基于曲線形態(tài)的曲線相似性度量

陳濤

（四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都610065）

具有相似性的數(shù)據(jù)序列構(gòu)成的曲線具有相似的形態(tài)特征。提出一種基于用切線向量來標(biāo)識(shí)曲線特征，計(jì)算切線向量集之間的相似度，進(jìn)而對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行相似性度量，達(dá)到數(shù)據(jù)序列分類識(shí)別的方法。該方法用連續(xù)性函數(shù)將點(diǎn)列分段連接成一條曲線，再求解所有點(diǎn)的切線向量組成向量集，通過比較兩列數(shù)據(jù)點(diǎn)列切線向量集的相似度來識(shí)別和將點(diǎn)列識(shí)別。最后通過實(shí)驗(yàn)，證明該方法的有效性、準(zhǔn)確性、廣泛適用性。

曲線形態(tài)；切線向量；曲線識(shí)別

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算的飛速發(fā)展，利用計(jì)算機(jī)系統(tǒng)和數(shù)學(xué)技術(shù)在生產(chǎn)生活中幫助人們實(shí)現(xiàn)智能識(shí)別和自動(dòng)處理各種事務(wù)是計(jì)算機(jī)應(yīng)用的研究熱點(diǎn)。在氣象變化分析、股票變化分析、金融數(shù)據(jù)分析、電磁信號(hào)分析[1]、運(yùn)動(dòng)曲線識(shí)別等需要進(jìn)行模式識(shí)別的方面都有廣泛的應(yīng)用需求。

計(jì)算機(jī)將現(xiàn)實(shí)世界的某種信息通過數(shù)學(xué)模型按照順序記錄保存于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)器中，形成了信息到數(shù)據(jù)點(diǎn)列的映射。要實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)智能識(shí)別信息和自動(dòng)處理事務(wù)，就需要將保存于計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)點(diǎn)列進(jìn)行識(shí)別，然后再根據(jù)預(yù)先設(shè)定的處理程序進(jìn)行相應(yīng)的自動(dòng)處理。對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)列的自動(dòng)識(shí)別，就成了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的關(guān)鍵。點(diǎn)列分類識(shí)別的實(shí)質(zhì)就是將不同的點(diǎn)列進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算不同點(diǎn)列之間的相似度，根據(jù)相似度來確定某一點(diǎn)列是屬于哪一類。

在已有的研究中，與本文相類似的研究是關(guān)于時(shí)間序列相似性度量。計(jì)算機(jī)記錄數(shù)據(jù)時(shí)，是按照時(shí)間順序記錄存儲(chǔ)的，因此形成的數(shù)據(jù)點(diǎn)列可以看作是時(shí)間序列數(shù)據(jù)。近年來，在有關(guān)時(shí)間序列相似性搜索方面，歐氏距離（Euclid Distance）、普通Lp規(guī)范距離（Simple LpNorm）、動(dòng)態(tài)時(shí)間彎曲距離（Dynamic Time Warping，DTW）、DM模式距離（Pattern Distance）、Lpmin最小距離（Minimum Distance）[2-7]等在不同應(yīng)用背景中均可作為度量相似性的有效方法。DM模式距離更接近自然語言描述，模式定義的物理意義明確，劃分更趨合理，但其表示方法較粗糙，得出的結(jié)論不夠明確。在此基礎(chǔ)上，張建業(yè)等人提出了基于斜率表示的時(shí)間序列相似性度量方法[8]。該方法物理意義明確，具有直觀性，且計(jì)算過程簡潔；對(duì)于數(shù)據(jù)的大小不敏感，強(qiáng)調(diào)曲線形狀的相似性，提高了相似性度量準(zhǔn)確度，但該方法采用分段直線化方法，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界中的非離散信息數(shù)據(jù)進(jìn)行相似性度量時(shí)，度量準(zhǔn)確性就會(huì)下降，另外這些方法針對(duì)的是時(shí)間序列，并且要求參與度量的時(shí)間序列時(shí)間長度要一樣，限制了適用范圍。

本文從不同的角度出發(fā)，研究證明了曲線上點(diǎn)的切線向量組成的向量集對(duì)曲線形態(tài)特征有表征作用，如果將點(diǎn)列中的點(diǎn)以某種曲線相互連接起來，將其繪制成圖來看，點(diǎn)列就有了自己的形態(tài)特征，相似的點(diǎn)列在形態(tài)上必然是相似的，反之亦然。但是如果將點(diǎn)與點(diǎn)之間全都用直線連接，不能準(zhǔn)確地反映點(diǎn)列對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)信息的真實(shí)情況，誤差較大。使用二次多項(xiàng)式曲線進(jìn)行連接，在采樣點(diǎn)足夠密的條件下，則可以較為精確地逼近真實(shí)情況。然后計(jì)算曲線上各點(diǎn)的切線組成切線向量，計(jì)量不同點(diǎn)列的曲線切線向量之間的相似度，從而實(shí)現(xiàn)將點(diǎn)列所映射的現(xiàn)實(shí)信息進(jìn)行了識(shí)別和分類的目標(biāo)。

1 曲線的形態(tài)表示

尋找兩條曲線的相似性度量的途徑，考慮到連續(xù)曲線生成后，它的形態(tài)是唯一的，可以從曲線的形態(tài)上去對(duì)比分析做相似性度量，從而將曲線識(shí)別和分類。導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的基本概念，是函數(shù)的局部性質(zhì)，一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率[9]，對(duì)與函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線變化有影響，重要的是，導(dǎo)數(shù)也具有唯一性。導(dǎo)數(shù)也即是函數(shù)在某點(diǎn)的切線的斜率。因此，連續(xù)曲線的形態(tài)與其上的點(diǎn)的切線有著密切聯(lián)系。

1.1 曲線切線的特性

對(duì)于連續(xù)曲線，其上的任意一點(diǎn)均有且僅有一條切線，曲線切線不僅唯一，而且還有方向性，通過對(duì)連續(xù)曲線特點(diǎn)進(jìn)行研究分析，連續(xù)曲線具有以下特點(diǎn)。

1.1.1 曲線縮放與切線變化

設(shè)一條連續(xù)曲線方程，為了簡便，該曲線方程為多次單項(xiàng)式，但不影響最終結(jié)論。

對(duì)其放大m倍，得到：

對(duì)變換后的函數(shù)求導(dǎo)，得到：

對(duì)于（1）式中的任何一點(diǎn)p，將其放大m倍后代入（3）式中，可得到：

觀察（4）式和（1）式求導(dǎo)后的p點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可知，將曲線放大，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)保持不變，即曲線變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線向量平行。對(duì)于更一般的k次多項(xiàng)式曲線函數(shù)，由于其多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)與（1）式類似，則k次多項(xiàng)式可同理證明。

從以上的論證可以看出，對(duì)一條曲線段進(jìn)行等比例放大或者縮小，曲線段變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線向量平行。而對(duì)曲線段進(jìn)行縮放不會(huì)改變曲線的形態(tài)特征。

因此可以得出結(jié)論一：兩段曲線段的形態(tài)一樣，則兩段曲線對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的切線向量平行；改變兩段曲線的等比例關(guān)系，即形態(tài)不再完全一樣，則兩段曲線對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的切線向量平行性也會(huì)改變。

反過來看，如果兩曲線段上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線向量平行，那么這兩段曲線形態(tài)是否完全一樣？經(jīng)過研究論證，答案是肯定的，以下給出論證過程。

1.1.2 切線對(duì)曲線的約束

同樣，設(shè)連續(xù)曲線的函數(shù)方程為：

則：

這里在x的定義域上取一區(qū)間段[a ,b]，使其滿足對(duì)于任意x1,x2∈[a ,b]，都有

任意兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)，設(shè)x2-x1=m(b-a)，將這兩點(diǎn)平移，使x1移動(dòng)到c點(diǎn)，使ma=c，對(duì)應(yīng)的x2移動(dòng)到d點(diǎn)，d=mb。對(duì)這兩點(diǎn)同樣用k次多項(xiàng)式擬合，并設(shè)多項(xiàng)式方程為：

則：

這里對(duì)于任意：

代入g(x)并在等號(hào)兩側(cè)同乘，得到：

由于常數(shù)項(xiàng)可以通過在Y軸上平移變?yōu)閍0/m，整個(gè)等式等同于（1）式在區(qū)間[a,b]段的曲線等比例放大了m倍。由此可知，對(duì)于通過坐標(biāo)平面上的任意兩點(diǎn)的曲線段，在滿足（2）的條件下，如果它在曲線段端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與（1）在端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則這個(gè)曲線段與f(x)對(duì)應(yīng)段成比例關(guān)系。從論證過程也不難看出，改變對(duì)應(yīng)點(diǎn)切線向量之間的平行關(guān)系，就改變了兩曲線段之間的比例關(guān)系，使兩者之間的形態(tài)不再完全相同。也即是說，對(duì)于一條曲線，將其定義域劃分為足夠小的區(qū)間段，則可用其在所有區(qū)間段端點(diǎn)處的切線向量序列，刻畫了曲線的形態(tài)。

從上面的論證可以得出結(jié)論二：如果兩曲線段上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線向量平行，那么這兩段曲線大小成等比例關(guān)系，形態(tài)完全一樣；如果兩曲線段上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線向量不平行，那么這兩段曲線之間形態(tài)則不完全一樣，只存在一定的相似度。

以上兩個(gè)結(jié)論，共同指明了一點(diǎn)：對(duì)于兩個(gè)曲線段，可以通過對(duì)比兩者之間對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線向量之間的平行性關(guān)系，來判斷兩曲線段形態(tài)相似性程度。這就為本文討論的方法提供了理論基礎(chǔ)。

1.2 點(diǎn)列形態(tài)表示和度量

由于計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的固有特點(diǎn)，任何信息采集記錄到計(jì)算機(jī)中，都是以離散的數(shù)值保存。為了能夠點(diǎn)列的形態(tài)特征量化，以利用前述連續(xù)曲線的形態(tài)可由曲線上點(diǎn)列的切線向量集合來表征的特性，需要將點(diǎn)列中的各點(diǎn)用連續(xù)曲線進(jìn)行連接。將點(diǎn)列上的所有點(diǎn)用一個(gè)連續(xù)性方程進(jìn)行連接，往往是難以實(shí)現(xiàn)的，因此，采用分段連續(xù)曲線連接。具體講就是每次只取用少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)曲線連接，取點(diǎn)數(shù)量取決于選用的連續(xù)曲線方程的次數(shù)，然后依次進(jìn)行分段連接直至點(diǎn)列終點(diǎn)。

1.2.1 點(diǎn)列連接及求切線向量集過程

在1.1小節(jié)的論證過程中，針對(duì)的是有限制的曲線段，在曲線段定義區(qū)間內(nèi)，不能出現(xiàn)不同的點(diǎn)的切線向量相等。本文經(jīng)過研究思考，選用二次多項(xiàng)式方程進(jìn)行分段連接。在進(jìn)行連接時(shí)，分兩種情況進(jìn)行考慮：

（1）第一種情況，參與對(duì)比的兩列點(diǎn)列T和L分布對(duì)等。點(diǎn)列分布對(duì)等指的是將其中一列點(diǎn)列的橫坐標(biāo)經(jīng)過某種比例縮放，或者還需要加上平移，之后能與另一列點(diǎn)列的橫坐標(biāo)重合。

這種情況的處理過程較為簡單，分別對(duì)兩列點(diǎn)列做如下操作：

①每次選取三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)作為已知量，代入二次多項(xiàng)式函數(shù)y=ax2+bx+c求出三個(gè)未知系數(shù)的值，得到某次分段連接的曲線函數(shù)Li和Ti，如此反復(fù)，直至點(diǎn)列終點(diǎn)。在取點(diǎn)時(shí)，為了準(zhǔn)確性，上一分段的最后一個(gè)點(diǎn)，是下一分段的起點(diǎn)。

②分別求出Li和Ti上各點(diǎn)的切線，構(gòu)成表征分段曲線形態(tài)的切線向量集DLi和DTi。

（2）除第一種情況的其他情況歸為第二種情況。在這種情況下，不同點(diǎn)列的分布不僅不對(duì)等，還可能有點(diǎn)的密度分布不均勻，點(diǎn)列長度不一致等情形。因此需要進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，使其能夠運(yùn)用1.1小節(jié)中的理論。數(shù)據(jù)處理過程的核心就是找出兩列點(diǎn)列中需要用來參與計(jì)算切線向量然后進(jìn)行比對(duì)的點(diǎn)。處理過程步驟為：

①根據(jù)點(diǎn)列T和L的定義域區(qū)間求出區(qū)間比例值。

設(shè)T的定義區(qū)間為[a,b]，L的區(qū)間為[c,d]，區(qū)間比例值則為：

h=(b-a)(d-c)

②設(shè)曲線T、L對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列（橫坐標(biāo)）分別為：

若m>n，T對(duì)應(yīng)點(diǎn)列中點(diǎn)的數(shù)量比L多，以L為基準(zhǔn)，即對(duì)兩列點(diǎn)列分別分段連接時(shí)，每次先對(duì)L進(jìn)行分段連接，然后計(jì)算出T中應(yīng)該連接的區(qū)間段。

③同第一種情況一樣，上一分段連接的最后一個(gè)點(diǎn)，是[li,li+2]下一分段連接的起點(diǎn)。以第(i+1)2次分段連續(xù)曲線連接來說明，先對(duì)L以[li,li+2]區(qū)間的點(diǎn)進(jìn)行連接，求出連接曲線方程Li；

④計(jì)算出 T對(duì)應(yīng)的擬合區(qū)間為[(li-l1)h+t1,(li+2-l1)h+t1,]，找出該區(qū)間內(nèi)T的點(diǎn)列[tj,tj+1,…,tk]，如果tj>(li-l1)h+t1，則往前搜索點(diǎn)并加入原有點(diǎn)列，直至滿足tj≤(li-l1)h+t1。

⑤將T中 的 點(diǎn) 列[tj,tj+1,…,tk] 按 照 公 式(tj-t1)h+l1,(j=j,…,k)，分別求出點(diǎn)列[tj,tj+1,…,tk]在Li曲線段上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)，并與[li,li+2]組合后排序，同時(shí)剔除多余的相等元素后，分別代入Li曲線方程，求出表征Li曲線段的形態(tài)的切線向量集DLi。

⑥將T中該區(qū)間上的已知點(diǎn)[ ]tj,tj+1,…,tk，每三個(gè)點(diǎn)求解二次多項(xiàng)式連接函數(shù)，用公式(li-l1)h+t1,(i=i,i+1,i+2)求出Li曲線段上三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于Ti曲線段上的三個(gè)橫坐標(biāo)點(diǎn)，將這三個(gè)點(diǎn)與[ ]tj,tj+1,…,tk組合在一起后排序，同時(shí)剔除多余的相等元素后，分別代入各自所屬的曲線段方程，求出表征Ti曲線段的形態(tài)的切線向量集DTi。

1.2.2兩點(diǎn)列相似性度量

根據(jù)1.1小節(jié)中的研究結(jié)論，兩條曲線按照一定方法確定出參與比對(duì)的點(diǎn)的切線向量平行，兩切線向量的夾角余弦值為1，則對(duì)應(yīng)的曲線段形態(tài)相似度為1。如果切線向量不平行，兩切線向量的夾角余弦值小于1，則說明曲線段形態(tài)相似度小于1。兩切線向量的夾角余弦值小于1，余弦值越小，兩曲線段形態(tài)差異越大。因此，可以通過計(jì)算和比較兩條曲線上點(diǎn)的切線向量集對(duì)應(yīng)切線向量的夾角余弦值，來對(duì)曲線相似性進(jìn)行度量。

按照1.2.1中的方法得到兩條曲線T和L的切線向量集：

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文的實(shí)驗(yàn)使用的平臺(tái)為MATLAB，編程、繪制曲線圖，以及觀察分析結(jié)果都很方便。實(shí)驗(yàn)圍繞驗(yàn)證本文方法的有效性、準(zhǔn)確性、廣泛適用性以及確定影響相似性度量的精度的因素展開，將對(duì)現(xiàn)實(shí)情況中可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過程、結(jié)果及分析如下：

（1）第一組實(shí)驗(yàn)：

曲線f1=2t2和f2=t2的相似度度量，這兩條曲線不成比例關(guān)系，兩者形態(tài)上的度量結(jié)果應(yīng)當(dāng)小于1。

取t1=-3:0.1:3；取t2=-3:0.1:3；用MATLAB作圖如圖1。

相似度度量結(jié)果：

R_mean=9.813076407741855e-01

取t1=-3:0.06:3；取t2=-3:0.1:3；用MATLAB作圖如圖2。

圖1

圖2

相似度度量結(jié)果：

R_mean=9.815434298610891e-01

取t1=-3:0.06:3；取t2=-3:0.06:3；用MATLAB作圖如圖3。

圖3

相似度度量結(jié)果：

R_mean=9.813020769315147e-01

實(shí)驗(yàn)分析：

本組實(shí)驗(yàn)第一例和第三例中兩列點(diǎn)的分布都是對(duì)等分布，第三例比第一例取點(diǎn)更密，雖然兩者實(shí)驗(yàn)結(jié)果有差異，但僅有5.5e-06，第二例中兩列點(diǎn)列點(diǎn)的分布疏密不同，雖然其中一列點(diǎn)的數(shù)量比第一例中多，但結(jié)果與第一例之間的差異為2.4e-04，是第一例和第三例之間差異的44倍。

本組實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

參與度量的兩列點(diǎn)列如果點(diǎn)的分布對(duì)等，取點(diǎn)疏密對(duì)度量結(jié)果的影響較小，但是當(dāng)點(diǎn)的分布不對(duì)等，差異較大時(shí)，度量的精度相比點(diǎn)分布對(duì)等情形，受到較大影響。但總的來看，三個(gè)例子度量的結(jié)果是符合預(yù)期的，且兩個(gè)例子結(jié)果之間的誤差小，表明本文方法的有效性、準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

（2）第二組實(shí)驗(yàn)：

曲線f1=sin t和f2=0.5sin(2t-1)的相似度度量，理論上，這兩條曲線相似性度量結(jié)果應(yīng)為1。

取t1=0:0.08:pi；取 t2=0.5:0.04:0.5(pi+1)；用MATLAB作圖如圖4。

圖4

相似度度量結(jié)果：R_mean=1。

取t1=0:0.08:pi；取 t2=0.5:0.08:0.5(pi+1)；用MATLAB作圖如圖5。

相似度度量結(jié)果：

R_mean=9.999981555798608e-01

取t1=0:0.06:pi；t2=0.5:0.12:0.5(pi+1)；用MATLAB作圖如圖6。

相似度度量結(jié)果：

R_mean=9.999934377788184e-01

結(jié)果分析：本組實(shí)驗(yàn)得到的圖形，無論從直觀上看，還是從求得的相似度度量結(jié)果看，兩條曲線的形態(tài)相似度很高，屬于同一類型的曲線。實(shí)際上，本組實(shí)驗(yàn)提供點(diǎn)列數(shù)據(jù)所用的函數(shù)組，f2是f1先向左平移1，再等比例縮小0.5倍，所以兩條曲線形態(tài)理論上完全一致，R_mean應(yīng)當(dāng)?shù)扔?。而實(shí)驗(yàn)中三個(gè)例子所得結(jié)果之間均有差異，原因在于：

①本組第一例中取點(diǎn)的情形屬于1.2.1所述的第一種情況，兩列點(diǎn)列的點(diǎn)分布對(duì)等，從1.1小節(jié)中的論證可知，成比例關(guān)系的曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線平行，切線夾角余弦值為1。雖然使用二次多項(xiàng)式函數(shù)連接點(diǎn)列，近似取代了原本正弦函數(shù)曲線，但是對(duì)兩列點(diǎn)列都做同種連接，其成比例的性質(zhì)不會(huì)改變，也即是兩列點(diǎn)列的相似性不會(huì)改變，本例的結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。

②本組三個(gè)例子的結(jié)果差異來自于兩列點(diǎn)列取點(diǎn)密度不一致造成的。第一例中，兩列點(diǎn)列取點(diǎn)密度為1:1，第二例為2:1，第三例為4:1，隨著兩列點(diǎn)列密度差異越大，相似性度量的結(jié)果越來越小。原因分析為，由于兩列點(diǎn)列之間點(diǎn)的分布不對(duì)等時(shí)，需要按照1.2.1中第二種情況介紹的方法進(jìn)行插值計(jì)算出兩列點(diǎn)列參與計(jì)算切線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，而二次多項(xiàng)式函數(shù)在連接點(diǎn)列中各點(diǎn)時(shí)，相對(duì)于點(diǎn)列分布對(duì)等情形，曲線段的形態(tài)會(huì)產(chǎn)生變形，因此結(jié)果會(huì)出現(xiàn)誤差。

圖5

圖6

本組實(shí)驗(yàn)結(jié)論：

點(diǎn)列之間相似性的度量精度受到點(diǎn)列之間點(diǎn)的分布影響，不同點(diǎn)列之間點(diǎn)的分布差異性越大，則度量精度越低。

（3）第三組實(shí)驗(yàn)

曲線f1=cos(t-π)，f2=t2和f3=4t2，本組實(shí)驗(yàn)將不同類型的曲線放在一起進(jìn)行對(duì)比觀察。

取t1,t2,t3=-0.5pi:0.05:0.5pi；用MATLAB作圖如圖7。

相似度度量結(jié)果：

f1和f2相似度：

R_mean=9.354131466024146e-01

f1和f3相似度：

R_mean=7.223296489701438e-01

當(dāng)取t1=-0.5pi:0.05:0.5pi；

t2=-0.5pi:0.07:0.5pi；

t3=-0.5pi:0.09:0.5pi；

相似度度量結(jié)果：

f1和f2相似度：

R_mean=9.358714811142291e-01

f1和f3相似度：

R_mean=7.225048915067527e-01

結(jié)果分析：從直觀上看三條曲線的形態(tài)，f1和f2相似度高，f1和f3相似度低，對(duì)于不同的兩條函數(shù)曲線，比較兩者形態(tài)上的相似性，在給定的區(qū)間內(nèi)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果也很好地符合了實(shí)際情況。另外，在不同的取點(diǎn)頻率下，雖然度量結(jié)果有所差別，但差別很小，與前兩組實(shí)驗(yàn)的結(jié)論是一致的。表明本文的方法準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性較好。

（4）第四組實(shí)驗(yàn)

在前面的幾組實(shí)驗(yàn)中，有一個(gè)共同點(diǎn)是，隨著橫坐標(biāo)變化，一個(gè)橫坐標(biāo)始終只對(duì)應(yīng)一個(gè)縱坐標(biāo)值，對(duì)于一個(gè)橫坐標(biāo)有多個(gè)縱坐標(biāo)值的復(fù)雜情況下，本文方法同樣能夠適用，只需要將數(shù)據(jù)做一個(gè)簡單的分離，然后用前述方法進(jìn)行比對(duì)即可。下面的實(shí)驗(yàn)以橢圓為例，來證明本文方法的廣泛適用性。

取t1=-1:0.1:1；t2=-0.5:0.05:0.5；用MATLAB作圖如圖8。

由于橫坐標(biāo)同時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)縱坐標(biāo)值，按照前面的步驟無法用二次多項(xiàng)式曲線進(jìn)行連接，為此，需要對(duì)點(diǎn)列進(jìn)行先行處理：

將點(diǎn)列進(jìn)行搜索，找出同一個(gè)橫坐標(biāo)下有多個(gè)縱坐標(biāo)值的點(diǎn)，按照縱坐標(biāo)由大到?。ɑ蛘哂尚〉酱螅╉樞蛞来畏蛛x出來組成新的點(diǎn)列，對(duì)其他點(diǎn)列也做同樣處理，讓后對(duì)新構(gòu)成的點(diǎn)列分別按照本文前面所述的方法進(jìn)行相似性度量。

在本例中，將橢圓分成上下兩個(gè)部分，將兩橢圓的上、下部分分別進(jìn)行比對(duì)度量，用MATLAB作圖如圖9。

在實(shí)驗(yàn)中，對(duì)兩部分分別進(jìn)行相似性度量的結(jié)果均為1，與理論預(yù)期一致，表明了本文方法的準(zhǔn)確性和廣泛適用性。

3 結(jié)語

現(xiàn)實(shí)世界中用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)象反映到計(jì)算機(jī)中，就成為計(jì)算機(jī)中保存的一系列點(diǎn)列，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)這些點(diǎn)列按照需求進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，自動(dòng)識(shí)別其中包含的信息和特征，能夠幫助人們進(jìn)行自動(dòng)處理和控制生產(chǎn)生活方面的事務(wù)。本文從曲線的形態(tài)特征入手，將計(jì)算機(jī)中保存的點(diǎn)列用連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分段擬合，求解出各點(diǎn)的切線，利用切線向量對(duì)曲線形態(tài)具有刻畫作用的特點(diǎn)，通過計(jì)算兩列點(diǎn)列擬合出的曲線的切線向量之間夾角余弦值，從而識(shí)別出兩列點(diǎn)列之間的相似度。

圖9

本文所述方法的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于：

可以對(duì)計(jì)算機(jī)中的多種類型點(diǎn)列之間的相似度進(jìn)行有效度量，而不用關(guān)注這些點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于現(xiàn)實(shí)世界中的是離散點(diǎn)集還是曲線，也不用關(guān)注曲線是否是連續(xù)的；對(duì)于參與度量的點(diǎn)列，不要求它們的長度大小相同，也不要求點(diǎn)在定義域上分布是否均勻，還可以對(duì)復(fù)雜的數(shù)據(jù)點(diǎn)列進(jìn)行度量，如第四組實(shí)驗(yàn)，這些特點(diǎn)，使本方法具有廣泛的適用性、通用性。

從研究探討過程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，利用本文的方法可以有效的度量出兩列點(diǎn)列整體的相似性關(guān)系。影響度量精度的最主要的因素是計(jì)算機(jī)在采集和記錄信息時(shí)，采樣頻率和間隔如果保持一致，使不同點(diǎn)列中點(diǎn)的分布對(duì)等，那么度量的結(jié)果是完全準(zhǔn)確的。另外，從本文所講述的計(jì)算過程可以看出，在進(jìn)行分段連接的同時(shí)，計(jì)算出了兩列點(diǎn)列該分段的切線向量之間的余弦值，所以這個(gè)方法能夠很方便地實(shí)現(xiàn)將點(diǎn)列各個(gè)分段的相似性程度也顯示出來的功能，以方便人們觀察分析。對(duì)于計(jì)算機(jī)計(jì)算出來相似性度量的結(jié)果，為人們提供了參考的依據(jù)，至于設(shè)置什么樣閾值條件對(duì)點(diǎn)列所對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)世界中的信息進(jìn)行分類和處理，則需要人們根據(jù)需要和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)置。

本文所提出的方法，既可以使用二次多項(xiàng)式去進(jìn)行分段曲線擬合，也可以使用其他多次多項(xiàng)式，使用二次多項(xiàng)式將給定點(diǎn)列進(jìn)行分段擬合，原因在于二次多項(xiàng)式用于本文所研究的方法有諸多優(yōu)點(diǎn)：

（1）現(xiàn)實(shí)情況中，無論是直線還是曲線，都可以用二次多項(xiàng)式分段近似取代。對(duì)于直線，在用直線上的點(diǎn)求二次多項(xiàng)式時(shí)，二次多項(xiàng)式可以退化為直線。對(duì)于任何曲線，只要將曲線分段充分小，就可用二次多項(xiàng)式去近似的取代。

（2）本文所提出的方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)為1.1小節(jié)中所證明的關(guān)于曲線的兩個(gè)特性。用二次多項(xiàng)式擬合給定點(diǎn)列的三個(gè)點(diǎn)成為一段曲線，該曲線段的導(dǎo)數(shù)是單調(diào)的，始終可以滿足1.1.2中（2）式的要求，。

（3）在求二次多項(xiàng)式方程系數(shù)時(shí)，只需要不共線三個(gè)點(diǎn)就可以求解，計(jì)算機(jī)計(jì)算二次函數(shù)運(yùn)算量較小，可以提高計(jì)算機(jī)的運(yùn)算效率，節(jié)約時(shí)間。

本文的研究集中于二維曲線，既然曲線上點(diǎn)的切線對(duì)曲線形態(tài)特征具有表征作用，那么可以很自然地推想到將該方法用于三維曲線相似性度量，這也是下一步研究方向。