變信賴域序列凸規(guī)劃RLV再入軌跡在線重構(gòu)

宗 群，李智禹，葉林奇，田栢苓

(天津大學(xué) 電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院， 天津 300072)

可重復(fù)使用運(yùn)載器(RLV)是指能夠自由往返于地球表面與空間軌道之間且可重復(fù)使用的多用途飛行器. 其再入過程往往伴有參數(shù)不確定和外界干擾[1-2]等問題. 為了保證飛行器安全穩(wěn)定地再入飛行，對(duì)于再入段軌跡的優(yōu)化與制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)尤為關(guān)鍵. RLV再入軌跡優(yōu)化的目標(biāo)是生成滿足各種路徑約束(動(dòng)壓、熱流密度和過載約束)、狀態(tài)和控制量約束以及邊值約束條件并實(shí)現(xiàn)某個(gè)最優(yōu)目標(biāo)的飛行軌跡，引導(dǎo)飛行器從再入起始點(diǎn)安全到達(dá)要求的終端區(qū)域內(nèi). 近年來求解軌跡優(yōu)化問題運(yùn)用較為廣泛的是偽譜法[3]，如Gauss偽譜法、Radua偽譜法等. 該方法將最優(yōu)控制問題離散化為非線性規(guī)劃(nonlinear programming，NLP)問題，并通過數(shù)值方法求解NLP 問題來獲得最優(yōu)軌跡. 然而偽譜法由于計(jì)算量較大、求解時(shí)間不確定，實(shí)時(shí)性難以保證[4]，難以應(yīng)用到RLV的軌跡在線求解中.

與求解NLP問題相比，利用凸優(yōu)化求解RLV再入軌跡優(yōu)化問題在求解速度上具有較大的優(yōu)勢，且具備全局收斂性，使得其在RLV軌跡在線求解上的應(yīng)用成為可能. 文獻(xiàn)[5]將凸優(yōu)化方法中的二階錐規(guī)劃方法應(yīng)用于多約束再入軌跡優(yōu)化問題，并對(duì)其全局收斂性進(jìn)行了證明. 然而文章中對(duì)飛行速度采用近似化的能量函數(shù)進(jìn)行逼近，軌跡求解的精確性可能因此受到影響. 在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]提出將序列凸規(guī)劃(sequential convex programming，SCP)方法用于求解帶有約束的行星再入軌跡優(yōu)化問題，該方法具備良好的收斂速度，具有用于實(shí)時(shí)軌跡規(guī)劃的潛力. 序列凸規(guī)劃化的主要思想是通過求解序列近似凸子問題，實(shí)現(xiàn)子問題的解向原問題的收斂. 文獻(xiàn)[6]提出的算法使用固定的信賴域約束，然而固定的信賴域可能導(dǎo)致算法失去提升收斂性能的機(jī)會(huì)，算法收斂速度因此受到約束. 得益于其全局收斂性及優(yōu)秀的收斂性能，序列凸規(guī)劃方法不似偽譜法那般依賴于初始狀態(tài). 但序列凸規(guī)劃求解過程中仍存在初值猜測問題，若初始猜測軌跡與最優(yōu)軌跡之間偏差較大，則需要較多的迭代次數(shù)，算法求解速度也相應(yīng)下降. 此外文中討論的是終端時(shí)間固定的情況，對(duì)不確定的終端時(shí)間未做分析. 文獻(xiàn)[7]提出了一種信賴域更新策略的序列凸規(guī)劃方法，設(shè)計(jì)了高精度返回快速軌跡優(yōu)化算法并應(yīng)用于火箭返回著陸問題中，進(jìn)一步提高了算法的快速性，然而文章未給出具體的信賴域更新策略. 本文提出了一種基于變信賴域策略的序列凸規(guī)劃算法，在傳統(tǒng)的序列凸規(guī)劃算法的基礎(chǔ)上，利用性能指標(biāo)函數(shù)作為每次迭代后的判定條件，設(shè)計(jì)了信賴域更新策略，提高了算法的收斂性能. 此外在序列凸規(guī)劃求解過程中，利用預(yù)測校正算法解決序列凸規(guī)劃的初值猜測問題，加快算法的收斂速度，與此同時(shí)獲得了再入終端時(shí)間，解決了終端時(shí)間不確定問題. 本文將所提出算法與SNOPT優(yōu)化包下的Gauss偽譜法和傳統(tǒng)的序列凸規(guī)劃進(jìn)行軌跡優(yōu)化仿真對(duì)比，表明所提出算法在收斂性能和計(jì)算速度方面有著顯著的提升.

考慮實(shí)際再入過程中，由于外界干擾導(dǎo)致飛行軌跡大幅度偏離參考軌跡以及在某些緊急情況下要求RLV臨時(shí)更換著陸場時(shí)，飛行器可能無法繼續(xù)按照原軌跡飛行，此時(shí)需要通過軌跡重構(gòu)提供可行軌跡. 文獻(xiàn)[8]指出，突發(fā)情況下的軌跡重構(gòu)需要解決兩大問題：一是要有快速軌跡優(yōu)化算法保證可以在線計(jì)算重構(gòu)軌跡；二是需要量化擾動(dòng)對(duì)模型和飛行器約束的影響. 文獻(xiàn)[9]提出實(shí)時(shí)軌跡重構(gòu)策略以解決著陸點(diǎn)變更問題，并采用滾動(dòng)時(shí)域策略以抑制由軌跡求解消耗時(shí)間引起的狀態(tài)量跳變. 然而文章由于采用實(shí)時(shí)軌跡重構(gòu)替代了制導(dǎo)律的作用，因此軌跡重構(gòu)是無條件的、不間斷的，對(duì)于機(jī)載計(jì)算機(jī)負(fù)載過大. 本文針對(duì)RLV再入過程中遭遇的突發(fā)事件，在線對(duì)軌跡進(jìn)行重構(gòu)，并考慮軌跡重構(gòu)耗時(shí)，預(yù)測實(shí)際軌跡重構(gòu)初始點(diǎn)，以抑制可能產(chǎn)生的狀態(tài)量跳變. 在重構(gòu)軌跡求解完成后，為了保證實(shí)時(shí)性的要求，本文采用基于LQR的制導(dǎo)律對(duì)重構(gòu)軌跡進(jìn)行跟蹤. 文中通過仿真將所提出方法與近年來發(fā)展迅速的預(yù)測校正制導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比，表明本文提出的軌跡重構(gòu)策略在保證安全性、魯棒性的同時(shí)，具備良好的實(shí)時(shí)性. 本文首先對(duì)RLV再入軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行描述，并提出變信賴域序列凸規(guī)劃軌跡快速求解方法，然后針對(duì)RLV再入返回中遭遇的突發(fā)事件進(jìn)行軌跡重構(gòu)并進(jìn)行跟蹤制導(dǎo)，最后給出仿真結(jié)果以及結(jié)論.

1 再入軌跡優(yōu)化問題描述

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

在RLV再入段，假設(shè)飛行器為無動(dòng)力飛行的質(zhì)點(diǎn)，考慮地球?yàn)樾D(zhuǎn)橢球時(shí)，忽略再入過程中側(cè)力以及地球自轉(zhuǎn)的影響，并取側(cè)滑角為零. RLV再入三自由度運(yùn)動(dòng)方程[9]為

(1)

式中：r，θ，φ，v，γ，χ分別為地心距、經(jīng)度、緯度、飛行速度、航跡角和航向角；σ為傾側(cè)角；m為飛行器質(zhì)量；g為重力加速度，g=μg/r2，其中μg為引力參數(shù)；L為升力，L=qdSCL；D為阻力，D=qdSCD，其中S為RLV氣動(dòng)參考面積，qd為動(dòng)壓，qd=0.5ρv2；ρ為大氣密度，ρ=ρ0e-β(r-Re)/Re，其中ρ0為海平面處的大氣密度，Re為地球半徑，β為常值系數(shù)；升力系數(shù)CL和阻力系數(shù)CD表示為攻角α的函數(shù)，將在仿真中給出.

1.2 約束條件

在RLV再入過程中，為了保證安全穩(wěn)定飛行，飛行器需要嚴(yán)格滿足一些約束條件，主要包括邊值約束、路徑約束和狀態(tài)量約束. 邊值約束規(guī)定了飛行器狀態(tài)量x=[r,θ,φ,v,r,χ]T，在再入中起點(diǎn)與終點(diǎn)處的取值，定義再入起點(diǎn)約束和再入終點(diǎn)約束分別為

x(t0)=x0,

(2)

x(tf)=xf.

(3)

再入過程常見的路徑約束包括熱流密度約束、動(dòng)壓約束和過載約束,計(jì)算公式分別為

(4)

(5)

(6)

此外，受飛行器性能影響，在再入過程中，控制量u=[α,σ]T和狀態(tài)量x滿足的約束為

(7)

1.3 優(yōu)化問題描述

綜合上述動(dòng)力學(xué)模型和約束條件，考慮以終端狀態(tài)量和再入過程熱流、動(dòng)壓、過載積分函數(shù)為指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)為

(8)

式中:tf為再入飛行總時(shí)間，φ[x(tf)]為與終端狀態(tài)量相關(guān)的函數(shù)，G(x)為與再入過程熱流、動(dòng)壓、過載相關(guān)的函數(shù). RLV再入軌跡優(yōu)化問題P0可描述為：滿足條件式(1)～(7)，求解目標(biāo)函數(shù)J1最小.

2 變信賴域序列凸規(guī)劃軌跡求解

2.1 問題的凸化

經(jīng)過上一節(jié)的描述，針對(duì)問題P0求解可以得到再入最優(yōu)軌跡. 但是問題P0是一個(gè)高度非線性的優(yōu)化問題，其中動(dòng)力學(xué)模型(1)、路徑約束式(4)～(6)、以及目標(biāo)函數(shù)式(8)都是非線性、非凸的[5]，為了使用凸優(yōu)化方法對(duì)問題進(jìn)行求解，需要對(duì)問題P0中的非凸約束進(jìn)行凸化處理.

2.1.1 控制量的重新選取

在凸化處理過程中，若僅針對(duì)現(xiàn)有控制量進(jìn)行處理，會(huì)引入高頻抖振并對(duì)問題的收斂性產(chǎn)生影響[5]，因此需要引入新的控制變量. 動(dòng)力學(xué)模型(1)中的控制量為攻角α和傾側(cè)角σ, 其中攻角α由攻角-馬赫數(shù)剖面確定，剩下需要設(shè)計(jì)的唯一控制量為傾側(cè)角σ. 引入新的輔助控制變量，從而實(shí)現(xiàn)控制量從狀態(tài)量中解耦，令新的控制量為

(9)

則運(yùn)動(dòng)方程式(1)可改寫為

(10)

(11)

B=[0 0 0 0 0 0 1]T.

(12)

值得注意的是，對(duì)于問題P1若存在最優(yōu)解，那么該解是問題P0的一個(gè)可行解. 這是由于問題P1是在問題P0上引入了一個(gè)新的輔助控制變量，而問題P0中對(duì)于傾側(cè)角σ的控制量約束轉(zhuǎn)化為問題P1中的狀態(tài)量約束，問題P0的其他狀態(tài)量約束也包含在問題P1中，由此得到問題P1中的最優(yōu)解滿足問題P0的所有約束，進(jìn)而得出該解是問題P0的一個(gè)可行解.

2.1.2 線性化處理

為了使問題能夠利用凸優(yōu)化求解，對(duì)問題P1進(jìn)行凸化處理，對(duì)P1中的非凸約束進(jìn)行線性化處理以將其轉(zhuǎn)換為線性的凸約束. 對(duì)軌跡優(yōu)化問題P1中的非線性約束，包括運(yùn)動(dòng)方程式(10)、路徑約束式(4)～(6)以及目標(biāo)函數(shù)式(8)，基于小擾動(dòng)線性化理論進(jìn)行線性化處理，在給定狀態(tài)點(diǎn)x′*(t)處利用一階泰勒展開式對(duì)方程進(jìn)行逼近，有：

(13)

(14)

(15)

式中A(x′*)為f(x′)在x′*(t)處的雅克比矩陣，c(x′)=[c1(x′),c2(x′),c3(x′)]T.

基于泰勒展開式的特點(diǎn)，只有優(yōu)化變量在參考點(diǎn)附近取值時(shí)，線性化的運(yùn)動(dòng)方程式和約束式才是對(duì)原非線性問題的良好近似. 因此為了盡可能地減小逼近誤差，保證線性化約束合理逼近原約束，引入信賴域約束：

|x′-x′*|≤ε,

(16)

式中ε為信賴域的半徑.

經(jīng)過上述線性化處理，新控制量下的軌跡優(yōu)化問題P1可轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題P2：滿足條件式(2)、(3)、(7)、(13)、(14)、(16)，求解目標(biāo)函數(shù)J2最小.

2.2 離散化處理

(17)

從那晚開始，哥倆就分享那個(gè)女人。那種骯臟的茍合同本地正派規(guī)矩格格不入，誰都不想了解細(xì)節(jié)。開頭幾個(gè)星期相安無事，但長此下去畢竟不是辦法。兄弟之間根本不提胡利安娜，連叫她時(shí)都不稱呼名字。但兩人存心找茬，老是鬧些矛盾。表面上仿佛是爭論賣皮革，實(shí)際談的是另一回事。爭吵時(shí)，克里斯蒂安嗓門總是很高，愛德華多則一聲不吭。他們互相隱瞞，只是不自知而已。在冷漠的郊區(qū)，女人除了滿足男人的性欲，供他占有之外，根本不在他眼里，不值得一提，但是他們兩個(gè)都愛上了那個(gè)女人。從某種意義上來說，這一點(diǎn)使他們感到丟人。

(18)

(19)

經(jīng)過離散化處理，凸優(yōu)化問題P2的最優(yōu)解可通過求解離散序列凸規(guī)劃問題P3得到，問題P3可表示為：滿足條件式(2)、(3)、(7)、(16)～(18)，求解目標(biāo)函數(shù)J3最小. P3的收斂性證明在文獻(xiàn)[6]中可以找到，本文不贅述.

2.3 變信賴域序列凸規(guī)劃

2.3.1 初始軌跡求解

(20)

|z(σ0)|=|s(ef)-sf|=0.

(21)

式中待飛航程s(e)=arccos[sinφsinφf+cosφcosφfcos(θf-θ)]. 由式(1)、(20)可得到以能量為自變量，關(guān)于航程、高度和航跡角的運(yùn)動(dòng)方程為

(22)

在給定的攻角剖面下，由上一次迭代的傾側(cè)角對(duì)式(22)積分得到預(yù)測航程差，基于預(yù)測航程差利用Gauss-Newton法式(23)對(duì)傾側(cè)角進(jìn)行迭代處理，直到預(yù)測航程差滿足終端約束，從而得到最終可行的傾側(cè)角幅值. 并在側(cè)向上則采用側(cè)向反轉(zhuǎn)邏輯以縮小航向角誤差，從而確定傾側(cè)角的符號(hào). 最終得到滿足再入要求的傾側(cè)角指令：

(23)

2.3.2 變信賴域策略

得到初始猜測軌跡后，在序列凸規(guī)劃后續(xù)迭代過程中，考慮式(16)中的信賴域，信賴域半徑ε的大小決定了序列凸規(guī)劃的收斂性能：若ε過大，則問題P3可能大幅度偏離原問題從而難以收斂；若ε過小，則迭代步長受到限制從而導(dǎo)致算法收斂速度不夠快. 因此，為了提高序列凸規(guī)劃的收斂性能，在傳統(tǒng)的序列凸規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出了變信賴域策略：在每次迭代求解后，對(duì)比相鄰迭代的實(shí)際性能指標(biāo)函數(shù)ψ′與預(yù)測性能指標(biāo)函數(shù)ψ，并基于對(duì)比結(jié)果設(shè)計(jì)信賴域更新策略. 實(shí)際性能與預(yù)測性能指標(biāo)函數(shù)分別表示為

(24)

(25)

式中μ1、μ2分別為違反運(yùn)動(dòng)方程約束和違反路徑約束的懲罰因子.J′、hi′、Ci′分別表示為

(26)

(27)

(28)

實(shí)際性能指標(biāo)函數(shù)給出了實(shí)際的離散點(diǎn)處的性能指標(biāo)，相鄰迭代的差值Δψ′=|ψ′(x′k,u′k)-ψ′(x′k-1,u′k-1)|則給出了序列凸規(guī)劃算法中每一次迭代對(duì)于軌跡性能的提升，將之與相鄰迭代間基于線性化的預(yù)測性能指標(biāo)函數(shù)差值Δψ=|ψ(x′k,u′k)-ψ(x′k-1,u′k-1)|進(jìn)行對(duì)比，可以判斷出當(dāng)前信賴域是否有利于收斂性能的提升.

2.3.3 變信賴域序列凸規(guī)劃求解

綜合上述初始軌跡求解與信賴域更新策略，得到基于變信賴域序列凸規(guī)劃的最優(yōu)軌跡求解步驟如下，整體軌跡優(yōu)化流程如圖1所示.

步驟2對(duì)于k≥1，在第k次迭代中對(duì)離散序列凸規(guī)劃問題P3利用前一次的軌跡xk-1求解得到[x′k,u′k].

步驟3檢查序列收斂條件sup |x′k-x′k-1|≤δ是否滿足，其中k≥2,δ為迭代收斂閾值. 若條件滿足，則轉(zhuǎn)至步驟5，否則轉(zhuǎn)至步驟4.

步驟4計(jì)算預(yù)測性能指標(biāo)函數(shù)ψ，和實(shí)際性能指標(biāo)函數(shù)ψ′，并對(duì)Δψ=|ψ(x′k,u′k)-ψ(x′k-1,u′k-1)|和Δψ′=|ψ′(x′k,u′k)-ψ′(x′k-1,u′k-1)|進(jìn)行對(duì)比. 若Δψ≥ξΔψ′,ξ為給定的系數(shù)，則當(dāng)次序列迭代過程中性能指標(biāo)提升幅度相對(duì)較小，可以適當(dāng)放大信賴域ε=β1ε，以尋找更適合的收斂步長. 反之，則縮小信賴域ε=β2ε(0<β2<1<β1). 然后令k=k+1，轉(zhuǎn)至步驟2.

步驟5得到最優(yōu)軌跡xk，迭代停止.

圖1 整體軌跡優(yōu)化流程圖

3 突發(fā)事件下的軌跡在線重構(gòu)與跟蹤制導(dǎo)

在實(shí)際再入飛行過程中，在正常飛行狀態(tài)下，通過制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的跟蹤以消除不確定帶來的影響；當(dāng)遭遇突發(fā)事件時(shí)，則需要在線重構(gòu)軌跡作為飛行器新的跟蹤目標(biāo). 本節(jié)研究了突發(fā)事件下再入軌跡快速重構(gòu)方法，分析突發(fā)事件對(duì)約束條件及飛行目標(biāo)的影響，結(jié)合上一節(jié)的內(nèi)容實(shí)現(xiàn)軌跡在線快速重構(gòu)，并結(jié)合LQR方法實(shí)現(xiàn)對(duì)重構(gòu)軌跡的跟蹤制導(dǎo).

3.1 軌跡快速重構(gòu)

針對(duì)飛行過程中遇到的突發(fā)事件，首先考慮RLV偏離參考軌跡的情況，當(dāng)外界突發(fā)干擾導(dǎo)致飛行器大幅度偏離參考軌跡，產(chǎn)生控制系統(tǒng)無法有效修正的大跟蹤偏差，此時(shí)針對(duì)原定目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行軌跡重構(gòu). 為了減少機(jī)載計(jì)算機(jī)的負(fù)荷，引入重構(gòu)閾值走廊的概念. 重構(gòu)閾值走廊基于飛行走廊HC進(jìn)行設(shè)計(jì). 飛行走廊HC下邊界HCL為飛行器滿足熱流、動(dòng)壓以及過載約束的最低飛行高度；HC上邊界HCU由擬平衡滑翔約束式(29)得到，對(duì)于確定的傾側(cè)角σQEG，擬平衡滑翔約束即為H-V走廊上邊界.

(29)

根據(jù)飛行走廊確定RLV的軌跡重構(gòu)條件，設(shè)置閾值參數(shù)ζ1,ζ2∈[0,1]，飛行器再入重構(gòu)閾值可表示為

(30)

式中H*(v)為離線最優(yōu)軌跡高度，Hmax(v)為軌跡重構(gòu)上邊界閾值，Hmin(v)為軌跡重構(gòu)下邊界閾值.

當(dāng)飛行器大幅度偏離參考軌跡，超出重構(gòu)閾值走廊時(shí)，此時(shí)基于傳統(tǒng)的制導(dǎo)方法已無法消除偏差，需要進(jìn)行軌跡在線重構(gòu)求得新的參考，軌跡優(yōu)化算法在上一節(jié)中已經(jīng)給出. 這種情況下，飛行器本身模型以及終端約束都沒有發(fā)生改變，相較于上一節(jié)給出的軌跡優(yōu)化算法，改變的僅僅是問題的初始條件x0. 假設(shè)軌跡重構(gòu)的開始時(shí)間為tc，相應(yīng)的狀態(tài)量以及控制量為xc和uc，若以xc作為軌跡重構(gòu)的初始狀態(tài)，由于軌跡重構(gòu)需要消耗一定的時(shí)間，軌跡重構(gòu)完成時(shí)，實(shí)際的狀態(tài)量與xc將產(chǎn)生偏差. 因此，在tc時(shí)刻，對(duì)Tave后的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，Tave為離線軌跡庫中軌跡求解的平均時(shí)間.tr=tc+Tave處的狀態(tài)量xr可由機(jī)載計(jì)算機(jī)根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)量xc和uc，采用預(yù)測校正制導(dǎo)方法通過積分預(yù)測得到. 以此預(yù)測的狀態(tài)量xr作為軌跡重構(gòu)的初始條件x0從而消除軌跡重構(gòu)求解時(shí)間帶來的狀態(tài)量偏差.

考慮飛行目標(biāo)終點(diǎn)變更的情況，此時(shí)的首要目標(biāo)是求得飛行器當(dāng)前可達(dá)到的終點(diǎn)區(qū)域，以選擇可行的飛行目標(biāo)終點(diǎn). 計(jì)算飛行器的可達(dá)域?qū)嶋H上是計(jì)算可達(dá)域的邊界[12]. 求解完整的可達(dá)域邊界可分為兩步：1)求解初始狀態(tài)下的最大經(jīng)度θmax、最小經(jīng)度θmin、最大緯度φmax和最小緯度φmin. 2)將目標(biāo)函數(shù)式(8)中的關(guān)于終端狀態(tài)量的部分選取為經(jīng)度與緯度的加權(quán)組合，即φ[x(tf)]=w(±θf)+(1-w)(±φf)，式中w∈[0,1]為權(quán)重系數(shù)，并進(jìn)行優(yōu)化求解. 其次，機(jī)載計(jì)算機(jī)便預(yù)測Tave′之后，在預(yù)測校正制導(dǎo)的作用下，軌跡重構(gòu)的初始狀態(tài)xr，其中Tave′為包含可達(dá)區(qū)域求解的軌跡重構(gòu)平均耗時(shí). 之后以xr以及在可達(dá)區(qū)域內(nèi)重新選擇的目標(biāo)終點(diǎn)作為軌跡優(yōu)化問題的初始約束和終端約束,基于變信賴域序列凸規(guī)劃算法完成重構(gòu)軌跡的求解.

3.2 軌跡跟蹤制導(dǎo)

綜合考慮對(duì)軌跡的跟蹤性能與實(shí)時(shí)性的需求，本文采用LQR這一較為成熟的制導(dǎo)方法實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤. LQR需要在制導(dǎo)采樣點(diǎn)處進(jìn)行小擾動(dòng)線性化處理，得到如式(13)所示的用于求解反饋增益的線性時(shí)變系統(tǒng)，而線性化的泰勒展開點(diǎn)則可以從前文中得到的收斂性能較好的離散點(diǎn)中選擇.

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)算法的性能，本文以文獻(xiàn)[14]中的RLV模型為例，基于MATLAB 2016a環(huán)境實(shí)現(xiàn)算法的仿真實(shí)驗(yàn). PC機(jī)配置為core i5-8500，主頻3 GHz，8 GB內(nèi)存.

為了驗(yàn)證本文提出的變信賴域序列凸規(guī)劃算法，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)并將結(jié)果與傳統(tǒng)的序列凸規(guī)劃算法以及基于非線性規(guī)劃求解器SNOPT[17]的Gauss偽譜法進(jìn)行對(duì)比. 仿真給定初始條件以及終端約束見表1，考慮終端緯度最大的問題，性能指標(biāo)函數(shù)設(shè)定為J=-φ(tf). 再入軌跡對(duì)比仿真結(jié)果如圖2所示. 圖3給出了變信賴域序列凸規(guī)劃算法與傳統(tǒng)序列凸規(guī)劃收斂情況的對(duì)比，圖中紅線和綠線分別表示傳統(tǒng)序列凸規(guī)劃算法和變信賴域序列凸規(guī)劃算法的迭代收斂過程.

表1 初始條件和終端約束

(a) 高度-速度

(b) 經(jīng)度-緯度

(c) 航跡角-時(shí)間

(d) 航向角-時(shí)間

(e) 傾側(cè)角-時(shí)間

圖2 變信賴域序列凸規(guī)劃與SNOPT和傳統(tǒng)序列凸規(guī)劃仿真結(jié)果對(duì)比

Fig.2 Comparison of simulation results of variable trust region SCP with SNOPT and traditional SCP

圖3 變信賴域序列凸規(guī)劃與傳統(tǒng)序列凸規(guī)劃收斂情況對(duì)比

Fig.3 Comparison of convergence between variable trust region SCP and traditional SCP

從圖2中可以看出變信賴域序列凸規(guī)劃、傳統(tǒng)的序列凸規(guī)劃和SNOPT得到的軌跡大體趨勢是吻合的. 變信賴域序列凸規(guī)劃由于引入了預(yù)測校正初始軌跡以及變信賴域策略，收斂性能優(yōu)于傳統(tǒng)的序列凸規(guī)劃. 從傾側(cè)角曲線可以看出，序列凸規(guī)劃得到的控制曲線存在著抖動(dòng). 總體來說，基于SNOPT的偽譜法得到的軌跡依然是三者中優(yōu)化性能較好的. 但是考慮求解時(shí)間方面，序列凸規(guī)劃相較于SNOPT則具有顯著的優(yōu)勢. 仿真得出采用SNOPT方法的軌跡求解CPU時(shí)間為55.067 s，采用SCP方法的軌跡求解CPU時(shí)間為11.124 s，采用變信賴域SCP方法的軌跡求解CPU時(shí)間為5.892 s. 此外，圖3給出了變信賴域SCP與SCP在收斂效率上的對(duì)比，圖中紅色實(shí)線代表SCP收斂迭代過程，藍(lán)色點(diǎn)劃線代表變信賴域SCP迭代過程，SCP求解迭代7次，變信賴域SCP求解迭代3次. 通過上述仿真對(duì)比，驗(yàn)證了變信賴域序列凸規(guī)劃算法在收斂性能和求解速度上的改進(jìn).

良好的求解速度以及較好的求解性能使得變信賴域序列凸規(guī)劃算法具備應(yīng)用于軌跡在線重構(gòu)的潛力. 分別針對(duì)大幅度偏離參考軌跡、飛行目標(biāo)終點(diǎn)變更的情況進(jìn)行軌跡重構(gòu)仿真.

首先針對(duì)大幅度偏離參考軌跡情況，考慮沿離線最優(yōu)軌跡飛行至某一狀態(tài)點(diǎn)處x=[51 800 m, -7, 26°, 4 017 m/s，-0.17°, 60°]T，給定外界擾動(dòng)帶來的偏差Δh=5 000 m，Δv=100 m/s，采用ζ1=ζ2=0.2的閾值走廊，軌跡重構(gòu)結(jié)果如圖4所示，從圖4可看出在擾動(dòng)作用下，軌跡超出閾值重構(gòu)走廊，需要進(jìn)行軌跡在線重構(gòu)，基于本文提出的軌跡重構(gòu)方法，可以在短時(shí)間內(nèi)生成一條滿足約束的最優(yōu)軌跡，求解CPU時(shí)間為5.73 s. 圖5給出了基于LQR制導(dǎo)律對(duì)初始參考軌跡以及重構(gòu)軌跡跟蹤的結(jié)果以及擾動(dòng)下若對(duì)原參考軌跡進(jìn)行跟蹤或者采用預(yù)測校正制導(dǎo)律的制導(dǎo)結(jié)果. 從圖5中可以看出，過大的偏差導(dǎo)致LQR制導(dǎo)律不具備跟蹤原參考軌跡的能力，若依然對(duì)原參考軌跡進(jìn)行跟蹤，產(chǎn)生的軌跡將逐漸偏離最優(yōu)軌跡，如圖中黑色虛線所示，而重構(gòu)后的軌跡能很好地滿足LQR制導(dǎo)律的跟蹤條件，引導(dǎo)飛行器安全再入返回，如圖中紅色實(shí)線所示. 此外，由于重構(gòu)軌跡求解時(shí)間預(yù)測策略的存在，軌跡重構(gòu)時(shí)初始狀態(tài)量偏差處于很小的范圍內(nèi)，重構(gòu)求解平均時(shí)間取Tave=6 s. 與預(yù)測校正制導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比，采用預(yù)測校正方法得到的軌跡僅僅是一條可行軌跡，而非本文中得到的最優(yōu)軌跡. 在求解制導(dǎo)指令速度方面，預(yù)測校正制導(dǎo)每次求解需要經(jīng)過45次迭代，總用時(shí)0.265 s；而LQR制導(dǎo)律每次求解僅需0.04 s. 綜上所述，基于軌跡重構(gòu)的LQR制導(dǎo)律在實(shí)時(shí)性和軌跡性能上都優(yōu)于預(yù)測校正制導(dǎo).

圖4 大幅度偏離軌跡下的軌跡重構(gòu)

圖5 大幅度偏離軌跡下的跟蹤制導(dǎo)

考慮與大幅度偏離參考軌跡情況下相同的狀態(tài)點(diǎn)處變更目標(biāo)終點(diǎn)，基于可達(dá)域選擇新的目標(biāo)終點(diǎn)[θf,φf]=[10°， 30°]，三維軌跡重構(gòu)與LQR跟蹤制導(dǎo)結(jié)果如圖6所示，重構(gòu)后的軌跡引導(dǎo)飛行器飛向新的目標(biāo)終點(diǎn).

圖6 目標(biāo)終點(diǎn)變更下三維軌跡重構(gòu)與跟蹤制導(dǎo)

Fig.6 Three-dimensional trajectory reconstruction and guidance after target change

5 結(jié) 論

1)針對(duì)RLV的軌跡再入軌跡重構(gòu)問題，提出變信賴域序列凸規(guī)劃算法對(duì)再入軌跡在線快速求解.

2)在傳統(tǒng)序列凸規(guī)劃算法的基礎(chǔ)上，采用預(yù)測校正算法求解序列凸規(guī)劃的初始迭代軌跡，以此提升算法的收斂效率，此外為了加快算法收斂速度，設(shè)計(jì)了信賴域更新策略.

3)基于提出的軌跡快速求解算法，針對(duì)RLV再入過程中可能發(fā)生的如大幅度偏離參考軌跡及目標(biāo)點(diǎn)變更等突發(fā)事件，在線重構(gòu)軌跡并考慮軌跡重構(gòu)耗時(shí)，對(duì)實(shí)際軌跡重構(gòu)初始點(diǎn)進(jìn)行了預(yù)測以抑制可能出現(xiàn)的狀態(tài)量跳變，同時(shí)基于LQR制導(dǎo)方法實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的快速跟蹤.

4)仿真結(jié)果表明所提出的軌跡求解算法具備良好的收斂性能以及求解速度，重構(gòu)軌跡能夠有效地引導(dǎo)RLV再入返回.