù)據(jù)集訓(xùn)練模型，增加了訓(xùn)練成本；同年，尹芳等[9]提出了新的小波域Wener濾波器和Perona-Malik融合去噪算法，具有良好的去噪和抑制偽吉布斯的能力，但是對于計算時間的控制有待提升。

常見噪聲有高斯噪聲、脈沖噪聲、泊松噪聲等。高斯噪聲是指它的概率密度函數(shù)服從高斯分布（即正態(tài)分布）的一類噪聲，包括起伏噪聲、熱噪聲等；泊松噪聲是一種噪聲分布符合泊松分布模型的與信號有關(guān)的噪聲，包含在各種應(yīng)用中，如射線照相、熒光顯微鏡、正電子發(fā)射斷層掃描（Positron Emission Tomography，PET）、光學(xué)納米檢測和天文成像應(yīng)用[5]?；謴?fù)被泊松噪聲破壞的模糊圖像是困難的。工業(yè)領(lǐng)域中，X射線圖像檢測作為一種無損、無接觸和高分辨率的缺陷檢測方法，X 射線在成像過程中，會受到不同類型噪聲污染。X射線圖像的噪聲不能簡單用單一的噪聲模型來表示，它表現(xiàn)為高斯-泊松混合噪聲，因此，去除高斯-泊松混合噪聲具有很廣泛的應(yīng)用場景[10]。

為了有效抑制高斯-泊松混合噪聲，獲得更好的視覺效果，本文提出基于L2和Kullback-Leibler（KL）散度作為保真項（KL保真項）與兩個正則項相結(jié)合的圖像恢復(fù)的變分模型，并用增廣拉格朗日算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，針對目前的幾種去除高斯-泊松混合噪聲方法的局限性，所提出的新模型不僅保留了圖像的邊緣信息，減少了圖像的“階梯效應(yīng)”，增強(qiáng)了圖像的視覺效果，同時有效降低了均方根誤差，得到了更高的峰值信噪比，CPU 的計算時間更短，并且不需要針對特定的訓(xùn)練集進(jìn)行訓(xùn)練，提高了算法的效率，說明了算法的必要性和優(yōu)越性。

2 圖像去噪的變分方法

不失一般性，用M×N 矩陣表示一幅灰度圖像，V=RM×N，離散的梯度算子?:V →Q，其中Q=V×V ，f=Ku+n，f ∈V 是觀察到的圖像，u ∈V 是真實(shí)圖像，n ∈V 為噪聲算子，K:V →V 為模糊算子，M ，N 是圖像大小。

2.1 調(diào)和模型

1977年，Tikhonov等[11]提出調(diào)和模型：

此模型能在在平滑區(qū)有效地去除噪聲，但是該模型朝各個方向的擴(kuò)散能力相同，容易模糊圖像的邊緣輪廓等細(xì)節(jié)信息。

2.2 ROF模型

基于L2保真項的全變差圖像恢復(fù)模型（ROF 模型），是圖像去噪中很成功的模型之一[3]。ROF模型為：

在模型中，保真項體現(xiàn)出所恢復(fù)的圖像與原圖之間的估計殘差，估計殘差越大，保真項的值越大，反之亦然。為保證函數(shù)為凸函數(shù)，保真項的指數(shù)取值范圍是[1，2]，取值2 時即為L2保真項。在各向同性擴(kuò)散的過程中L2保真項針對不同的估計殘差賦予其相應(yīng)的權(quán)重[12-13]，保證了在去除高斯噪聲時的魯棒性[14]。

此模型能很好保存圖像的邊緣特征，但是在處理圖像相對光滑的區(qū)域部分會產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。

2.3 TV-KL模型

根據(jù)泊松噪聲分布的特點(diǎn)，在文獻(xiàn)[5，15]中使用Kullback-Leibler散度作為保真項（KL保真項）的全變差圖像恢復(fù)模型（Total Variation Kullback-Leibler，TV-KL模型）用于解決這個問題。TV-KL模型為：

TV-KL 模型比標(biāo)準(zhǔn)的期望最大化（EM）重建（其中 不應(yīng)用TV 正則項）[16]表現(xiàn)得更穩(wěn)定和穩(wěn)健，并且比ROF 模型去除Poisson噪聲的效果更好，但也會產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。

2.4 改進(jìn)的MS模型

由于‖ ‖?uL1會產(chǎn)生階梯效應(yīng)，為了克服這個問題，文獻(xiàn)[17]中提出了一個改進(jìn)的模型——MS（Mumford-Shah）模型。文獻(xiàn)[7]中提出了一個求解MS模型的近似模型：

使用KL保真項的全變差圖像恢復(fù)模型能有效地去除Poisson 噪聲。基于模型式（4），相應(yīng)去除Poisson 噪聲的模型為：

2.5 保真項混合模型

文獻(xiàn)[10]中為了去除高斯-泊松混合噪聲提出了基于混合Kullback-Leibler散度作為保真項和L2保真項的全變差模型，該模型為：

此模型中L2保真項能有效去除高斯噪聲，基于混合KL保真項能有效去除泊松噪聲，增強(qiáng)了去噪性能。

3 改進(jìn)的圖像恢復(fù)模型

綜合考慮調(diào)和模型、TV-KL模型、改進(jìn)MS模型、保真項混合模型的優(yōu)點(diǎn)，并且受文獻(xiàn)[6，18]的啟發(fā)，提出了對高斯-泊松混合噪聲去噪的圖像恢復(fù)模型：

其中，α ≥0 是平衡正則項和保真項的參數(shù)，r1≥0,r2≥0用來調(diào)節(jié)高斯噪聲和泊松噪聲在總數(shù)據(jù)保真項中的比例，依據(jù)文獻(xiàn)[10]，比例系數(shù)可根據(jù)對噪聲的先驗(yàn)知識或采用統(tǒng)計方法來確定。在此模型中，保真項。

從式（7）可知，當(dāng)r1＞0,r2＞0,α=0，調(diào)整為模型（6），其可以較好地去除高斯-泊松混合噪聲，并且保持邊緣等細(xì)節(jié)信息[19]；當(dāng)r1=0,r2＞0,α ＞0 時，調(diào)整為模型（5），可較好地去除高斯噪聲，并且在一定程度上克服階梯效應(yīng)。

模型（7）和模型（5）不同的是，保真項采用L2和KL保真項的混合項，提高了去除高斯噪聲的能力，一定程度上有效避免了階梯效應(yīng)；模型（7）和模型（6）不同的是，正則項采用的∫Ω||?u2和∫Ω||?u 的混合正則項，提高了在平滑區(qū)去除噪聲的能力。因此，通過融合思想而提出的新模型充分體現(xiàn)了KL保真項和L2保真項的特點(diǎn)，集合了模型（5）（6）中的優(yōu)點(diǎn)，可以更為有效地去除高斯-泊松混合噪聲，并且優(yōu)化了模型（5）（6）的不足，在一定程度上避免了階梯效應(yīng)，保持了邊緣細(xì)節(jié)信息。在本文中，將提出的模型（7）記為新模型。

4 增廣拉格朗日方法求解該模型

增廣拉格朗日方法[10]的基本思想是引入拉格朗日乘子和懲罰項將帶約束的問題轉(zhuǎn)換成無約束問題進(jìn)行求解。本章使用增廣拉格朗日方法求解新模型。由于?u 的不可微性和非線性，因此需要引入新的變量[20]。

下面引入兩個新的變量p ∈Q 和z ∈V，上述式（7）等價于解下面這個帶約束泛函的極值問題：

使用增廣拉格朗日方法將上述帶約束問題轉(zhuǎn)換成下列不帶約束的問題，定義增廣拉格朗日泛函如下：

其中拉格朗日乘子λp∈Q，λz∈V ，正則化參數(shù)rp＞0，rz＞0。

求解問題式（3）轉(zhuǎn)化為求解增廣拉格朗日泛函的鞍點(diǎn)問題：

仿照文獻(xiàn)[20]，可以類似地證明鞍點(diǎn)問題（10）至少有一個解。對于上述鞍點(diǎn)問題，使用迭代算法解決，算法如下：

（1）初始化u0=0,p0=0,z0=0 和

（3）更新拉格朗日乘子：

u-子問題。給定p,z，有：

p-子問題。給定u,z，有：

z-子問題。給定u,p，有：

下面使用交替求極小的算法求解上述三個子問題：

（1）解決u-子問題（12）

由邊界條件和極小化條件[19-20]，式（12）對應(yīng)的Euler-Lagrange方程為：

使用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT）求解上述線性方程，定義F(u) 為u 的傅里葉變換，通過傅里葉變換可計算u：

（2）解決p-子問題（13）式（13）簡化為：

由邊界條件和極小化條件[19-20]，式（14）對應(yīng)的Euler-Lagrange方程為：

參考文獻(xiàn)[18]中對模型（15）算法收斂性的證明，以及結(jié)合文獻(xiàn)[22]中對增廣拉格朗日算法應(yīng)用于TV模型的收斂準(zhǔn)確性證明，可以證明提出的模型（7）在增廣拉格朗日算法中是嚴(yán)格收斂的，準(zhǔn)確性較高。

圖1 測試圖像

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證新模型的有效性，仿真實(shí)驗(yàn)均在AMD A8-3500M APU1.5 GHz CPU，24 GB RAM，Windows 7操作系統(tǒng)且運(yùn)行環(huán)境為MATLAB 8.4.0.150421（R2014b）實(shí)驗(yàn)環(huán)境下實(shí)現(xiàn)。首先，給出模型參數(shù)的設(shè)置，參數(shù)拉格朗日乘子λp,λz是在算法迭代過程中引入的，它的選取對去噪結(jié)果圖像的影響非常小，均取值為0，參考文獻(xiàn)[10]、[23]與[24]中選取參數(shù)的方法，根據(jù)對噪聲的先驗(yàn)知識，通過重復(fù)實(shí)驗(yàn)，選取r1=20 ，r2=10 ，α=2，rp=20，rz=4。在此實(shí)驗(yàn)中，對測試圖像使用Matlab代碼“imnoise（u，‘gaussian’，0，r）”添加方差為r 的高斯噪聲（Gaussian Noise，GN），使用Matlab代碼“imnoise（u，‘Poisson’）（根據(jù)圖像數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)生成泊松噪聲，而不是向數(shù)據(jù)添加人為噪聲）添加泊松噪聲（Poisson Noise，PN），其中，u 是原始圖像，為了簡單起見，G（0.01）表示對測試圖像添加方差為0.01的高斯噪聲；P表示對測試圖像添加泊松噪聲：G（0.02）+P表示對測試圖像添加方差為0.02的高斯噪聲和泊松噪聲。圖1中的圖像是從測試圖像中選取的6 幅圖像，Pepper 圖像、Man 圖像、Cameraman 圖像、Tablet 圖像、Lena 圖像大小均為256×256，Brain 圖像大小為709×591。為了客觀評價圖像去噪模型的性能，引入了峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PNSR）和結(jié)構(gòu)相似度（Structural Similarity Index，SSIM）兩個客觀評價指標(biāo)。PSNR越大且SSIM越大，算法的去噪效果越好。其定義分別如下：

其中，f 是去噪后圖像，u 是原始圖像，M ，N 是圖像大小，μf和μu分別是f 和u 的均值，σf和σu分別是f和u 的方差。實(shí)驗(yàn)中為了簡介，所選取的對比模型有使用Kullback-Leibler 散度作為保真項的全變差圖像恢復(fù)模型（TV-KL）、改進(jìn)MS模型（Mix Regularization Term，MRT），以及保真項混合模型（Mix Fidelity Term，MFT）。

表1和表2給出了5幅測試圖像在添加不同比例噪聲時的峰值信噪比（PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）的比較，從表1 和表2 中可得，在添加方差較小的高斯-泊松混合噪聲，新模型和MFT 模型的PSNR 與SSIM 比較接近，并且高于TV-KL模型和MRT模型。但是，隨著添加方差增大的高斯-泊松混合噪聲時，四種模型對應(yīng)的PSNR都比較低，分析其原因，當(dāng)混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，圖像中的邊緣、紋理等幾何結(jié)構(gòu)信息丟失很多。在添加高斯噪聲方差增大過程中，總體上新模型的PSNR 的值比其他模型大，SSIM 的值也大于其他模型，由于新模型結(jié)合了調(diào)和模型有效處理圖像平滑區(qū)域與TV-KL 模型有效保存圖像邊緣信息的優(yōu)勢，并且L2保真項能有效去除高斯噪聲，基于混合Kullback-Leibler散度作為保真項能有效去除泊松噪聲。

表1 去噪圖像PSNR對比 dB

表2 去噪圖像SSIM對比

圖2 比較了在添加不同高斯-泊松混合噪聲下Pepper 圖像的恢復(fù)結(jié)果。第一行到第四行，對測試圖像Pepper 分別添加G（0.01）+P、G（0.02）+P、G（0.03）+P、G（0.04）+P的混合噪聲。Pepper圖像的特點(diǎn)主要包含平滑和邊緣部分，紋理較少。根據(jù)圖像的視覺效果，針對添加不同方差的混合噪聲，MFT 模型的圖像恢復(fù)能力相對較弱，在添加混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，去噪后得到的圖像比較模糊，同時圖像的結(jié)構(gòu)和邊緣信息也未能恢復(fù)。MRT模型對圖像平滑部分的去噪效果較好，不足的是當(dāng)圖像添加高斯噪聲方差增大時邊緣細(xì)節(jié)信息丟失較多。TV-KL模型去噪能力很強(qiáng)，但是易產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。而提出的新模型不僅去噪能力很強(qiáng)，圖像的結(jié)構(gòu)和邊緣信息得到有效的恢復(fù)，而且在一定程度上程度上抑制了“階梯效應(yīng)”。

對于如Man 圖像、Cameraman 圖像這類圖像紋理、邊緣等幾何結(jié)構(gòu)較多的圖像，分別添加G（0.01）+P、G（0.02）+P、G（0.03）+P、G（0.04）+P 的混合噪聲。選擇其中一部分去噪后的圖像，如圖3和圖4所示，其中圖3的第一行添加G（0.01）+P 混合噪聲，第二行添加了G（0.03）+P 混合噪聲，整體而言，當(dāng)添加混合噪聲中高斯噪聲方差較小時，新模型不僅去除了大部分噪聲，輪廓更加簡潔，紋理信息得到更好的保持，有很好的視覺效果，并且有較高的評價指標(biāo)。雖然MRT 模型也有較高的評價指標(biāo)，但是得到結(jié)果圖像過于光滑，產(chǎn)生了“階梯效應(yīng)”。

對于如Lena圖像、Tablet這類含有豐富紋理和邊緣信息的圖像，圖5～7 中，四種方法得到的圖像恢復(fù)結(jié)果和圖2基本一致。從局部放大圖像可看到，新模型去除高斯-泊松混合噪聲的效果更好，噪聲斑點(diǎn)較少（圖5（i）），MFT 模型雖然能在一定程度上去除高斯-泊松混合噪聲（圖5（h）），但是當(dāng)混合噪聲中高斯噪聲方差較大，MFT模型處理的結(jié)果圖像變得模糊，圖像分辨率降低，并且邊緣特征信息也不能被保持（圖6（h））。新模型可以有效地去除混合噪聲并且較好地恢復(fù)了圖像的紋理結(jié)構(gòu)信息（圖5（i）），較好地保留了圖像的邊緣信息，當(dāng)混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，新模型處理的效果也比較好（圖6（i）和圖7（i））。MRT 模型去除混合噪聲效果也比較好（圖5（g）），但是當(dāng)混合噪聲中高斯噪聲方差較大時，MRT模型處理的結(jié)果圖過于光滑（圖6（g）和圖7（g））。

圖2 添加不同高斯-泊松混合噪聲的Pepper圖像恢復(fù)效果比較

圖3 添加G（0.01）+P，G（0.03）+P噪聲的Man圖像恢復(fù)效果比較

圖4 添加G（0.04）+P混合噪聲的Cameraman圖像恢復(fù)效果比較

圖5 添加G（0.01）+P混合噪聲的Lena圖像恢復(fù)圖像及局部放大圖像比較

圖6 添加G（0.03）+P混合噪聲的Lena圖像恢復(fù)圖像及局部放大圖像比較

圖7 添加G（0.02）+P混合噪聲的Tablet圖像恢復(fù)圖像及局部放大圖像比較

最后，通過CPU 時間來比較幾種模型的時間復(fù)雜度，表3統(tǒng)計了5幅圖像在添加G（0.01）+P、G（0.02）+P、G（0.03）+P、G（0.04）+P 的混合噪聲下的平均運(yùn)行時間。由表3可知，新模型運(yùn)行時間最短，其次是TV-KL，然后是MRT模型，MFT模型的運(yùn)行時間最長。因此，從去噪的運(yùn)行效率上來看，新模型相對于TV-KL 模型、MRT模型、MFT模型有比較強(qiáng)的優(yōu)勢。

表3 不同混合噪聲下圖像恢復(fù)運(yùn)行時間對比s

6 結(jié)束語

為了有效抑制高斯-泊松混合噪聲，獲得更好的視覺效果，本文在綜合考慮TV-KL模型、MRT模型和MFT的優(yōu)點(diǎn)，提出基于L2和KL保真項與兩個正則項相結(jié)合的圖像恢復(fù)的變分模型，并用增廣拉格朗日方法對模型進(jìn)行化簡，化為三個子問題進(jìn)行快速求解。為了加速計算，使用FFT 來解決u 子問題。對添加不同高斯-泊松混合噪聲的測試圖像進(jìn)行數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明提出的新模型有效去除了混合噪聲，恢復(fù)了圖像的紋理結(jié)構(gòu)信息，圖像的邊緣特征被更好地保持，同時模型的算法也具有較高的執(zhí)行效率，并且一定程度上抑制了“階梯效應(yīng)”。另一方面，本文提供的測試圖片和實(shí)際生活需要處理的圖片還存在一定的差距，因此，在后續(xù)的研究工作中，會尋找更加高效的、實(shí)現(xiàn)效果更好的去除高斯-泊松混合噪聲的圖像恢復(fù)模型。