考慮融合算法與交叉熵的畢達(dá)哥拉斯決策模型

宋 娟

寧夏大學(xué) 物理與電子電氣工程學(xué)院 寧夏沙漠信息智能感知重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，銀川750021

1 引言

管理決策分析主要用于在可數(shù)的備選策略或?qū)ο蠹现?，依?jù)相關(guān)的指標(biāo)或標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，最終優(yōu)選出綜合條件最好的策略或?qū)ο骩1-2]。由于現(xiàn)實(shí)管理決策問題復(fù)雜性急劇增加，20 世紀(jì)60 年代，著名學(xué)者Atanassov在模糊集理論[3]的基礎(chǔ)上，引入了以隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)為特征的直覺模糊集[4]的概念，這是對(duì)模糊集概念的一種推廣形式，因?yàn)槟：幕境煞种皇请`屬函數(shù)。對(duì)于直覺模糊集中的元素，每對(duì)有序組合的隸屬度和非隸屬度之和小于或等于1。文獻(xiàn)[5]提出了直覺模糊加權(quán)平均算子、直覺模糊有序加權(quán)平均算子和直覺模糊混合聚集算子。隨后，文獻(xiàn)[6]建立了直覺模糊加權(quán)幾何算符、直覺模糊有序加權(quán)幾何算符、直覺模糊混合幾何算符等幾何集合算符，并將其應(yīng)用于評(píng)價(jià)信息為直覺模糊數(shù)的多屬性群決策問題中。文獻(xiàn)[7]基于阿基米德范數(shù)定義了直覺模糊廣義運(yùn)算法則，并構(gòu)建了廣義形式直覺模糊信息集成算子，探究了它們的一些常用算子形式。Vlachos 和Sergiadis[8]引入了直覺模糊交叉熵的概念，并且將其應(yīng)用于模式識(shí)別、醫(yī)療診斷和圖像分割中。

雖然直覺模糊集得到了廣泛的運(yùn)用，但是其有時(shí)候也會(huì)存在一些缺陷。比如，當(dāng)專家提供的隸屬度為0.6，非隸屬為0.7 時(shí)，這種情況下就不能夠運(yùn)用直覺模糊集來表達(dá)專家評(píng)價(jià)信息。于是，作為直覺模糊集的擴(kuò)展模糊集，畢達(dá)哥拉斯模糊集[9]就被提出，其雖然也是以隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)為特征，但是不同于直覺模糊數(shù)，畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)中隸屬度和非隸屬度的平方和小于或等于1，因此畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)能描述更多的不確定信息[10]。類似于直覺模糊集，信息融合算法和交叉熵理論也是畢達(dá)哥拉斯模糊集理論的兩個(gè)重要研究課題[11]。Reformat 和Peng 和Yang[12]構(gòu)建了畢達(dá)哥拉斯模糊優(yōu)劣關(guān)系排序方法來解決畢達(dá)哥拉斯模糊多準(zhǔn)則組決策問題。Ren 等[13]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊TODIM 多準(zhǔn)則決策方法。Zeng 等[14]構(gòu)建了一種混合方法應(yīng)用于畢達(dá)哥拉斯模糊多準(zhǔn)則決策問題。Garg[15]提出了一種新的廣義畢達(dá)哥拉斯模糊信息聚集方法。Wei[16]利用算術(shù)和幾何運(yùn)算開發(fā)了一些畢達(dá)哥拉斯模糊交互聚合算子，其中包括畢達(dá)哥拉斯模糊交互加權(quán)平均算子、畢達(dá)哥拉斯模糊交互加權(quán)幾何算子、畢達(dá)哥拉斯模糊交互有序加權(quán)平均算子、畢達(dá)哥拉斯模糊交互有序加權(quán)平均算子、畢達(dá)哥拉斯模糊交互混合平均算子、畢達(dá)哥拉斯模糊交互混合幾何算子等等。文獻(xiàn)[17]基于正弦函數(shù)和正切函數(shù)設(shè)計(jì)了兩種畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵，然后建立相應(yīng)的決策模型，并應(yīng)用于綠色供應(yīng)商的選擇問題中，但是其中的交叉熵計(jì)算方法較為復(fù)雜。

綜上分析可知，信息融合算法和交叉熵對(duì)于深入研究畢達(dá)哥拉斯模糊集理論具有重要作用。然而現(xiàn)有的這些融合算法缺乏考慮輸入屬性值間存在的內(nèi)在關(guān)系，同時(shí)忽略了領(lǐng)導(dǎo)者在決策中的重要價(jià)值；另一方面，現(xiàn)有研究中信息集成算法較為單一，沒有一個(gè)較為統(tǒng)一的融合形式。因此，本文首先定義了廣義畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)運(yùn)算法則，并結(jié)合幾何Heronian 平均[18]，提出靈活性更高且能夠挖掘數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性的畢達(dá)哥拉斯模糊幾何Heronian平均算子，同時(shí)基于對(duì)數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)了計(jì)算方式較為簡(jiǎn)單的畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵，最后構(gòu)建新的畢達(dá)哥拉斯模糊決策模型，并通過引進(jìn)人才團(tuán)隊(duì)案例驗(yàn)證模型的可靠性。

2 預(yù)備內(nèi)容

定義1[18]令ai≥0(i=1,2,…,n)，p,q ＞0，則稱：

為a1,a2,…,an的幾何Heronian 平均，簡(jiǎn)記為GHM。事實(shí)上，GDM 在對(duì)數(shù)據(jù)融合的過程中不僅可以挖掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能夠突出領(lǐng)導(dǎo)人在決策中的重要地位。

面對(duì)現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜決策問題，學(xué)者們通過引入畢達(dá)哥拉斯模糊集來對(duì)決策評(píng)價(jià)信息進(jìn)行全面的概括。定義2[9]令Y={y1,y2,…,ym}是給定的方案集，則稱：

為畢達(dá)哥拉斯模糊集，這里的μA(yi),νA(yi)均表示Y 到[0，1]上的函數(shù)，分別表示隸屬度和非隸屬度，且(yi)+(yi)∈[0,1]。為了便于計(jì)算，稱αi=(μi,νi)=(μA(yi),νA(yi))為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，記Ω 為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)集合。

現(xiàn)有成果中定義在畢達(dá)哥拉斯模糊信息上的基本運(yùn)算法則大部分是基于代數(shù)運(yùn)算或Einstein 運(yùn)算得到的。為了擴(kuò)大畢達(dá)哥拉斯模糊信息融合算法的使用范圍和靈活性，豐富信息融合算法樣式，下面將介紹新的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)基本運(yùn)算法則。

定義3 令α=(μ,ν),α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2) 均為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，定義新的基本運(yùn)算法則：

這里的函數(shù)g(t)具有單減性，函數(shù)h(t)具有單增性，且h(t)=g(1-t)，h-1(t)=1-g-1(t)。

3 PFGHM算子的構(gòu)建和基本性質(zhì)

對(duì)于一列畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，本章基于第2章中定義的基本運(yùn)算法則和幾何Heronian平均，提出畢達(dá)哥拉斯模糊幾何Heronian 平均（PFGHM）算子，該算子在挖掘畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)關(guān)聯(lián)關(guān)系和突出領(lǐng)導(dǎo)人重要地位的同時(shí)，還擴(kuò)大了信息集成算子的靈活性。

定義4 令αi(i=1,2,…,n)為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，參數(shù)p,q ＞0，如果映射PFGHM:Ωn→Ω 滿足：

則 稱PFGHM(α1,α2,…,αn) 為 畢 達(dá) 哥 拉 斯 模 糊 幾 何Heronian平均（PFGHM）算子。

定理1 令αi(i=1,2,…,n)為一組畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，參數(shù)p,q ＞0，則運(yùn)用PFGHM 算子集成的結(jié)果也是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，并且有：

證明（1）首先證明公式（4）成立。由于：

則

那么

所以

從而

（2）接下來證明運(yùn)用PFGHM 算子集成的結(jié)果也是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)。易知PFGHM 算子集成結(jié)果的隸屬度和非隸屬度均為非負(fù)數(shù)。下面將詳細(xì)分析PFGHM算子集成結(jié)果的隸屬度和非隸屬度的平方和不超過1。

而g(t)和g-1(t)單調(diào)遞減，h-1(t)=1-g-1(t)，所以

隨后有：

于是

因此

則

那么

上式即表示PFGHM 算子集成結(jié)果的隸屬度和非隸屬度的平方和不超過1。

于是證明了定理1的結(jié)論正確。

接下來，將簡(jiǎn)單分析PFGHM算子一些性質(zhì)。

性質(zhì)1（冪等性）令專家給定的一列畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)αi=(μi,νi)(i=1,2,…,n)均相同，即αi=α,i=1,2,…,n，則有：

性質(zhì)2（單調(diào)性）令αi=(μi,νi),βi=(φi,φi)(i=1,2,…,n)是兩列不同的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，若μi≤φi,νi≥φi,i=1,2,…,n，于是：

性質(zhì)3（有界性）令專家給定的一列畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)αi=(μi,νi)(i=1,2,…,n)，那么：

性質(zhì)4（置換性）令{α′1,α′2,…,α′n}是{α1,α2,…,αn}通過隨機(jī)排列后得到的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)序列，那么：

PFGHM(α′1,α′2,…,α′n)=PFGHM(α1,α2,…,αn)（11）

4 畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵及其計(jì)算模型

不同信息環(huán)境下數(shù)據(jù)之間通常存在著一定的差異性，而交叉熵就是衡量決策信息間差異性的一種有效工具，其也是模糊信息測(cè)度中的一種較為常用形式。本文在構(gòu)建模型的過程中，將借鑒TOPSIS 思想刻畫備選方案和正負(fù)理想方案之間的差異程度。因此，本章首先提出了畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵的公理化定義條件，并結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)造出計(jì)算方法更為簡(jiǎn)便的交叉熵計(jì)算模型，該模型從隸屬度和非隸屬度兩個(gè)角度進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而保證了交叉熵計(jì)算模型的可靠性和精確性。

定義5 假定α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2)是兩個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則稱二元函數(shù)C(x,y)是畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵，如果其滿足：

（1）C(α1,α2)≥0；

（2）C(α1,α2)=0 當(dāng)且僅當(dāng)μ1=μ2,ν1=ν2。

假設(shè)α1=(μ1,ν1),α2=(μ2,ν2) 都是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，基于對(duì)數(shù)函數(shù)，構(gòu)建下面的信息測(cè)度公式：

定理2 通過公式（12）構(gòu)建得到的信息測(cè)度c(α1,α2)是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)α1和α2的交叉熵。

證明 在證明信息測(cè)度（12）滿足定義5的兩個(gè)條件之前，首先設(shè)計(jì)如下函數(shù)：

因此c(α1,α2)≥0。

（2）c(α1,α2)=0 ?

綜上，證明了定理2的結(jié)論成立。

5 畢達(dá)哥拉斯模糊決策算法及其應(yīng)用

5.1 決策模型

令Y={y1,y2,…,ym}和C={C1,C2,…,Cn}分別是決策問題中給定的方案集和指標(biāo)評(píng)價(jià)屬性集合。專家提供屬性值信息運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)αij來表示。為了進(jìn)行備選方案的優(yōu)選，下面將運(yùn)用本文提出的PFGHM算子和交叉熵模型構(gòu)建一種新的畢達(dá)哥拉斯模糊決策算法。具體如下：

步驟1 依據(jù)專家提供的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)評(píng)價(jià)信息，構(gòu)造出畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣P=(αij)m×n，并根據(jù)實(shí)際問題背景將矩陣P=(αij)m×n進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到新的畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣Q=(βij)m×n。

步驟2 運(yùn)用PFGHM 算子將畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣Q=(βij)m×n中的每一行屬性評(píng)價(jià)值進(jìn)行融合，生成備選方案對(duì)應(yīng)的綜合評(píng)價(jià)值βi(i=1,2,…,m)。

步驟3 運(yùn)用公式（12）計(jì)算βi(i=1,2,…,m)分別與正理想方案α+=(1,0)和負(fù)理想方案α-=(0,1)的交叉熵c(αi,α+)和c(αi,α-)。

步驟4 計(jì)算備選方案yi(i=1,2,…,m)對(duì)應(yīng)的綜合評(píng)價(jià)值βi的貼近度：

步驟5 依據(jù)貼近度的大小，對(duì)備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序，并選擇最優(yōu)方案。

5.2 模型應(yīng)用

為了加快實(shí)現(xiàn)高校雙一流建設(shè)的目標(biāo)，某高校人事部門依據(jù)建立的人才引進(jìn)計(jì)劃，擬引入一個(gè)人才團(tuán)隊(duì)。在眾多應(yīng)聘的人才團(tuán)隊(duì)中，該高校人事部門已對(duì)應(yīng)聘團(tuán)隊(duì)的基本條件和業(yè)務(wù)水平進(jìn)行了初步篩選，最后有四個(gè)人才團(tuán)隊(duì){y1,y2,y3,y4}入圍綜合面試流程。為了對(duì)面試的人才團(tuán)隊(duì)進(jìn)行綜合素質(zhì)考察，該高校人才引進(jìn)小組將從以下四個(gè)方面對(duì)參與面試的人才隊(duì)伍進(jìn)行評(píng)估，分別包括：科研能力C1、教學(xué)能力C2、人才團(tuán)隊(duì)人員分布合理性C3以及科研規(guī)劃C4。為了更為全面表示不確定評(píng)價(jià)信息，人才引進(jìn)小組在評(píng)估時(shí)運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)αij進(jìn)行了信息的表達(dá)，并構(gòu)建了如下的畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)決策矩陣P=(αij)4×4：

步驟1 由于人才隊(duì)伍的四個(gè)考核指標(biāo)均為收益性，因此原始畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)決策矩陣P=(αij)4×4不需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

步驟3 運(yùn)用設(shè)計(jì)的畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵計(jì)算公式（12）確定四個(gè)人才團(tuán)隊(duì)對(duì)應(yīng)的綜合屬性信息αi(i=1,2,3,4)與正理想人才團(tuán)隊(duì)α+=(1,0)和負(fù)理想人才團(tuán)隊(duì)α-=(0,1)的交叉熵，計(jì)算結(jié)果如下：

步驟4 通過公式（14）計(jì)算得到四個(gè)人才團(tuán)隊(duì)綜合評(píng)價(jià)值αi(i=1,2,3,4)的貼近度分別為：

Γ1=0.454 1,Γ2=0.547 8,Γ3=0.529 4,Γ4=0.487 3

步驟5 由于Γ2＞Γ3＞Γ4＞Γ1，那么這四個(gè)人才團(tuán)隊(duì)的綜合素質(zhì)優(yōu)劣順序?yàn)閥2?y3?y4?y1，因此建議該校人事部門聘請(qǐng)人才團(tuán)隊(duì)y2。

為了說明本文提出的PFGHM 算子的穩(wěn)定性，接下來，令函數(shù)g(t)=（p=q=1），此時(shí)運(yùn)用新的PFGHM算子形式，并結(jié)合畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵，計(jì)算得到四個(gè)人才團(tuán)隊(duì)的綜合素質(zhì)優(yōu)劣順序結(jié)果見表1。分析表1中的決策結(jié)果可知，當(dāng)PFGHM 算子運(yùn)用不同的函數(shù)g(t)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，最終得到的四個(gè)人才團(tuán)隊(duì)的綜合素質(zhì)優(yōu)劣順序結(jié)果相同，這也說明了本文提出的PFGHM算子的內(nèi)在一致性。

表1 人才團(tuán)隊(duì)優(yōu)選結(jié)果

為了說明構(gòu)建的畢達(dá)哥拉斯模糊決策算法的合理性和有效性，下面將分別運(yùn)用文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[17]中的算法模型處理上述的人才團(tuán)隊(duì)優(yōu)選問題。文獻(xiàn)[19]主要是依據(jù)設(shè)計(jì)的畢達(dá)哥拉斯模糊冪加權(quán)平均算子對(duì)專家的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行融合，并基于設(shè)計(jì)的算子構(gòu)建一個(gè)畢達(dá)哥拉斯決策方法。文獻(xiàn)[17]則通過正弦函數(shù)和正切函數(shù)設(shè)計(jì)了兩個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊交叉熵計(jì)算模型，同時(shí)構(gòu)造出畢達(dá)哥拉斯模糊決策方法。在分別運(yùn)用文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[17]中的決策方法計(jì)算上述人才團(tuán)隊(duì)優(yōu)選問題時(shí)，得到的最終結(jié)果詳見表1所示。

通過表1中的決策結(jié)果可知，運(yùn)用本文構(gòu)建的決策模型與文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[17]得到的最優(yōu)人才團(tuán)隊(duì)均為y2，這說明了構(gòu)建的基于PFGHM算子和交叉熵的畢達(dá)哥拉斯模糊決策算法是合理的。進(jìn)一步，深入分析表1中四個(gè)人才團(tuán)隊(duì)綜合素質(zhì)優(yōu)劣順序的結(jié)果可知，文獻(xiàn)[19]中決策算法計(jì)算得到的結(jié)果與本文方法計(jì)算結(jié)果存在一定的差異，即人才團(tuán)隊(duì)y1和y4的優(yōu)劣序不同。事實(shí)上，根據(jù)專家提供的原始畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣P=(αij)4×4可知，y4對(duì)應(yīng)的屬性評(píng)價(jià)值大部分都高于y1對(duì)應(yīng)的屬性評(píng)價(jià)值，即y4?y1，這與本文算法的計(jì)算結(jié)果相一致。另一方面，文獻(xiàn)[19]中決策算法是運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯模糊冪加權(quán)平均算子進(jìn)行信息的融合計(jì)算，其在計(jì)算過程中沒有考慮到專家提供的評(píng)價(jià)信息之間存在相互聯(lián)系的情形。因此，本文提出的決策模型更為合理可靠。

6 結(jié)束語

本文首先定義了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的新運(yùn)算法則，然后將幾何Heronian 平均融入到畢達(dá)哥拉斯模糊決策信息的集成過程中，提出了畢達(dá)哥拉斯模糊幾何Heronian平均算子，該算子不僅能夠挖掘輸入屬性值的內(nèi)在聯(lián)系，還可以突出領(lǐng)導(dǎo)者的重要存在價(jià)值；緊接著，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)了衡量畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)之間差異的交叉熵；最后，建立了新的畢達(dá)哥拉斯模糊決策模型，并通過高校引進(jìn)人才團(tuán)隊(duì)實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證分析。本文在信息融合的過程中，僅考慮了屬性權(quán)重相同的情形，因此，今后將基于信息熵設(shè)計(jì)合理可靠的屬性權(quán)重計(jì)算方法以完善畢達(dá)哥拉斯模糊信息融合理論。