考慮繩阻尼的繩系并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性分析

彭苗嬌，吳惠松，林麒，周凡桂，柳汀，王曉光

（廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，廈門361005）

繩索具有線密度低、強(qiáng)度高、柔性好等特點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于各種工程領(lǐng)域，包括斜拉橋［1］、船舶起重［2］、繩系衛(wèi)星［3］、大型射電望遠(yuǎn)鏡［4］、風(fēng)洞試驗(yàn)［5-7］等。繩索的阻尼特性是影響機(jī)構(gòu)功能的重要因素之一，也是設(shè)計(jì)中需要考慮的重要參數(shù)。繩索的材料、長(zhǎng)度、直徑、預(yù)緊力不同，都會(huì)導(dǎo)致繩索阻尼有較大差異，而目前尚缺乏可靠、完整的繩索阻尼數(shù)據(jù)庫可供查詢。

阻尼的理論計(jì)算方法有復(fù)數(shù)特征值法、模態(tài)應(yīng)變能法、有限單元法和Rayleigh-Ritz法等［8-12］，但是這些方法基于線性黏彈性振動(dòng)理論，即假定振動(dòng)過程中張力、幾何形狀等不變，忽略了阻尼的非線性特性，且計(jì)算方法復(fù)雜，無法高效準(zhǔn)確地對(duì)阻尼進(jìn)行評(píng)價(jià)?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)繩阻尼的研究均針對(duì)粗繩（直徑＞2mm）［13-16］，由于阻尼的非線性，文獻(xiàn)［17-19］中提到的針對(duì)粗繩阻尼的理論計(jì)算方法不一定能適用于細(xì)繩（直徑≤2mm），因此本文采用實(shí)驗(yàn)方法研究細(xì)繩的阻尼特性。

目前，繩系并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有工作空間大、負(fù)載能力強(qiáng)、剛度高等特點(diǎn)，已成為國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)［4-7］。特別在風(fēng)洞試驗(yàn)領(lǐng)域，繩系并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為一種新型支撐方式，與傳統(tǒng)的硬式支撐相比，具有剛度大、對(duì)流場(chǎng)干擾小、易實(shí)現(xiàn)高速及復(fù)雜規(guī)律的運(yùn)動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)［20］，近年來引起國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。然而，在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，大部分未考慮繩阻尼的影響，個(gè)別雖考慮了繩阻尼，但繩阻尼系數(shù)是虛構(gòu)值。汪選要等［21-22］將柔索簡(jiǎn)化成剛度為常值的彈簧，建立了并聯(lián)柔索機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行了軌跡跟蹤控制的研究，但沒有考慮繩阻尼的影響。劉欣等［23］考慮了繩的彈性變形，進(jìn)行了繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制研究，但沒有考慮繩阻尼的影響。文獻(xiàn)［24］的研究表明，繩阻尼對(duì)末端執(zhí)行器的位姿具有顯著的影響，但繩阻尼系數(shù)是虛構(gòu)值。文獻(xiàn)［25］考慮繩索彈性、阻尼和拉伸效應(yīng)，給出了繩牽引并聯(lián)支撐系統(tǒng)的振動(dòng)特性，但繩阻尼比是虛構(gòu)值。高估或低估繩索阻尼，將給繩系并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)帶來較大誤差，甚至影響機(jī)構(gòu)整體的安全性。因此，研究繩索的阻尼特性，并分析繩阻尼對(duì)繩系并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響具有重要意義。

不失一般性，本文以應(yīng)用于風(fēng)洞試驗(yàn)新型支撐的繩系并聯(lián)機(jī)器人（W ire-driven Parallel Robot，WDPR）為例，研究繩阻尼對(duì)WDPR在風(fēng)洞試驗(yàn)中的動(dòng)力學(xué)特性的影響。本文提出了測(cè)量繩阻尼的實(shí)驗(yàn)方法，解決了細(xì)繩阻尼的測(cè)量困難；通過采用繩阻尼比的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值，建立WDPR的有阻尼動(dòng)力學(xué)方程，分析風(fēng)洞來流沖擊作用下WDPR的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，給出了繩阻尼對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)特性的影響判據(jù)。

1 繩阻尼特性測(cè)試

阻尼比的定義是阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比［26］，用于表達(dá)結(jié)構(gòu)體標(biāo)準(zhǔn)化的阻尼大小。根據(jù)阻尼的產(chǎn)生機(jī)制［27］，本文研究繩的內(nèi)部阻尼，即來自于材料內(nèi)部各種微觀和宏觀過程的機(jī)械能耗散，以下簡(jiǎn)稱阻尼。

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

目前，對(duì)繩阻尼的測(cè)量一般采用激光位移計(jì)或應(yīng)變片測(cè)量的方式［15，18-19］，而這2種方法均不適用于細(xì)繩（直徑≤2mm）的阻尼測(cè)量。因?yàn)槔K太細(xì)，激光位移計(jì)的測(cè)量變得十分困難甚至不可用；粘貼應(yīng)變片，則會(huì)改變細(xì)繩的動(dòng)特性，影響阻尼測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。本文采用高速相機(jī)測(cè)量的方式，屬于非接觸式的測(cè)量方式，由于無需在繩索上附加任何質(zhì)量元件，繩索本身的特性不被改變，特別適用于細(xì)繩（直徑≤2mm）阻尼的測(cè)量，同時(shí)也適用于粗繩（直徑＞2mm）。

實(shí)驗(yàn)原理如圖1（a）所示。實(shí)驗(yàn)時(shí)先將繩索張緊，在繩索中央懸掛重物施以載荷；待重物穩(wěn)定后突然釋放重物，即對(duì)繩索中央施加瞬間激勵(lì)，使其做自由衰減振動(dòng)；采用高速相機(jī)拍攝繩索中央部位的振動(dòng)過程；從所拍繩索振動(dòng)視頻中提取繩索振幅最大處的位移信息進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析，得出與繩索阻尼特性相關(guān)的參數(shù)。通過該實(shí)驗(yàn)裝置可測(cè)量不同長(zhǎng)度、直徑、預(yù)緊力和材料的繩索的阻尼參數(shù)。

繩阻尼實(shí)驗(yàn)裝置的實(shí)物圖如圖1（b）所示。實(shí)驗(yàn)臺(tái)架采用歐標(biāo)6060L雙槽工業(yè)鋁型材搭建，以保證實(shí)驗(yàn)臺(tái)架具有良好的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；并以水平儀校核其水平度和垂直度。采用型號(hào)為CHC-S的拉力傳感器（量程為200 N，精度為0.1%）測(cè)量繩張力。采用高速相機(jī)（型號(hào)：FASTCAM Mini AX200）獲取繩索振動(dòng)位移。標(biāo)定板用于在數(shù)據(jù)后處理中確定繩索在振動(dòng)中的實(shí)際位移。

圖1 繩阻尼實(shí)驗(yàn)原理及裝置Fig.1 W ire damping experimental principle and device

圖2 實(shí)驗(yàn)繩樣本Fig.2 Wire samples for experiment

如圖2所示，選擇3種不同直徑的Kevlar繩作為實(shí)驗(yàn)樣本，其物性參數(shù)如表1所示。通過設(shè)置不同的繩索參數(shù)（直徑d、預(yù)緊力作用下的初始繩長(zhǎng)L0和預(yù)緊力T0）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到不同繩索參數(shù)下的阻尼比。

表1 繩樣本的物性參數(shù)Table 1 Physical param eters of w ire sam p les

1.2 數(shù)據(jù)處理方法

采用對(duì)數(shù)衰減法進(jìn)行數(shù)據(jù)后處理。記繩中點(diǎn)振動(dòng)位移響應(yīng)為dy。圖3為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)dy隨時(shí)間衰減的曲線。

如圖3所示，Ai代表繩振動(dòng)衰減曲線dy的一個(gè)峰值，Ai+r代表第r個(gè)周期后的峰值，可得［27］

則對(duì)數(shù)衰減率δ為

由式（2）可得繩阻尼比ζ的表達(dá)式為

通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得繩索的振動(dòng)位移響應(yīng)曲線，利用式（2）和式（3）進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，即可得到繩阻尼比。

圖3 繩在豎直面內(nèi)的振動(dòng)位移響應(yīng)（d=0.6mm，L0=1m，T0=30N）Fig.3 Vibration displacement response of wire in vertical plane（d=0.6mm，L0=1m，T0=30N）

1.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

不同直徑、不同初始繩長(zhǎng)的Kevlar繩在不同預(yù)緊力作用下的阻尼實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4～圖6所示。

從圖4可見，繩阻尼比隨預(yù)緊力的增加而減小。T0∈［20，80］N時(shí)，繩阻尼比的下降速率很快；T0∈［90，145］N時(shí)，繩阻尼比的下降速率趨于平緩，且繩阻尼比隨預(yù)緊力的變化呈現(xiàn)非線性。

圖4 繩阻尼比與預(yù)緊力的關(guān)系（d=0.6mm，L0=1m）Fig.4 Relationship between wire damping ratio and preload（d=0.6mm，L0=1m）

圖5 繩阻尼比與初始繩長(zhǎng)的關(guān)系（d=0.6mm）Fig.5 Relationship between wire damping ratio and wire length（d=0.6mm）

圖6 繩阻尼比與繩直徑的關(guān)系（L0=1m）Fig.6 Relationship between wire damping ratio and wire diameter（L0=1m）

圖5表明，繩阻尼比隨初始繩長(zhǎng)的增加而增大，但曲線變化較為平坦。在不同預(yù)緊力作用下，繩阻尼比隨初始繩長(zhǎng)的變化速率基本相同。預(yù)緊力為80 N時(shí)，繩阻尼比的分散度更小。

從圖6可見，繩阻尼比隨繩直徑的增加而增大。當(dāng)預(yù)緊力為30 N時(shí)，隨著繩直徑的增加，繩阻尼比明顯增大；但當(dāng)預(yù)緊力為80 N時(shí)，隨著繩直徑的增加，繩阻尼比的增大很不明顯。因此，預(yù)緊力越小，繩阻尼比隨繩直徑的變化將不能忽略。

2 動(dòng)力學(xué)建模

2.1 WDPR動(dòng)力學(xué)建模

圖7（a）為八繩牽引的六自由度WDPR原理樣機(jī)示意圖［28］。WDPR原理樣機(jī)采用8根Kevlar繩做牽引繩，將飛機(jī)模型懸掛在空中；改變牽引繩的長(zhǎng)度可對(duì)模型六自由度的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制。所建造的WDPR原理樣機(jī)如圖7（b）所示。

如圖8所示，以靜坐標(biāo)系OXYZ為參考系，飛機(jī)模型的位姿記為X=［XP，YP，ZP，φ，θ，ψ］T，（XP，YP，ZP）為沿3個(gè)坐標(biāo)軸的平動(dòng)，（φ，θ，ψ）為繞3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

在靜坐標(biāo)系OXYZ下，第i根繩的繩長(zhǎng)矢量定義為

圖7 WDPR原理樣機(jī)Fig.7 WDPR prototype

圖8 WDPR運(yùn)動(dòng)學(xué)示意圖Fig.8 Kinematic schematic diagram ofWDPR

記Li為第i根繩的實(shí)時(shí)繩長(zhǎng)，則有

根據(jù)Newton-Euler法，飛機(jī)模型的動(dòng)力學(xué)方程如下：

在風(fēng)洞試驗(yàn)中，作用在飛機(jī)模型上的氣動(dòng)力和力矩有升力、阻力、橫向力、俯仰力矩、偏航力矩和滾轉(zhuǎn)力矩，其表達(dá)式如下［29］：

2.2 繩張力建模

考慮繩阻尼，采用彈簧模型對(duì)繩索進(jìn)行建模，得到繩張力的表達(dá)式如下：

式中：T為繩張力；ku為未變形繩的剛度；c為繩阻尼系數(shù)；L為實(shí)時(shí)繩長(zhǎng)；Lu為未變形的繩長(zhǎng)。

根據(jù)繩阻尼系數(shù)和繩阻尼比的定義有

式中：ζ為繩阻尼比，其數(shù)值可通過第1節(jié)的實(shí)驗(yàn)測(cè)得；ms為繩單位長(zhǎng)度質(zhì)量。

式中：E為繩彈性模量；A為繩未變形時(shí)的橫截面積；ρw為繩的體密度。

再根據(jù)應(yīng)變公式有

聯(lián)立式（9）～式（12），可得繩阻尼系數(shù)為

所以，繩張力矢量表達(dá)式為

式中：Ku=diag（ku1，ku2，…，ku8）；Cw=diag（c1，c2，…，c8）；L=［L1，L2，…，L8］T；Lu=［Lu1，Lu2，…，Lu8］T。

2.3 WDPR的有阻尼動(dòng)力學(xué)方程

聯(lián)立式（6）、式（14）和式（15），可得WDPR的有阻尼動(dòng)力學(xué)方程為

3 繩阻尼對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)特性的影響

本節(jié)基于式（16）給出的WDPR的有阻尼動(dòng)力學(xué)方程，研究風(fēng)洞來流作用下，WDPR的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)受繩阻尼的影響。

3.1 仿真條件

仿真中所用的繩參數(shù)及飛機(jī)模型參數(shù)如下：

1）繩參數(shù)。如表1所示，采用3種不同直徑的Kevlar繩做牽引繩，為了便于比較，彈性模量統(tǒng)一取E=21.9GPa。

2）飛機(jī)模型采用SDM 標(biāo)模，模型質(zhì)量m=1.093 kg，機(jī)翼參考面積S=0.026 594m2，平均氣動(dòng)弦長(zhǎng)cA=0.092 m，模型關(guān)于質(zhì)心的慣量矩陣為

3）來流條件。以縱向測(cè)力試驗(yàn)［29］（模型側(cè)滑角為0°，在一系列攻角下進(jìn)行測(cè)量）為例，來流速度V=17m/s，空氣密度ρ=1.29 kg/m3，飛機(jī)模型攻角12°，升力系數(shù)CL、阻力系數(shù)CD、俯仰力矩系數(shù)Cm見參考文獻(xiàn)［28］。

為了克服非線性動(dòng)力學(xué)方程的求解困難，本文采用隱式的變階Runge-Kutta數(shù)值積分方法，對(duì)式（16）進(jìn)行求解。

3.2 結(jié)果與分析

通過仿真分析，得到WDPR的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線，如圖9～圖12所示。其中，飛機(jī)模型的位姿響應(yīng)以飛機(jī)模型沿OX方向的位姿變化和俯仰角變化為例。

圖9 飛機(jī)模型沿OX方向位姿變化Fig.9 Attitude variation of aircraftmodel along OX direction

如圖9所示，當(dāng)繩直徑為0.6mm時(shí)，不考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型沿OX方向的位姿變化的峰-峰值為0.1mm；考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型沿OX方向的位姿變化的初始峰-峰值也為0.1mm，且隨時(shí)間緩慢變小，但變化幅度不大。當(dāng)繩直徑為2mm時(shí)，不考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型沿 OX 方向的位姿變化的峰-峰值僅為0.01mm；考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型沿OX方向的位姿變化的初始峰-峰值也為0.01mm，且隨時(shí)間快速變小，在t=3 s后趨于穩(wěn)定。

圖10 飛機(jī)模型俯仰角變化Fig.10 Pitching angle variation of aircraftmodel

如圖10所示，當(dāng)繩直徑為0.6mm時(shí)，不考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型俯仰角變化的峰-峰值為0.1°；考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型俯仰角變化的初始峰-峰值也為0.1°，且隨時(shí)間緩慢變小，但變化幅度不大。當(dāng)繩直徑為2mm時(shí)，不考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型俯仰角變化的峰-峰值僅為0.01°；考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型俯仰角變化的初始峰-峰值為0.006°，且隨時(shí)間快速變小，在t=2 s后趨于穩(wěn)定。

在來流作用下，飛機(jī)模型位姿變化的同時(shí)，繩張力也隨之變化。令ΔT=T-T0，ΔT為繩張力的變化量，T為飛機(jī)模型位姿變化過程中的實(shí)時(shí)繩張力。以繩5為例，如圖11所示，對(duì)于不同粗細(xì)的繩，不考慮阻尼的情況下，繩張力變化的峰-峰值為2N；考慮阻尼的情況下，繩張力變化的初始峰-峰值也為2 N。在考慮阻尼的情況下，直徑為0.6mm的繩的繩張力隨時(shí)間緩慢變?。欢睆綖?mm的繩的繩張力隨時(shí)間快速變小，在t=2 s后趨于穩(wěn)定。

圖11 繩張力變化Fig.11 W ire tension variation

綜上所述，在來流作用下，采用直徑較大的繩，飛機(jī)模型位姿變化和繩張力變化在短時(shí)間內(nèi)能趨于穩(wěn)定。因此，在繩對(duì)流場(chǎng)的影響可以接受的情況下，采用直徑較大的繩，WDPR的穩(wěn)定性更好。

圖12為飛機(jī)模型位姿響應(yīng)和繩張力響應(yīng)曲線的局部放大圖。從圖12可見，無阻尼情況下，飛機(jī)模型的位姿和繩張力呈周期性振蕩；考慮阻尼的情況下，飛機(jī)模型的位姿和繩張力呈衰減振蕩，且繩直徑較大時(shí)，振蕩衰減得越快。說明繩阻尼對(duì)WDPR的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)具有減振作用，且繩直徑越大，繩阻尼的減振作用越明顯。特別地，對(duì)于直徑小于2mm的細(xì)繩來說，相比無阻尼的情況，繩阻尼對(duì)飛機(jī)模型位姿及繩張力的振蕩頻率和相位的影響很小，基本可以忽略。

圖12 WDPR動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.12 Dynamic response ofWDPR

3.3 繩阻尼的影響判據(jù)

根據(jù)上述分析，直徑不同的繩，對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響明顯不同。以繩5為例，根據(jù)式（13），不同直徑繩的阻尼系數(shù)如表2所示。由于阻尼比和繩直徑不同，導(dǎo)致阻尼系數(shù)有很大差別，從而導(dǎo)致WDPR 的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)明顯不同。

表2 不同直徑繩的阻尼系數(shù)（繩5）Table 2 Dam ping coefficient of w ire w ith different diam eters（W ire No.5）

直徑不同的繩，其阻尼比不同，并且初始繩長(zhǎng)、初始繩張力的不同，都會(huì)影響繩的阻尼系數(shù)。因此，以繩阻尼系數(shù)作為因變量，取2種不同直徑的繩，分析其阻尼系數(shù)的變化對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。定義當(dāng)量系數(shù)ηX、ηP、ηT，對(duì)飛機(jī)模型位姿和繩張力進(jìn)行無量綱化處理：

式中：pX0為無阻尼時(shí)飛機(jī)模型沿OX方向位姿變化的峰-峰值；pXc為有阻尼時(shí)飛機(jī)模型沿OX方向位姿變化5 s后的峰-峰值；pP0為無阻尼時(shí)飛機(jī)模型俯仰角變化的峰-峰值；pPc為有阻尼時(shí)飛機(jī)模型俯仰角變化5 s后的峰-峰值；pT0為無阻尼時(shí)繩張力變化的峰-峰值；pTc為有阻尼時(shí)繩張力變化5 s后的峰-峰值。

如圖13所示，當(dāng)繩阻尼系數(shù)c＞0.6 N·s/m時(shí)，無阻尼與有阻尼的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)峰-峰值之比將超過10，即繩阻尼的減振作用變得很顯著，特別是直徑粗的繩比直徑細(xì)的繩，其阻尼的作用更明顯。因此，在WDPR的設(shè)計(jì)中，可根據(jù)式（13）和實(shí)測(cè)的繩阻尼比計(jì)算得到，當(dāng)繩阻尼系數(shù)c滿足以下條件：c＞0.6 N·s/m時(shí)，不論繩直徑粗細(xì)如何，其阻尼對(duì)WDPR 動(dòng)力學(xué)特性的影響不能忽略。

圖13 繩阻尼系數(shù)變化對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響Fig.13 Influence of wire damping coefficient variation on dynamic response of WDPR

4 結(jié) 論

本文以應(yīng)用于風(fēng)洞試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭蔚睦K系并聯(lián)機(jī)器人WDPR為例，研究繩阻尼對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)特性的影響，得出以下結(jié)論：

1）考慮繩阻尼的情況下，當(dāng)繩直徑較小（d＜1mm）時(shí)，飛機(jī)模型位姿變化和繩張力變化的峰-峰值隨時(shí)間緩慢變小，但變化幅度不大；當(dāng)繩直徑較大（d≥2mm）時(shí)，飛機(jī)模型位姿變化和繩張力變化的峰-峰值隨時(shí)間快速變小，并在3 s后趨于穩(wěn)定。因此，在繩對(duì)流場(chǎng)的影響可以接受的情況下，采用直徑較大的繩，WDPR的穩(wěn)定性更好。

2）繩阻尼對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響主要體現(xiàn)在響應(yīng)幅值上，繩直徑越大，繩阻尼對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的減振作用越明顯。特別地，對(duì)于直徑小于2mm的細(xì)繩來說，相比無阻尼的情況，繩阻尼對(duì)飛機(jī)模型位姿及繩張力的振蕩頻率和相位的影響很小，基本可以忽略。

3）當(dāng)繩阻尼系數(shù)大于0.6 N·s/m時(shí)，不論繩直徑粗細(xì)如何，其阻尼對(duì)WDPR動(dòng)力學(xué)特性的影響不能忽略。

綜上所述，本文提出的建模方法和研究結(jié)果可為WDPR的設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。此外，繩阻尼的非線性特征及其隨不同參數(shù)的變化規(guī)律，將在今后進(jìn)一步開展研究。