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    搞清定義,搞定實數(shù)

    2020-03-10 08:53:41王月
    初中生世界·八年級 2020年12期
    關鍵詞:立方根平方根算術

    王月

    很多同學在學習“實數(shù)”這一章的時候,總感覺題目都會做,但又總是出錯。這其中有一部分錯誤是審題不清導致的,還有一部分是由于沒有徹底搞清楚定義而產生的錯誤。大家想避免這些錯誤嗎?下面,老師選出同學們出錯率較高的幾個問題,希望大家能找找出錯的原因,避免重蹈覆轍。

    一、不能正確理解平方根和算術平方根的意義

    例1√81的算術平方根是( )。

    A.9

    B.+9

    C.3

    D.±3

    【錯解】A、D。

    【錯解分析】不少同學由于沒有正確理解算術平方根的意義而錯選,當然,也不排除審題不清的情況。

    我們來看一下,√81本身就表示81的算術平方根,因此√81=9。于是本題可轉化為求9的算術平方根。而算術平方根指的是平方根中非負的那一個。9的平方根是+3,所以9的算術平方根是3。

    因此,選項A、B、D錯誤。

    【正解】選C。

    例2 已知16(X+2)2-81=0,求x的值。

    【錯解】x=1/4。

    【錯解分析】很顯然,錯解中漏掉了一個平方根。我們知道,正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù)。

    二、對立方根的概念理解不透徹

    例3下列說法正確的是( )。

    A.1的立方根是±1

    B.-27沒有立方根

    C.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù)

    D.立方根等于本身的數(shù)是±1

    【錯解】A、B、D。

    【錯解分析】有些同學對立方根的概念缺乏正確的理解或理解不透徹,容易與平方根的概念產生混淆,從而導致出錯。

    由于正數(shù)的平方根有兩個,所以有些同學誤以為正數(shù)的立方根也有兩個,這顯然是不對的。正數(shù)的立方根只有一個,且仍是正數(shù),所以1的立方根是1,因此A選項錯誤。

    有的同學同樣受平方根的影響,認為負數(shù)沒有平方根,就誤以為負數(shù)也沒有立方根。同學們,任何數(shù)都有立方根,正數(shù)的立方根是正數(shù),負數(shù)的立方根是負數(shù),0的立方根是0。所以-27的立方根是一3,因此B選項錯誤。

    根據立方根的定義,“如果x3=a,那么x叫作a的立方根”,我們可以計算得到1的立方根是1,0的立方根是0,一1的立方根是一1。立方根等于本身的數(shù)有±1和0,因此D選項錯誤。

    【正解】選C。

    三、不能正確區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)

    【錯解分析】3√9是有理數(shù)嗎?有些同學對立方根概念不理解,又受9÷3=3的影響,以為3√9是3,是有理數(shù)。事實上,9的立方根并不是3。因為3的立方是27,所以3不是9的立方根。9的立方根就是3√9歹,是個無理數(shù)。

    π是無理數(shù),所以π/2仍然是無理數(shù)。

    對于√4這個數(shù),從形式上看,雖然它含有√,但是它表示4的算術平方根,因此√4=2,所以√4是有理數(shù)。

    我們知道,“能寫成分數(shù)形式同m/n(m、n是整數(shù),n≠0)的數(shù)叫作有理數(shù)”,因此一22/7是有理數(shù)。有些同學會用22除以7,除了幾次之后發(fā)現(xiàn)沒有循環(huán),因此誤以為它是無限不循環(huán)小數(shù)。但如果我們保持耐心,多除幾次的話,就會發(fā)現(xiàn),22÷7=3.142857142857…是無限循環(huán)小數(shù),是有理數(shù)。

    一√8=一2√2.因為√2是無理數(shù),所以2√2也是無理數(shù),即一√8是無理數(shù)。同學們,你們知道為什么√2是無理數(shù)嗎?根據無理數(shù)的定義,無理數(shù)是一個無限不循環(huán)小數(shù)。直接證明√2是無限不循環(huán)小數(shù)可能有點困難,我們可以用反證法,即證明√2不是有理數(shù)。有興趣的同學可以嘗試一下。

    小學時,對于圓周率π我們經常取其近似值3.14來進行計算,但是π≠3.14。π是無理數(shù)。但3.14是有限小數(shù),是有理數(shù)。

    0.313 113 111 3…(相鄰兩個3之間依次多一個1)是一個無限不循環(huán)小數(shù),因此它是無理數(shù)。

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