基于NARMAX模型和NOFRF結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)研究*

程長(zhǎng)明 彭志科 孟光

(上海交通大學(xué)，機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

基于NARMAX模型和NOFRF結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)的實(shí)驗(yàn)研究*

程長(zhǎng)明 彭志科?孟光

(上海交通大學(xué)，機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)是由Volterra級(jí)數(shù)發(fā)展而來(lái)的頻域概念，可方便在頻域?qū)Ψ蔷€性系統(tǒng)進(jìn)行分析，它是頻率的一維函數(shù)．本文主要介紹了利用NARMAX模型以及NOFRF對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷檢測(cè)的方法，并利用實(shí)驗(yàn)研究證實(shí)了該損傷檢測(cè)方法的可行性．另外，由于系統(tǒng)非線性特性可用來(lái)做結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)，且具有對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)比較敏感的優(yōu)點(diǎn)，而基于NOFRF的損傷檢測(cè)方法是利用非線性方法來(lái)分析系統(tǒng)的狀態(tài)，該方法提取出的特征屬于非線性特征，所以該損傷檢測(cè)方法可以用來(lái)做結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)，且具有對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)比較敏感的優(yōu)點(diǎn)．

Volterra級(jí)數(shù)， NARMAX模型， 非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)， 廣義頻率響應(yīng)函數(shù)， 損傷檢測(cè)

引言

眾所周知，若不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的損傷可能會(huì)引發(fā)重大事故，所以準(zhǔn)確及時(shí)地識(shí)別出工程結(jié)構(gòu)當(dāng)中的損傷，對(duì)于防止惡性事故的發(fā)生、減少生命財(cái)產(chǎn)損失具有重要的意義．研究人員對(duì)此做了大量研究，取得了一定的進(jìn)展，提出了多種損傷檢測(cè)技術(shù)．其中，由于振動(dòng)測(cè)試法具有信號(hào)易提取、測(cè)點(diǎn)無(wú)需苛刻要求和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的全局性等優(yōu)點(diǎn)，受到許多研究人員的重視．一般認(rèn)為結(jié)構(gòu)損傷會(huì)引起結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的變化，從而使結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化，如頻率變化［1］、振型變化、曲率模態(tài)變化［2－3］以及模態(tài)柔度(剛度)變化［4］等等．于是基于上述不同的參數(shù)，人們提出了多種基于模態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)的損傷識(shí)別方法．

但是，一些學(xué)者［5－7］研究發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的線性特征對(duì)結(jié)構(gòu)的變化不夠敏感．例如，文獻(xiàn)［5］數(shù)值研究結(jié)果顯示具有占截面面積10～20%裂紋的梁，固有頻率僅僅降低了0．6 ～1．9%．Chen［7］研究結(jié)果表明，當(dāng)槽鋼達(dá)到損壞的臨界點(diǎn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得該槽鋼的前四階模態(tài)頻率僅僅分別下降4．9%，2%，2．9%，3．6%，而用有限元模型分析時(shí)該槽鋼前四階模態(tài)頻率變化的更?。硗?，Ellis和 Jeary［8］研究結(jié)果表明，變化的環(huán)境下，測(cè)量得到的模態(tài)頻率存在高達(dá)3%的變化，Askegaard和Mossing［9］等的研究結(jié)果證實(shí)了這一點(diǎn)，并且顯示一座橋梁在沒(méi)有任何明顯變化的情況下，一年以后固有頻率居然變化了10%．Chen［7］研究結(jié)果表明僅利用系統(tǒng)的模態(tài)頻率以及模態(tài)振型不足以對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷檢測(cè)以及損傷定位，需要研究出較結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率以及模態(tài)振型對(duì)結(jié)構(gòu)狀態(tài)更加敏感的特征來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷檢測(cè)．

一般而言，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)發(fā)生損傷后，結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生非線性特征．基于此考慮，許多學(xué)者研究利用非線性振動(dòng)方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷檢測(cè)［6，10，11］．Tsyfanskii［12］和他的同事研究一根棒的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)棒的非線性特征對(duì)裂紋(即使是非常小的裂紋)的存在非常敏感．Bovsunovsky和 Surce［5］證實(shí)了這一點(diǎn)，并且研究表明系統(tǒng)非線性特征比固有頻率或模態(tài)振型對(duì)裂紋的存在更加敏感．基于亞諧共振，Tsyfanskyh 和 Beresnevich［6］提出了一種用于檢測(cè)非線性彈性梁中疲勞裂紋的新方法．

基于以上考慮，本文提出了一種新的基于系統(tǒng)非線性特征的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法，該結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法是一種基于NARMAX模型和NOFRF的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法．

1 NARMAX模型及非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)

1．1NARMAX 模型

NARMAX模型表示系統(tǒng)輸入與輸出之間的非線性函數(shù)關(guān)系，該函數(shù)是一個(gè)非線性差分方程，如下式所示

其中，ny，nu，ne分別是時(shí)刻k時(shí)，系統(tǒng)輸出、輸入與噪聲項(xiàng)的最大延遲數(shù)，u(k)，y(k)分別是系統(tǒng)的輸入與輸出，［·］是一個(gè)非線性函數(shù)．實(shí)際工程當(dāng)中，噪聲項(xiàng)e(k)是無(wú)法直接通過(guò)測(cè)量得到，而是用預(yù)測(cè)誤差代替，即，

其中，^y(k)是預(yù)測(cè)的輸出，y(k)為測(cè)量得到的實(shí)際輸出．

假設(shè)函數(shù)［·］是階數(shù)為Nl的多項(xiàng)式函數(shù)．為了估計(jì)該函數(shù)的參數(shù)，方程(1)可以用下式表示

其中，pi(k)代表NARMAX模型當(dāng)中的項(xiàng)，pi(k)≠pj(k)(i≠j)，N為數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，nθ是預(yù)選項(xiàng)的個(gè)數(shù)，θi是待估計(jì)的模型參數(shù)．

本文利用正交前向回歸最小二乘算法對(duì)系統(tǒng)的NARMAX模型進(jìn)行辨識(shí)．正交前向回歸最小二乘算法的基本思想是將較高維(例如M維)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成較低維(例如Ms維，且Ms＜M)的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，也即從原來(lái)M個(gè)預(yù)選項(xiàng)的非線性模型當(dāng)中提取出最重要的Ms項(xiàng)的過(guò)程．該算法可以獨(dú)立地從系統(tǒng)的非相關(guān)項(xiàng)中估計(jì)出系統(tǒng)的參數(shù)，并可計(jì)算出模型每一項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)能量的貢獻(xiàn)．該算法有效地將參數(shù)估計(jì)與結(jié)構(gòu)辨識(shí)集合成為一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程，從而簡(jiǎn)化了非線性系統(tǒng)辨識(shí)這一復(fù)雜的問(wèn)題．

現(xiàn)將正交前向回歸最小二乘算法的具體步驟歸納如下:

(1)確定模型預(yù)選項(xiàng)的總個(gè)數(shù)，例如M，令所有的預(yù)選項(xiàng)pi(k)，i=1，2，…，M等于w1(k)．

(2)i=1，2，…，M計(jì)算

(3)找出的最大值，例如=max{，1≤i≤M}，那么在這個(gè)模型當(dāng)中第一個(gè)被選擇的就是方程(3)中的第j項(xiàng)，例如w1(k)=pj(k)．

(4)考慮所有的pi(k)，i=1，2，…，M，i≠j作為w2(k)的預(yù)選項(xiàng)．令i=1，2，…，M，i≠j，計(jì)算

結(jié)束選項(xiàng)，至此，選出了一個(gè)只有Ms個(gè)重要項(xiàng)的模型．

為了檢驗(yàn)辨識(shí)得到的NARMAX模型是否與實(shí)際系統(tǒng)相符合，還需要對(duì)其進(jìn)行相關(guān)的驗(yàn)證．Billings［13］研究結(jié)果顯示對(duì)于辨識(shí)得到的NARMAX模型，如果滿足以下條件，那么辨識(shí)得到的NARMAX模型是有效的．

(5)找出的最大值，例如=max{，1≤i≤M，i≠j}，那么在這個(gè)模型當(dāng)中第二個(gè)被選擇的就是方程(3)的第l項(xiàng)，例如

(6)根據(jù)上面的選項(xiàng)方法，繼續(xù)選項(xiàng)，直到誤差減小率達(dá)到設(shè)定的允許誤差，則結(jié)束選項(xiàng)．假設(shè)允許誤差為ρ，若

其中，ε(t)是殘差，即(·)代表辨識(shí)得到的NARMAX模型．

由于實(shí)際工程當(dāng)中，只能根據(jù)有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)來(lái)辨識(shí)結(jié)構(gòu)模型，所以基于方程(13)的模型有效性檢驗(yàn)可引入一個(gè)置信區(qū)間，如果方程(13)中相關(guān)函數(shù)的值在置信區(qū)間內(nèi)，就可認(rèn)為它們之間沒(méi)有發(fā)現(xiàn)明顯的相關(guān)性，即辨識(shí)出的模型是有效的．

1．2 非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)

對(duì)于可以用Volterra級(jí)數(shù)［14］表示的非線性系統(tǒng)，它的輸出頻譜可以用下式表示，

根據(jù)方程(15)，Lang 和 Billings［15，16］提出了一個(gè)新的頻域概念－非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)，定義如下

圖1 線性系統(tǒng)的輸入輸出頻域表示Fig．1 The relationship between output and input frequency spectrum in linear system

引入非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)Gn(jω)，n=1，…，N后，系統(tǒng)的輸出頻譜可以改用下式表示，方程(18)表示的非線性系統(tǒng)輸出頻譜與線性系統(tǒng)輸出頻譜比較相似，因?yàn)閷?duì)于線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出頻譜與輸入頻譜之間的關(guān)系可用圖1表示;對(duì)于非線性系統(tǒng)，可用圖2表示．

圖2 非線性系統(tǒng)輸入輸出頻域表示Fig．2 The relationship between output and input frequency spectrum in nonlinear system

從非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的定義式可以看出非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)不僅與非線性系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而且與系統(tǒng)輸入也有關(guān)，它反映的是非線性系統(tǒng)在特定類型的輸入下表現(xiàn)出來(lái)的頻率響應(yīng)特性，它最大的優(yōu)點(diǎn)是各階次的函數(shù)都是一維的，從而可方便地用圖表來(lái)表示和分析解釋，也較容易根據(jù)系統(tǒng)的輸入、輸出信號(hào)估計(jì)得到．因此，可以基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)，用與分析線性系統(tǒng)類似的方法來(lái)分析非線性系統(tǒng)．

2 基于NOFRF的損傷檢測(cè)方法

NARMAX模型分析方法是根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的檢測(cè)信號(hào)和相應(yīng)的響應(yīng)信號(hào)辨識(shí)得到系統(tǒng)的NARMAX模型，然后根據(jù)辨識(shí)得到的NARMAX模型，去掉NARMAX模型當(dāng)中所有與噪聲項(xiàng)e(t)有關(guān)的項(xiàng)，從而得到系統(tǒng)的NARX模型．NARX模型可以用來(lái)表示復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特性，所以任何損傷引起的系統(tǒng)物理特性的改變都會(huì)反應(yīng)在辨識(shí)得到的NARX模型當(dāng)中．但是，表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的NARX模型一般不是唯一的，而且大多數(shù)情況下，具有很多項(xiàng)，這表示一般很難從已辨識(shí)出的NARX模型當(dāng)中直接提取出被檢測(cè)結(jié)構(gòu)的物理特征．幸運(yùn)的是，不管結(jié)構(gòu)系統(tǒng)已辨識(shí)出的NARX模型具有多少不同的形式，只要正確獲得了系統(tǒng)的動(dòng)力特性，系統(tǒng)的頻域表示就是唯一的，例如廣義頻率響應(yīng)函數(shù)就是唯一的［17，18］．因此，已辨識(shí)出的 NARX 模型的廣義頻率響應(yīng)函數(shù)可以更好地說(shuō)明被檢測(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)．

雖然理論上非線性系統(tǒng)的廣義頻率響應(yīng)函數(shù)可以根據(jù)它的NARX模型計(jì)算出來(lái)，然而由于廣義頻率響應(yīng)函數(shù)的多維性，使得它在實(shí)際應(yīng)用中遇到了很大的難題．與廣義頻響函數(shù)不同的是，非線性輸出頻響函數(shù)與非線性系統(tǒng)本身的特性和系統(tǒng)輸入都有關(guān)，它反映的是非線性系統(tǒng)在特定類型的輸入下表現(xiàn)出來(lái)的頻率響應(yīng)特性，它最大的優(yōu)點(diǎn)是各階次的函數(shù)都是一維的，從而可方便地用圖表來(lái)表達(dá)和進(jìn)行分析解釋，也較容易根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出信號(hào)辨識(shí)估計(jì)得到．

從非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的定義式可以看出，非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)Gn(jω)是廣義頻率響應(yīng)函數(shù)Hn(jω1，…，jωn)在n維超平面 ω1+ …ωn=ω的加權(quán)平均，其中加權(quán)值與系統(tǒng)的輸入信號(hào)有關(guān)．因此，非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)Gn(jω)，n=1，…，N是另外一種表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力特性的頻域概念，系統(tǒng)廣義頻率響應(yīng)函數(shù)在正常與損傷狀態(tài)下的不同在非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)當(dāng)中也能體現(xiàn)．總之，非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)可以用來(lái)描述被檢測(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征，從而可以根據(jù)它們的值來(lái)判斷系統(tǒng)是否有損傷．

根據(jù)方程(18)，并且假設(shè)用系統(tǒng)的前四階非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)足夠表示系統(tǒng)的輸出頻率響應(yīng)．那么，系統(tǒng)輸出的頻率成分可以寫成下式，

從方程(19)可以看出，用兩個(gè)頻率相同幅值不同的諧波信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)，就可以求出方程(19)當(dāng)中的各階非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)，因此，分別采用幅值為A(1)和A(2)的兩個(gè)正弦信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)，得到兩組系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)y(1)(t)和y(2)(t)，它們的頻譜為Y(1)(jω)和Y(2)(jω)，記兩次激勵(lì)為(·)和(·)，(k=1，2，3，4)，根據(jù)方程(19)，可得

G1(jω)和G3(jω)可以根據(jù)下式計(jì)算

同理，可以計(jì)算出G2(j2ω)和G4(j2ω)等．

為了方便分析，定義一個(gè)基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的指標(biāo)，該指標(biāo)定義如下，

用該指標(biāo)表示被檢測(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征．由于Fe(n)=1，該指標(biāo)反映了系統(tǒng)各階非線性的強(qiáng)度．例如，F(xiàn)e(1)≈1表示系統(tǒng)基本上是線性的;Fe(5)≈1表示第5階系統(tǒng)非線性占系統(tǒng)的主要地位．因此，N個(gè)Fe(n)，n=1，…，N的值組合起來(lái)可以描述被檢測(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性狀態(tài)，同時(shí)可以用于結(jié)構(gòu)損傷的檢測(cè)．

圖3 操作流程圖Fig．3 Operation flow chart

根據(jù)上面介紹的基于NARMAX模型以及非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行損傷檢測(cè)的操作步驟，下面對(duì)其做一個(gè)總結(jié)，

第一步:給待檢測(cè)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一個(gè)寬頻的激勵(lì)信號(hào)．

第二步:根據(jù)檢測(cè)信號(hào)及相應(yīng)的響應(yīng)信號(hào)辨識(shí)得到系統(tǒng)的NARMAX模型，根據(jù)獲得的NARMAX模型，得到系統(tǒng)的NARX模型．

第三步:對(duì)獲得的NARX模型進(jìn)行仿真研究，即使用N～個(gè)頻率相同幅值不同的諧波信號(hào)作為NARX模型的輸入，計(jì)算NARX模型的響應(yīng)．

第四步:根據(jù)文獻(xiàn)［16，19］中的算法以及第三步中獲得的系統(tǒng)輸入、輸出數(shù)據(jù)估算系統(tǒng)的非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)Gn(jω)，n=1，…，N．

第五步:根據(jù)方程(22)計(jì)算出特征的值Fe(n)，n=1，…，N．

操作流程圖如圖3所示．

3 實(shí)驗(yàn)研究

對(duì)圖4所示的橋梁模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷檢測(cè)，以驗(yàn)證本文所述損傷檢測(cè)方法的可行性．該橋梁模型結(jié)構(gòu)中的損傷是通過(guò)將連接橋梁結(jié)構(gòu)的螺栓旋松來(lái)模擬日常橋梁結(jié)構(gòu)的松動(dòng)所導(dǎo)致的損傷．實(shí)驗(yàn)流程圖如圖5所示．利用白噪聲源產(chǎn)生一個(gè)寬頻的白噪聲信號(hào)，并利用低通濾波器對(duì)其進(jìn)行濾波，使其能量更加集中;由于白噪聲源產(chǎn)生的信號(hào)能量有限，所以需要線性功率放大器對(duì)其進(jìn)行功率放大，并利用經(jīng)線性功率放大器放大后的白噪聲信號(hào)驅(qū)動(dòng)激振器激勵(lì)橋梁模型結(jié)構(gòu);同時(shí)利用力傳感器測(cè)量激振器激勵(lì)橋梁模型結(jié)構(gòu)激勵(lì)力的大小;另外，由于力傳感器產(chǎn)生的電荷信號(hào)比較微弱，所以需要先經(jīng)電荷放大器對(duì)該信號(hào)進(jìn)行放大并轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)，再由信號(hào)采集儀對(duì)其進(jìn)行采集;并利用加速度傳感器測(cè)量橋梁結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)信號(hào)，并用信號(hào)采集儀對(duì)其進(jìn)行采集．

圖4 橋梁模型實(shí)驗(yàn)圖形Fig．4 Experiment picture of bridge model

該試驗(yàn)中所用的設(shè)備名稱以及型號(hào)如表1所示，其中，白噪聲源產(chǎn)生頻率范圍為0～20kHz的高斯白噪聲，濾波器采用0～500Hz的低通濾波，采樣頻率為5208Hz．

表1 實(shí)驗(yàn)儀器名稱以及型號(hào)Table 1 The name and style of experiment equipment

另外，值得注意的是，兩種情況下除了連接螺栓是否被旋松以外，其它的實(shí)驗(yàn)條件都是一樣的，因此最終分析結(jié)果的不同可以完全反應(yīng)出橋梁模型結(jié)構(gòu)在這兩種狀態(tài)下結(jié)構(gòu)特性的不同，所以分析的結(jié)果可以用于檢測(cè)橋梁模型結(jié)構(gòu)是否存在損傷．

圖5 實(shí)驗(yàn)流程圖Fig．5 Experiment flow chart

下面是根據(jù)本文所述損傷檢測(cè)方法具體的實(shí)施過(guò)程．

1，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)施加頻率范圍為0～500Hz的激勵(lì)信號(hào)．

2，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)得到橋梁結(jié)構(gòu)的NARMAX模型．

(1)基于正交前向回歸最小二乘算法辨識(shí)出結(jié)構(gòu)不同狀態(tài)(正常與損傷)下的NARMAX模型

本實(shí)驗(yàn)采用第500到第2000的采樣數(shù)據(jù)來(lái)辨識(shí)橋梁模型結(jié)構(gòu)的NARMAX模型，然后根據(jù)辨識(shí)得到的 NARMAX模型，得到橋梁模型結(jié)構(gòu)的NARX．正常狀態(tài)下所測(cè)橋梁模型結(jié)構(gòu)的NARX表達(dá)式如方程(23)所示，連接螺栓旋松狀態(tài)下所測(cè)橋梁模型結(jié)構(gòu)的NARX表達(dá)式如方程(24)所示．

(2)模型有效性驗(yàn)證

圖6 正常狀態(tài)下相關(guān)性驗(yàn)證圖形Fig．6 Correlation validation figure under undamaged statement

3，對(duì)辨識(shí)得到的NARX模型進(jìn)行仿真研究，即在兩個(gè)頻率相同幅值不同的諧波信號(hào)激勵(lì)下，分別計(jì)算系統(tǒng)NARX模型的響應(yīng)．

在此實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，兩次采用的激勵(lì)諧波信號(hào)為正弦信號(hào)，頻率為40Hz，采樣頻率400Hz，兩次的幅值A(chǔ)(1)和A(2)分別為1．1 和1．7．

4，根據(jù)不同幅值激勵(lì)下NARX模型的響應(yīng)求出橋梁模型結(jié)構(gòu)的非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)．

根據(jù)NARX模型在兩個(gè)不同輸入下的響應(yīng)，并利用方程(21)可以估算橋梁模型頻率為40Hz時(shí)非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)的值．計(jì)算結(jié)果如表2所示．

表2 橋梁模型不同狀態(tài)下非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)值Table 2 The value of NOFRF under different condition from bridge model

5，求出非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)的值根據(jù)非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)的定義(方程(22))，計(jì)算得到兩種狀態(tài)下橋梁模型結(jié)構(gòu)非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)在頻率為40Hz時(shí)的值，如表3所示．

圖7 橋梁模型不同狀態(tài)下非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)的值:左側(cè)－正常狀態(tài);右側(cè)－損傷Fig．7 The value of the index based on NOFRF under different condition from bridge model:left－undamaged;right:damaged

表3 橋梁模型不同狀態(tài)下的非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)的值Table 3 The value of index based on NOFRF under different condition from bridge model

為了更好地表示兩種狀態(tài)下的分析結(jié)果，圖7給出了橋梁模型結(jié)構(gòu)兩種狀態(tài)(正常與螺栓旋松)下，非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)的值．

表3或圖7中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)，通過(guò)比較兩種不同狀態(tài)下系統(tǒng)非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)的值來(lái)判斷系統(tǒng)是否存在損傷是切實(shí)可行的．

4 結(jié)論

本文提出了一種綜合運(yùn)用NARMAX模型和NOFRF分析方法對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行損傷檢測(cè)的方法．該新的損傷檢測(cè)方法主要包括三個(gè)部分:首先，利用仿真或?qū)嶒?yàn)輸入、輸出數(shù)據(jù)辨識(shí)得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的NARMAX模型，根據(jù)得到的NARMAX模型得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的NARX模型;然后，根據(jù)獲得的NARX模型，計(jì)算系統(tǒng)在諧波激勵(lì)下的非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)以及與之相關(guān)指標(biāo)的值;最后，通過(guò)比較不同狀態(tài)下系統(tǒng)的非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)的值來(lái)判斷系統(tǒng)是否存在損傷．

1 萬(wàn)小朋，王軍強(qiáng)，趙美英．基于模態(tài)頻率和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)．西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，21(2):156～159(Wan X P，W ang J Q，Zhao M Y．Structural damage monitoring based on vibration modal analysis and neural network technique．Journal of Northwestern Polytechnical University，2003，21(2):156～159(in Chiniese))

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*The project supported by the National Science Fund for Distinguished Young Scholars(11125209)and the National Natural ScienceFoundation of China(10902068，51121063)

? Corresponding author E－mail:z．peng@sjtu．edu．cn

THE EXPERIMENTAL STUDY OF DAMAGE DETECTION BASED ON NARMAX MODEL AND NOFRF*

Cheng Changming Peng Zhike?Meng Guang
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai200240，China)

The nonlinear output frequency response functions(NOFRF)which is derived from the Volterra series can facilitate the analysis of nonlinear systems in frequency domain，it is a one dimensional function of frequency．The paper introduces the structural damage detection method which is based on NARMAX model and NOFRF．An experimental study demonstrates the feasibility of the structural damage detection method．Because the nonlinear characteristics of system can be used for the detection of structural damage，and is sensitive about the state of system，in addition，the structural damage detection method which is based on NARMAX model and NOFRF is a nonlinear method for analyzing the state of system，the characteristics extracting from system is a nonlinear characteristics，so the damage detection method can be used for the detection of structural damage，and has the advantage which is sensitive to the state of system．

Volterra series， NARMAX model， nonlinear output frequency response functions， damage detection

21 April 2012，

11 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－015

2012－04－21 收到第 1 稿，2012－06－11 收到修改稿．

*國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11125209)和國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10902068，51121063)

E－mail:z．peng@sjtu．edu．cn