錯(cuò)在哪里?

王彩霞

我是一名從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育二十多年的一線教師，平常喜歡思考和探討一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，也喜歡和孩子們分享自己的經(jīng)驗(yàn)所得。所以，孩子們平常有了疑惑時(shí)，總喜歡來(lái)向我請(qǐng)教。有一次，幾個(gè)孩子拿著這樣的一道題來(lái)問(wèn)我。

例2：甲、乙兩個(gè)裝有水的圓柱形容器，底面積之比是5∶4，甲容器水面高度為8厘米，乙容器水面高度為12厘米，再往兩個(gè)容器中注入同樣多的水，直到兩個(gè)容器水面高度相等，這樣甲容器的水面應(yīng)上升多少厘米？

原題的分析與解答：

注入同樣多的水，即注入水的體積相等，那么圓柱形容器的底面積和容器水面高度成反比例。

甲乙兩個(gè)容器的底面積之比是5∶4，則甲乙兩個(gè)容器水面上升的高度之比是4∶5。原來(lái)甲容器的水面高度為8厘米，乙容器的水面高度為12厘米，甲比乙少12-8=4（厘米），現(xiàn)在兩個(gè)容器水面高度相等，可知乙容器水面上升的高度要比甲容器水面上升的高度多4厘米，所以甲容器的水面應(yīng)上升4÷（5-4）×4=16（厘米）。

以上是由蔣順、李濟(jì)元主編，陜西人民教育出版社出版，2016年1月第1版的《小學(xué)奧數(shù)優(yōu)化課本六年級(jí)》第91頁(yè)的內(nèi)容。

那么問(wèn)題來(lái)了，甲容器底面積大、水位低，乙容器底面積小、水位高，甲乙兩個(gè)容器注入同樣多的水，水位高度怎么會(huì)相同呢？帶著對(duì)原題的疑惑，我對(duì)原題進(jìn)行了認(rèn)真思考與研究。我發(fā)現(xiàn)教材例2給出的原解法是錯(cuò)誤的。

為了驗(yàn)證，我對(duì)原題做了以下兩種解法。

方法1：直接驗(yàn)證

由例2解法得到：甲容器水面上升16厘米，增加的水容積為16×5k=80k（容積單位）。

乙容器水面上升16+8-12=12（厘米），增加的水容積為12×4k=48k（容積單位）。

顯然，80k≠48k！與題意“兩個(gè)容器加入同樣多的水”矛盾。由此可見(jiàn)教材例2的原解法是錯(cuò)誤的。

方法2：用方程解

設(shè)甲容器水面上升x厘米后，甲乙兩個(gè)容器的水面同樣高，這時(shí)乙容器水面上升了8+x-12=x-4（厘米）。

由兩個(gè)容器加入同樣多的水知，5x=4（x-4），解得x=-16，與實(shí)際問(wèn)題不符。由此可見(jiàn)教材例2的原解法并不正確。

那么例2原解法到底錯(cuò)在了哪里呢？

它錯(cuò)在了題目所給的條件有問(wèn)題。

甲容器底面積大，乙容器底面積小，給甲乙兩個(gè)容器注入同樣多的水，使兩個(gè)容器的水位高度相同，那么甲容器的水面高度必須高、乙容器的水面高度必須低。

把原題“甲容器水面高度為8厘米，乙容器水面高度為12厘米”修改為“甲容器水面高度為12厘米，乙容器水面高度為8厘米”，則此問(wèn)題可解。

甲、乙兩個(gè)裝有水的圓柱形容器，底面積之比是5∶4，甲容器水面高度為12厘米，乙容器水面高度為8厘米，再往兩個(gè)容器中注入同樣多的水，直到兩個(gè)容器水面高度相等，這樣甲容器的水面應(yīng)上升多少厘米？

解法1：設(shè)甲容器水面上升x厘米后，甲乙兩個(gè)容器的水面同樣高，這時(shí)乙容器水面上升了12+x-8=x+4（厘米）。因?yàn)閮蓚€(gè)容器加入同樣多的水，所以5x=4（x+4），解得x=16。

檢驗(yàn)：當(dāng)甲容器水面高度上升16厘米時(shí)，實(shí)際上給甲容器注入了16×5k=80k（容積單位），這時(shí)甲容器的水面高度是12+16=28（厘米）。這時(shí)給乙容器水面也注入了80k容積單位，乙容器的水面高度上升了80k÷（4k）=20（厘米），乙容器的水面高度是8+20=28（厘米）?？梢?jiàn)，當(dāng)甲容器水面高度上升16厘米時(shí)，甲乙兩個(gè)容器的水面高度都是28厘米，完全符合題意。

解法2： 甲乙兩個(gè)容器的底面積之比是5∶4，則甲乙兩個(gè)容器水面上升的高度之比是4∶5。原來(lái)甲容器的水面高度為12厘米，乙容器的水面高度為8厘米，乙比甲少12-8=4（厘米），現(xiàn)由兩個(gè)容器水面高度相等，可知乙容器水面上升的高度要比甲容器水面上升的高度多4厘米，所以甲容器的水面應(yīng)上升4÷（5-4）×4=16（厘米）。

通過(guò)對(duì)這道應(yīng)用題的研究，我認(rèn)識(shí)到解答應(yīng)用題，對(duì)解法結(jié)果要檢驗(yàn)。檢驗(yàn)解答結(jié)果，如果符合題意，說(shuō)明解答是正確的;如果不符合題意，說(shuō)明解答過(guò)程有問(wèn)題，需要反思，找出問(wèn)題癥結(jié)，直到問(wèn)題解決。

作者單位 陜西省延安市延川縣南關(guān)小學(xué)