與高中銜接的數(shù)學中考題分析及復習措施

顏麗芳

【摘要】 中考是初高中銜接的一個著力點，對初中教師的教學起到指導性作用，在數(shù)學中考題中延伸高中數(shù)學思想方法，滲透高中數(shù)學概念，補充初中知識和數(shù)學思想，是提升學生學習能力的一個渠道。本文分析了與高中銜接中考題的特征：語言敘述具有高中特色；`問題背景源于高中知識；在解題中滲透高中知識。同時為了更好的與高中銜接，對九年級復習提出了幾點措施：理清初高中知識聯(lián)系，注重知識銜接；比較初高中教法異同，適時教法銜接；比較初高中學法異同，注重學法指導。旨在提高學習數(shù)學的科學素養(yǎng)，促進學生后續(xù)學習。

關(guān)鍵詞 銜接 中考 初中 高中

中考一直處于改革之中，但由于中考的選拔功能，而以高中數(shù)學知識為背景，或體現(xiàn)高中數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法和推理方法的試題能夠較好的考查學生的自學能力、快速閱讀理解能力以及觀察分析、類比、數(shù)學歸納能力，命題者往往比較青睞。同時，在每年的高一學生返校期間經(jīng)常抱怨高中數(shù)學很難，考試成績與中考成績相比，有明顯的下降，學習成績分化比初中更加嚴重，整體學習成績呈下滑態(tài)勢。因此我們必須思考：經(jīng)過中考的選拔跨入高中，我們學生都對自己充滿信心，有很強的求知欲，怎么會出現(xiàn)相當部分學生不適應高中數(shù)學學習？

一、與高中銜接中考題分析

從“以學生的發(fā)展為根本”這一教學理念出發(fā)，中考題除了考察學生對初中知識的掌握程度外，還應為學生適應高中學習做適當?shù)你暯印９P者以近幾年來年全國各地中考題為例。

（1）語言敘述具有高中特色

數(shù)學語言可歸結(jié)為文字語言、符號語言、圖形語言三類。有些中考試題中的語言敘述有濃烈的高中特色。

例1.（紹興市中考題）如果一個序列{ai}滿足a1=2，an+1=an+2n（n為自然數(shù)），那么a100是 .

解析：∵a1=2，an+1=an+2n（n為自然數(shù)），∴a2=2+2×1， a3=2+2×1+2×2=2+2×3，…，an=2+n（n-1），∴a100=2+100×（100-1）=9902.

點評：這是一道數(shù)列題，它也是初中數(shù)學常見的規(guī)律題。但因題目的敘述方式采用了高中數(shù)學語言，學生就出現(xiàn)了看不懂題目的意思或解題方法想不到。

例2.（杭州中考題）設二次函數(shù)y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的圖象與一次函數(shù)y2=dx+e（d≠0）的圖象交于點（x1，0），若函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，則（ ）

A.a（x1﹣x2）=d B.a（x2﹣x1）=d C.a（x1﹣x2）2=d D.a（x1+ x2）2=d

解析：首先根據(jù)一次函數(shù)y2=dx+e（d≠0）的圖象經(jīng)過點（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+d]；然后根據(jù)函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，可得函數(shù)y=y1+y2是二次函數(shù)，且它的頂點在x軸上，即y=y1+y2=a（x﹣x1）2，推得a（x﹣x2）+d=a（x﹣x1），令x=x2，即可判斷出a（x2﹣x1）=d.

點評：含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中數(shù)學只作定量研究，而這部分內(nèi)容卻是高中數(shù)學的重點和難點。本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，以及曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：函數(shù)y=y1+y2是二次函數(shù)，且y=y1+y2=a（x﹣x1）2。值得我們非常關(guān)注的是：含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式已經(jīng)成為杭州市數(shù)學中考的一大特色。

（2）問題背景源于高中知識

有一些中考試題以高中數(shù)學為背景，而考查的仍是初中數(shù)學知識。

例3.（衢州中考題）將4個數(shù)a、b、c、d排成2行2列，兩邊各加一條豎線記成 ，定義 =ad-bc，上述記號就叫做二階行列式，若 =8，則x= .

解析： =8得：（x+1）（x+1）—（x—1）（1—x）=8.

點評：本題以高中行列式知識為背景，考查知識為初中整式的混合運算和解一元二次方程，要求學生能夠讀懂二階行列式，并運用二階行列式的計算法則得到方程來求解。

例4.（咸寧中考題）某集團決定將下屬的一個分公司對外承包，有符合條件的甲、乙兩個企業(yè)分別擬定上繳利潤，方案如下：甲每年結(jié)算一次上繳利潤，第一年上繳利潤1萬元，以后每年比前一年增加1萬元；乙每半年結(jié)算一次上繳利潤，第一個半年上繳利潤0.3萬元，以后每半年比前半年增加0.3萬元.

（1）如果承包4年，你認為應該承包給哪家公司？總公司可獲利多少？

（2）如果承包n年呢？請用含有n的代數(shù)式分別表示兩企業(yè)上繳利潤的總金額.

解析：這在高中就是一道等差數(shù)列問題，可以直接利用公式S=計算。①甲上繳利潤10萬元；乙上繳利潤10.8萬元；②如果承包n年， ，。

點評：本題背景來自高中數(shù)學中等差數(shù)列求和公式，事實上，從小學開始等差數(shù)列就一直出現(xiàn)，所以對一些等差數(shù)列的基本內(nèi)容，可以針對學情，適當補充。

（3）在解題中滲透高中知識

①通過合情推理得出高中知識

合情推理是從已有的事實出發(fā)，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果，其功能是探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)結(jié)論，因此，中考經(jīng)常會出現(xiàn)一些問題考查學生的合情推理能力，而答案往往是高中知識。

例5.（深圳中考題）閱讀下面的短文，并回答下列問題：

我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體.如圖，甲、乙是兩個不同的立方體，立方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比（a：b）.設S甲、S乙分別表示這兩個立方體的表面積，則 ；又設V甲、V乙分別表示這兩個立方體的體積，則 .

第一、下列幾何體中，一定屬于相似體的是______.

A、兩個球體B、兩個圓錐體C、兩個圓柱體D、兩個長方體.

第二、請歸納出相似體的三條主要性質(zhì)：

第三、寒假里，康子幫母親到市場去買魚，魚攤上有一種魚，個個都長得非常相似，現(xiàn)有大小兩種不同的價錢，如下圖所示，魚長10厘米的每條10元，魚長13厘米的每條15元.康子不知道買哪種更好些，你能否幫他出出主意.

解析：用學生非常熟悉的立方體相似，可以得出相似體的三條主要性質(zhì)（2）：相似體的一切對應線段（或?。╅L的比等于相似比，相似體表面積的比等于相似比的平方，相似體體積的比等于相似比的立方；（3）因為同一種魚的密度一樣，所以它們的質(zhì)量比等于體積比，質(zhì)量比等于2.197，而它們的價格比為15：10=1.5，∴買15元一條的魚更合算。

點評：從學生熟悉的相似形類比到學生第一次接觸的相似體，是由低維（平面）到高維（空間）的類比。本題要求學生分析、類比、歸納，整個解題過程是一個探究新知識的過程，也是一個新知識形成的過程，充分體現(xiàn)了由特殊到一般的推理方法。

②滲透高中數(shù)學概念

在中考題中滲透數(shù)學概念，主要考查學生的自學能力、應變能力、運用新知識解決問題的能力，有利于學生學習能力和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，是學生“可持續(xù)發(fā)展”理念的具體體現(xiàn)。

例6（長沙中考題）設a、b是任意兩個不等實數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b].對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”.

第一、反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

第二、若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

第三、若二次函數(shù)是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，求實數(shù)a、b的值。

解析：（1）“閉函數(shù)”（2）當k>0時，∴此函數(shù)的解析式是y=x；當k<0時，y=-x+m+n；（3）或。

點評：先給出閉區(qū)間和閉函數(shù)的定義，需要學生利用增減性去理解，考查學生的閱讀能力和和解決問題能力。本題實質(zhì)是高中函數(shù)的定義域和值域的問題，但可以用初中的函數(shù)增減性來解決。此類問題有利于學生在獲得解答的過程中，養(yǎng)成探索習慣提高自學水平和數(shù)學素養(yǎng)，使學生既能“學會”，又能“會學”。

③滲透高中數(shù)學解題技巧

代數(shù)推理題問題綜合了函數(shù)、方程、數(shù)列等多個知識點，需要采用多種數(shù)學思想方法才能解決，是高考的一個熱點，在數(shù)學中考中也倍受重視。

例7.（蘭州中考題）為了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，則2S=2+22+23+24…+22015，因此2S-S=22015-1，仿照以上推理計算出1+5+51+52+53+…+52014的值是（ ）

A.52014-1 B.52015-1 C. D.

解析：從范例入手，令S=1+5+51+52+53+…+52014，則5S=5+51+52+53+…+52014+52015，5S—S=52015-1， 故答案是。

點評：本題實質(zhì)就是高中數(shù)學的等比數(shù)列求和問題，采用的是構(gòu)造法，先給出求1+2+22+23+…+22014的值的范例，要求學生用用類比法解決問題，事實上解題的過程也是推導等比數(shù)列求和公式的過程。

二、九年級復習階段的銜接措施

初中數(shù)學是高中數(shù)學的基礎，作為初中數(shù)學教師有必要了解初中數(shù)學與高中數(shù)學哪些知識是連續(xù)的，可深入的？在數(shù)學思想方法和學習能力的上可作怎樣的提升？根據(jù)初中學生的發(fā)展水平在九年級復習階段采取銜接措施。

（1）理清初高中知識聯(lián)系，注重知識銜接

高中數(shù)學由實數(shù)拓展到了復數(shù)；含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中只作定量研究，而這部分內(nèi)容確是高中的重點和難點；射影定理、平行線分線段比例定理、相交弦定理、切割線定理等，初中深度不夠，而高中應用頻繁；初中的平面圖形、三視圖、投影、表面展開圖與高中的立體幾何聯(lián)系；初中找規(guī)律題經(jīng)常是高中等差、等比數(shù)列；初中三角函數(shù)與高中三角函數(shù)、正弦余弦定理關(guān)系。對于這些初高中相聯(lián)系的知識在九年級復習階段可做如下操作。

①把握契機，合理拓展

十字相乘法能夠大大提高學生的計算速度，因此在因式分解和解一元二次方程的時可以讓學生學會；韋達定理揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系， 可讓學生求根公式去驗證x1+x2=，x1·x2=，并鼓勵學生應用；在相似三角形中，可讓學生利用母子直角三角形相似推出射影定理，并鼓勵他們在解題時運用這個（射影）定理，提高解題速度；通過三角形的外接圓（如圖），將任意三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，得出a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，故，即正弦定理。

②為高中學習留有鋪墊

初中主要學習平面幾何，學生對兩直線的位置關(guān)系理解為不是相交就是平行，作為教師需要借助空間指出異面不平行也沒交點的直線實例，使學生有立體幾何的感悟。函數(shù)知識比較抽象，是初中數(shù)學的一大難點，在復習時總是圍著一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)進行問題解決，易給學生造成函數(shù)只有這三種的錯覺，比如：中自變量x的取值范圍？教師不僅僅是教會求解，還應該從函數(shù)的定義出發(fā)告訴學生函數(shù)有很多種，高中我們還會學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等其它函數(shù)。再如初中階段數(shù)擴張到實數(shù)，此時可以明確告訴學生高中還會進行擴張，會學虛數(shù)。教師有意識的為高中數(shù)學學習做一些鋪墊，能激發(fā)學生對今后數(shù)學學習的興趣和向往。

特別是高中立體幾何需要學生很強的立體感和空間觀念，事實上，高中的很多立體幾何初中都有涉及，比如棱柱及其表面展開圖、圓柱、圓錐、線線關(guān)系和線面關(guān)系、三視圖、投影等，初中數(shù)學一般是把立體幾何的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形，在轉(zhuǎn)化中要能抓住那些不變的量，而不變量的計算主要是在原平面圖形中完成的。所以學好平面幾何是高中學習立體幾何的基礎。

（2）比較初高中教法異同，適時教法銜接

高考數(shù)學改革一個重要關(guān)注點是立足基礎，能力立意，突出思想，淡化運算，其實這也是中考數(shù)學關(guān)注點。九年級復習階段是對整個初中階段數(shù)學的整合復習，在課堂教學中要注意不斷改進教學方法，培養(yǎng)高中所需要的學習能力。

①重視定義在解題中的運用

數(shù)學家波利亞說過：“當我遇到問題的時候，回到定義中去”。數(shù)學概念是現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特有的屬性在思維中的反映，是數(shù)學思維存在的基本形式。在九年級復習階段要注重定義在解題中的作用。

比如“絕對值”在教材上有幾何意義和代數(shù)意義兩種定義，在復習時要注意要數(shù)形結(jié)合，可以設計如下幾道練習：第一、數(shù)軸上表示1和5兩點之間的距離是_____，數(shù)軸上表示2和的兩點之間的距離為____；第二、數(shù)軸上表示和兩點之間的距離為_________；第三、若表示一個有理數(shù)，且，則；第四、利用數(shù)軸求出的最小值；第五、|x-1|+| x -2|+| x -3|+…+| x -n|的最小值。還可以換個問題背景：有A、B、C、D、E 5位同學依次站在某圓周上，每人手上分別拿有小旗16、8、12、4、15面，現(xiàn)要使每人手中的小旗數(shù)相等.要求相鄰的同學之間相互調(diào)整（不相鄰的不作相互調(diào)整），設A給B有x1面（x1>0時即為A給B有x1面；x1

②重視知識整理，使知識系統(tǒng)化

知識整理主要對所復習的內(nèi)容進行分類歸納，有序整理，使其系統(tǒng)化。在復習教學中將同種類型、相同知識點、或者相同的解題方法的問題放在一起，系統(tǒng)地思考，或用思維導圖將整章節(jié)的知識點串連起來，給學生一個較為清晰的認知網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，達到融會貫通、觸類旁通，同時提高了學生的歸納整理能力。

四邊形思維導圖：

③重視題目變式和拓展

教師要善于對題目進行適當?shù)母木幒屯卣梗瑢ν悊栴}做進一步探索，這樣不僅能更好的掌握知識，而且在不斷演變和練習中能做到舉一反三，觸類旁通，這也是學好高中數(shù)學所必需的能力。

（3）比較初高中學法異同，注重學法指導

學好數(shù)學必須要有勤奮、刻苦的學習態(tài)度，嚴謹、認真的學習習慣和方法，勇于挑戰(zhàn)和戰(zhàn)勝困難的信心。

①教學生學會聽課

聽課是學生在校學習的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，它對學生獲得知識技能起著至關(guān)重要的作用。聽課要達到幾個目的：真正聽懂、抓住重點、觸類旁通、形成框架、完全記住，具體的來說就是應讓學生在聽的過程中明確：每節(jié)課的學習目的和學習要求；新知識的引入及知識的形成過程；理解教師對新課的重點、難點的剖析（尤其是預習中的疑問）；例題解法的思路和數(shù)學思想方法的體現(xiàn)。所以聽課，重要的不是“聽”，而是“想”，聽是前提，隨之是積極地思維，要全身心地投入課堂學習，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。

②注重自主學習，激勵鉆研精神

《數(shù)學課程標準》指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴記憶與模仿，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式”。達爾文說過：“最有價值的知識是關(guān)于方法的知識?！币獙W生做到自主學習，關(guān)鍵是教給學生學習的方法和策略， 使學生逐步掌握正確的思維方法，培養(yǎng)學生的歸納、比較、分析、綜合、抽象、概括等數(shù)學能力，逐步掌握學習方法，成為學習的主人。特別注意的是，對于學生解題思路的獨創(chuàng)性與鉆研精神要大力表揚肯定，激勵他們再接再厲。

③學會反思，樹立學好數(shù)學信心

數(shù)學的解題教學，關(guān)鍵在于“指導學生將注意力轉(zhuǎn)移到對數(shù)學過程和自己的解題過程的反省上來”。 對待難度較大的題目，一定要有拿下這道題目的信心和決心，首先需要找到你在哪一步出問題，是基本算式技巧還是理論不夠透徹，明白自己的瓶頸在哪，再有意識解決，也就是要隨時反思自己的知識體系。

樹立學好數(shù)學的信心，是伴隨學生整個學習過程的一個重要任務。學習過程中難免會遇到困難和挫折，需要教會學生：學會多與同學交流學習心得和體會，互相鼓舞學習信心，激發(fā)學習動機；學會學習他人的成功經(jīng)驗，增強自己的學習信心；學會遇到困難和挫折時，正確分析它們產(chǎn)生的原因，及時尋求教師、同學和其他人的幫助，找到解決問題的辦法消除它們帶來的不良心理影響。

中考題的多方面、多層次變化，決定了初中教師要站在更高的平臺上展望，初高中銜接的中考題，是對初中知識和數(shù)學思想進行補充，對初中教師的教學起到指導性作用。需要注意的是試題的設計雖與高中有關(guān)，但解決的方法是初中所學的知識，因此，教師在復習時要加強“雙基”，引導學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡，提高學生的應變能力和創(chuàng)新能力，才能更適應新課程的中考要求。

參考文獻

[1] 數(shù)學課程標準

[2] 黃儀，《從初高中銜接的視角看數(shù)學中考》，中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2013年18期

[3] 李燕，《淺談初高中數(shù)學教學的銜接》[J]，中學生數(shù)理化（教與學），2011年07期

[4]胡啟山，《基于高中學習的初高中數(shù)學銜接初探》[J]，福建中學數(shù)學，2012年12期

（作者單位：杭州市余杭區(qū)崇賢中學）