一類具有B-D功能反應(yīng)項(xiàng)的捕食系統(tǒng)的定性分析*

李暢通，馮孝周

(西安工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,西安 710021)

為了有效的控制害蟲(chóng),農(nóng)業(yè)部門和經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出了有害生物綜合治理(Integrated Pest Management,IPM)策略。通常IPM 主要利用化學(xué)控制,生物控制和人工防治等互相配合的方式，建立高效的綜合防治體系來(lái)控制害蟲(chóng)。其中生物控制主要是利用投放天敵、收獲和抓捕等手段來(lái)控制害蟲(chóng)的數(shù)量,而化學(xué)控制是利用殺蟲(chóng)劑等化學(xué)物品來(lái)迅速大量的殺死害蟲(chóng)。在實(shí)施害蟲(chóng)控制時(shí)應(yīng)該有效結(jié)合2種控制策略,相互配合,從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的控制策略。

近年來(lái),具有害蟲(chóng)綜合控制的捕食系統(tǒng)已經(jīng)得到了廣泛研究并得到了較好的結(jié)論[1-3]。然而很多文獻(xiàn)將天敵的周期釋放量定為一個(gè)不變的常數(shù),這意味著農(nóng)業(yè)資源對(duì)害蟲(chóng)的控制非常有效[4-8]。事實(shí)上,病蟲(chóng)害的爆發(fā)或再度猖獗往往具有突發(fā)性、不確定性等特點(diǎn),所以害蟲(chóng)控制策略必定受到包括殺蟲(chóng)劑、天敵和人力等農(nóng)業(yè)資源不足的嚴(yán)重影響,而這些影響往往是非線性的。具有非線性脈沖控制的模型比線性脈沖有更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為,也更切合實(shí)際[9-12]。然而具有B-D功能反應(yīng)項(xiàng)的模型還鮮有研究,因此,本文研究了具有非線性脈沖控制的捕食系統(tǒng)

(1)

1 預(yù)備知識(shí)和基本引理

令R+=[0,+),在(nT,(n+1)T],n∈Z+上連續(xù)。令f=(f1,f2)T為系統(tǒng)(1)前兩個(gè)方程的右端映射,顯然f的光滑保證了解的存在唯一性。

引理1 令X(t)=(x(t),y(t))是系統(tǒng)(1)的一個(gè)解,如果初值X(0+)≥0,那么對(duì)于所有t≥0均有X(t)≥0成立。進(jìn)一步,如果X(0+)>0,那么對(duì)于所有t≥0均有X(t)>0。

引理2 系統(tǒng)(1)的所有正解是一致最終有界。

令脈沖微分方程

的最大解r(t)在[0,+)存在,則當(dāng)t≥0且V(0+,x0)≤u0時(shí)，V(t,x)≤r(t)。

為了了解系統(tǒng)(1)害蟲(chóng)根除周期解的存在性,給出系統(tǒng)(1)的子系統(tǒng)的基本性質(zhì)

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]得如下引理

引理4 如果1-q2exp(-δT)>0,式(2)存在一個(gè)正的全局穩(wěn)定的周期解為

t∈(nT,(n+1)T],n∈Z+。

因此,系統(tǒng)(1)的害蟲(chóng)根除周期解為(0,y*(t))。害蟲(chóng)根除周期解的穩(wěn)定性在分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和揭示生物意義方面起著關(guān)鍵作用,因此下文給出害蟲(chóng)根除周期解的穩(wěn)定性的條件。

2 害蟲(chóng)根除周期解的穩(wěn)定性

定理1 如果

則系統(tǒng)(1)的害蟲(chóng)根除周期解(0,y*(t))是局部漸近穩(wěn)定的。

證明為了證明害蟲(chóng)根除周期解局部穩(wěn)定性,令u(t)=x(t),v(t)=y(t)-y*(t),其中u(t),v(t)為小的擾動(dòng)。令φ(t)為系統(tǒng)(1)的基解矩陣,因此φ(t)必須滿足

其中φ(0)=E為單位矩陣。

系統(tǒng)(1)在脈沖時(shí)刻的方程為

定義矩陣

分析λ2的取值范圍,因?yàn)?<1-q2exp(-δT)<1，則有

q2exp(-δT)<1,

所以λ2>q2exp(-δT)-1>-1,即|λ2|<1。因此,當(dāng)|λ1|<1時(shí)，害蟲(chóng)根除周期解(0,y*(t))是局部穩(wěn)定的。因?yàn)?/p>

若害蟲(chóng)根除周期解失去穩(wěn)定性,系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為將變得非常復(fù)雜。為此,令

且存在T0>0使得F(T0)=0。這意味著,當(dāng)TT0時(shí)，害蟲(chóng)根除周期解失去穩(wěn)定性，系統(tǒng)(1)可能產(chǎn)生分支現(xiàn)象,即T0是分支的閾值。下面討論系統(tǒng)(1)在害蟲(chóng)根除周期解附近分支出非平凡周期解的情況。

3 非平凡周期解當(dāng)然存在性

利用文獻(xiàn)[13]中的脈沖微分方程分支理論討論系統(tǒng)(1)非平凡周期解的存在性,有如下主要結(jié)論:

定理2 若存在T0使F(T0)=0,當(dāng)q2>τθ且Ka<4rbc時(shí),系統(tǒng)(1)在T=T0發(fā)生超臨界分支。

證明記Φ(t,X0)為具有初值條件X0=(x0,y0)的系統(tǒng)(1)的前兩個(gè)方程的解,Φ=(Φ1,Φ2),ξ(t)=(y*(t),0)。定義映射

Θ2(x,y)=q1y(t)。

由文獻(xiàn)[13]得

注意到

求二階偏導(dǎo)數(shù)得

因此有

令

4 數(shù)值模擬

為了研究非線性脈沖如何影響系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)分值參數(shù)圖來(lái)反應(yīng)某些特定參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。當(dāng)T>T0時(shí),害蟲(chóng)根除周期解失去穩(wěn)定性,此時(shí)系統(tǒng)變得相當(dāng)復(fù)雜。為此,首先選取脈沖周期T作為分支參數(shù),固定其他參數(shù)如圖1所示,取參數(shù)r=2.69,K=2.4,a=1.1,b=0.001,c=1.05,d=0.22,β=0.91,q1=0.88,q2=0.96,τ=5.5。由圖1可以觀察到，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜,如出現(xiàn)倍周期分支、周期倍減分支、多吸引子共存和混沌等現(xiàn)象。當(dāng)脈沖周期T由10增加25時(shí),系統(tǒng)經(jīng)歷了3次倍周期分支以及周期減半分支。

特別的,當(dāng)T=16時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)多吸引子共存現(xiàn)象,系統(tǒng)存在一個(gè)T周期解和2T周期解共存現(xiàn)象,如圖2所示,系統(tǒng)(1)取T=16時(shí)的2個(gè)穩(wěn)定的吸引子。當(dāng)T由25開(kāi)始增加,系統(tǒng)由穩(wěn)定的T周期解分支出2T周期解,進(jìn)一步倍周期分支導(dǎo)致混沌現(xiàn)象發(fā)生。當(dāng)T接近31時(shí),混沌消失系統(tǒng)出現(xiàn)一個(gè)8T周期解。隨著T進(jìn)一步增加,系統(tǒng)經(jīng)歷周期減半分支以及倍周期分支的動(dòng)力學(xué)行為的轉(zhuǎn)化過(guò)程,而倍周期分支最終又導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。在混沌結(jié)束后,周期減半分支連續(xù)發(fā)生,當(dāng)T=37.64時(shí)進(jìn)入穩(wěn)定的T周期解。

圖1 脈沖周期T的分支參數(shù)圖Fig.1 Bifurcation diagrams with respect to parameter T

圖2為系統(tǒng)(1)的T周期和2T周期解共存現(xiàn)象。這意味著若選取不同的初值,系統(tǒng)的解最終穩(wěn)定性會(huì)變化較大。固定參數(shù)如圖1所示,若選取初值為(x0,y0)=(2,0.5),則系統(tǒng)(1)的解最終穩(wěn)定為如圖2(a)和2(b)所示;若選取初值為(x0,y0)=(2,1.5),則系統(tǒng)的解最終穩(wěn)定為圖2(d)和2(e)所示。這意味著害蟲(chóng)和天敵種群的最終穩(wěn)定狀態(tài)還依賴于它們的初始密度,二者的初始密度會(huì)影響害蟲(chóng)控制策略,在實(shí)際中,可以選取合適的初值,讓系統(tǒng)穩(wěn)定到預(yù)期的吸引子。

圖3選取τ為分支參數(shù)圖,當(dāng)τ由2連續(xù)變到10時(shí),可以看到參數(shù)τ對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為影響較大,如出現(xiàn)倍周期分支、周期減半分支、吸引子共存以及混沌現(xiàn)象。當(dāng)τ=4.25時(shí),系統(tǒng)有2個(gè)不同的2T周期解共存現(xiàn)象,圖4給出2個(gè)共存的吸引子,圖4(a)和4(b)選取初值為(x0,y0)=(2,0.5);選取初值為(x0,y0)=(2,3.5),系統(tǒng)的解最終穩(wěn)定為如圖4(d)和4(e)所示。

圖2 關(guān)于圖1的2個(gè)共存的吸引子Fig.2 Two coexistence stable attractors

圖3 最大投放天敵量τ的分支參數(shù)圖Fig.3 Bifurcation diagrams with respect to parameter τ

數(shù)值模擬說(shuō)明對(duì)參數(shù)小擾動(dòng)會(huì)使害蟲(chóng)和天敵種群出現(xiàn)不同振幅、不同周期的周期震蕩現(xiàn)象。若未恰當(dāng)?shù)剡x擇脈沖周期或天敵投放量,不僅不能消滅害蟲(chóng)還可能使得害蟲(chóng)種群的爆發(fā),同時(shí)說(shuō)明具有非線性脈沖的系統(tǒng)有很強(qiáng)的生物意義。

圖4 關(guān)于圖3的2個(gè)共存的吸引子Fig.4 Two coexistence stable attractors

5 結(jié) 論

農(nóng)業(yè)資源有限是一個(gè)普遍存在的現(xiàn)象,嚴(yán)重影響著農(nóng)作物病蟲(chóng)害的防治,基于資源有限,本文研究了具有B-D功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)。利用Floquet理論證明了當(dāng)TT0時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜,數(shù)值上可以看到系統(tǒng)會(huì)發(fā)生倍周期分支、周期減半分支、吸引子共存以及混沌現(xiàn)象。這些結(jié)論說(shuō)明,某些關(guān)鍵參數(shù)的改變會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)非常豐富的動(dòng)力學(xué)行為,甚至非常微小的改變,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為也會(huì)發(fā)生顯著改變。這些結(jié)論具有明確的生物含義,為人們合理選擇噴灑殺蟲(chóng)劑的時(shí)刻、噴灑殺蟲(chóng)劑的劑量以及投放天敵的數(shù)量等提供了理論依據(jù)。