同質(zhì)材料反射系統(tǒng)熱特性研究

徐思華，彭小強(qiáng)，鐵貴鵬，陳善勇，熊玉朋

（1.國(guó)防科技大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073；2.國(guó)防科技大學(xué) 智能科學(xué)學(xué)院機(jī)電工程研究所兼國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073；3.超精密加工湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

引言

隨著光學(xué)儀器應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)展，溫度適應(yīng)性成為衡量其性能的重要指標(biāo)。機(jī)械被動(dòng)式、機(jī)械主動(dòng)式以及光學(xué)被動(dòng)式消熱差方法常被用于光學(xué)系統(tǒng)無(wú)熱化設(shè)計(jì)[1-2]，但穩(wěn)定性、結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、準(zhǔn)確性等問題限制了前兩種方法的應(yīng)用，光學(xué)被動(dòng)式消熱差方法在解決光學(xué)系統(tǒng)熱問題上有著明顯優(yōu)勢(shì)[3]。溫度變化對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的影響主要體現(xiàn)在光學(xué)元件幾何參數(shù)、鏡組間距和透鏡折射率的變化上[4-5]，而反射系統(tǒng)的溫度特性只表現(xiàn)為前兩項(xiàng)。因反射系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)較少，溫度特性較為簡(jiǎn)單，采用同質(zhì)材料（光學(xué)元件、支撐結(jié)構(gòu)和鏡筒等均為同一材料）的反射系統(tǒng)具有無(wú)熱差特性[6]。國(guó)內(nèi)外研究重點(diǎn)始終聚焦于透射系統(tǒng)的無(wú)熱化[7-11]，對(duì)純反射系統(tǒng)的溫度特性鮮有報(bào)道，已有的研究也僅限于卡塞格林系統(tǒng)[12]，以及反射系統(tǒng)的材料選擇與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[13-15]，而在光學(xué)原理上缺乏相應(yīng)完整的熱性質(zhì)模型。同時(shí)，熱變形對(duì)于從本質(zhì)理解反射系統(tǒng)溫度特性具有十分重要的意義。因此，本文將熱變形的特征及其具體計(jì)算方法與反射系統(tǒng)熱差特性相結(jié)合，以期更好地表征后者的性質(zhì)。

1 熱變形的特征及計(jì)算方法

反射鏡的溫度效應(yīng)表現(xiàn)為幾何參數(shù)的改變，同時(shí)熱變形也是光學(xué)系統(tǒng)熱分析的基礎(chǔ)，因此，有必要對(duì)熱變形問題進(jìn)行相應(yīng)介紹。線性熱膨脹系數(shù)：

式中： ΔL為材料形變量；L為材料原始長(zhǎng)度； ΔT為溫度變化量，表征了特定材料在特定溫度下由單位溫度變化引起的單位長(zhǎng)度量值的變化。

現(xiàn)考察任意形狀物體的熱變形情況。如圖1所示，以曲線右端點(diǎn)(x1,y1)為對(duì)象，從“投影”視角可知，當(dāng)該物體經(jīng)歷 ΔT的均勻溫度變化后，有：

同理，從“分割”視角可知，有：

式中：dLxi=Lcosθ/n；dLyi=Lsinθ/n；n表示分割份數(shù)。該曲線上任意一點(diǎn)熱變形后的坐標(biāo)值均可由以上兩種方法進(jìn)行計(jì)算，且結(jié)果相同。若取坐標(biāo)系2 為參考系，則同一點(diǎn)的新坐標(biāo)變?yōu)?x1+b,y1+c)，熱變形后的坐標(biāo)變?yōu)?x1+x1αΔT+b+bαΔT,y1+y1αΔT+c+cαΔT)?？梢钥闯觯诓煌鴺?biāo)系下曲線上同一點(diǎn)受熱變形的區(qū)別僅是坐標(biāo)系不同帶來的平移，曲線所處坐標(biāo)系的不同與反射鏡背部結(jié)構(gòu)的不同是等價(jià)的。又因同質(zhì)材料的反射鏡在熱變形中處于自由狀態(tài)，所以反射鏡光學(xué)面的熱變形與反射鏡背部結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，當(dāng)反射鏡的材料和初始面形確定，面形自身受熱改變的情況就已確定。

圖1 熱變形計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of thermal deformationcalculation

由上述分析可知，對(duì)于反射鏡光學(xué)面上任意一點(diǎn)(x,y) ，其熱變形后的坐標(biāo)為(x+xαΔT,y+yαΔT)，通過變量替換法將x=x′/(1+αΔT)，y=y′/(1+αΔT)代入原面形方程便可得到該反射鏡熱變形后的面形方程。

至此，我們對(duì)熱變形進(jìn)行了描述，給出了求解線性熱膨脹理論且無(wú)約束條件下的熱變形方法，并得到以下結(jié)論：

1）熱變形的特征可用“投影”和“分割”兩種視角理解，且“分割”就是微觀的“投影”；

2）可對(duì)物體上任意一點(diǎn)熱變形后的坐標(biāo)值進(jìn)行正交分解，分解結(jié)果只與該點(diǎn)與參考點(diǎn)在x和y向的投影或分割長(zhǎng)度有關(guān)，所以反射鏡光學(xué)面熱變形只與其初始光學(xué)面形狀、溫差和材料熱膨脹系數(shù)有關(guān)，而背部結(jié)構(gòu)只是對(duì)該光學(xué)面產(chǎn)生平移效果；

3）反射鏡面形由方程式表征后，熱變形對(duì)應(yīng)方程的改變可用變量替換法計(jì)算，且建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系有利于簡(jiǎn)化計(jì)算。

2 反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性

通過上述分析，以熱變形的特征及其計(jì)算方法為基礎(chǔ)，開展對(duì)反射系統(tǒng)溫度特性的研究。焦點(diǎn)的偏移是光學(xué)系統(tǒng)熱特性的重要體現(xiàn)，當(dāng)焦平面與實(shí)際像面偏移量超過系統(tǒng)焦深時(shí)，成像質(zhì)量便急劇惡化，因此，熱離焦成為研究反射系統(tǒng)溫度特性的關(guān)鍵問題。現(xiàn)以焦點(diǎn)為研究對(duì)象，從單反射鏡的焦點(diǎn)溫度特性出發(fā)，依次考察共軸反射系統(tǒng)、離軸反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性，從而得出針對(duì)反射系統(tǒng)熱特性的一般結(jié)論。

2.1 單反射鏡的焦點(diǎn)溫度特性

如圖2 所示，由光學(xué)原理可知，該反射鏡焦距f′=r/2 ，焦點(diǎn)為F′，假設(shè)其熱膨脹系數(shù)為 α，當(dāng)經(jīng)歷ΔT的均勻溫度變化后，發(fā)生如圖2 所示的熱變形。以焦距f′等 于后焦距l(xiāng)F′，因此有：

圖2 單反射鏡焦點(diǎn)溫度特性Fig.2 Focus temperature characteristics of single mirror

因反射鏡的主平面始終與反射鏡頂點(diǎn)重合，所

圓熱變形后依然是圓（可通過變量替換法證明），其熱變形只體現(xiàn)在半徑值的線性改變上，于是從“幾何”角度可知，反射鏡熱變形后的焦距即是其新半徑值的一半，即：

又因r本身就是溫度的函數(shù)，蘊(yùn)含了焦點(diǎn)的溫度特性信息，則從“解析”角度，將（3）式對(duì)溫度T求（ α為反射鏡熱膨脹系數(shù)）得：導(dǎo)并代入

式（4）與式（5）便是單反射鏡的焦點(diǎn)溫度特性?？梢园l(fā)現(xiàn)“幾何”和“解析”兩種角度的計(jì)算結(jié)果一致，但后者更適合處理復(fù)雜反射系統(tǒng)。

若不考慮像差，實(shí)際像面應(yīng)與焦平面重合，則對(duì)單反系統(tǒng)而言，有l(wèi)BF=f′=lF′，lBF表示后截距。若結(jié)構(gòu)件與反射鏡熱膨脹系數(shù)均為 α，則以反射鏡光學(xué)面頂點(diǎn)為參考，像面的位移量ΔlBF=lBFαΔT，故熱平衡后的后截距有如下關(guān)系：

式（6）表明因反射鏡熱變形引起的焦點(diǎn)位移量與原焦距對(duì)應(yīng)鏡筒的熱膨脹量完全一致，即鏡筒的熱變形恰好對(duì)焦距的改變進(jìn)行了補(bǔ)償，所以焦平面在溫度變化過程中將始終與實(shí)際像面重合，對(duì)于同質(zhì)材料單反射系統(tǒng)而言不存在熱差。

2.2 共軸反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性

對(duì)于如圖3 所示的共軸雙反系統(tǒng)，給出其等效高斯光學(xué)系統(tǒng)圖，如圖4 所示。

圖3 共軸雙反系統(tǒng)Fig.3 Coaxial double-reflector system

圖4 雙反射系統(tǒng)等效高斯示意圖Fig.4 Equivalent Gaussian diagram of dual reflective system

圖4 中H表示主平面，S表示反射鏡頂點(diǎn)間距。對(duì)于以上系統(tǒng)有：

式中： φ1、φ2分別表示反射鏡1 和反射鏡2 的光焦度； φ表示系統(tǒng)總光焦度。合并上述兩式并寫成焦距形式得：

同理，將（7）式對(duì)溫度T求導(dǎo)可得：

式中： αq表示結(jié)構(gòu)件熱膨脹系數(shù)； α表示兩反射鏡的熱膨脹系數(shù)。故在經(jīng)歷 ΔT的均勻溫度變化后，該系統(tǒng)后焦距的改變量為

后截距的改變量為

聯(lián)立（8）式和（9）式可解得該系統(tǒng)由均勻溫度變化引起的熱離焦：

從（10）式可以看出，當(dāng)α=αq時(shí) ，TG=0，即同質(zhì)材料共軸雙反系統(tǒng)是無(wú)熱差的。

因?yàn)楣草S雙反系統(tǒng)后截距l(xiāng)BF隨溫度的變化是線性的，即ΔlBF是線性的，而后焦距l(xiāng)F′隨溫度的變化與后截距保持一致，這說明可以用一個(gè)曲率半徑為r0=2lBF=2lF′的反射鏡（編號(hào)為0）代替圖4 所示的雙反系統(tǒng)，則它們?cè)诮裹c(diǎn)的溫度特性上是完全等價(jià)的，等效過程如圖5 所示。

圖5 單、雙反射系統(tǒng)等效示意圖Fig.5 Equivalent diagram of single and dual reflectivesystem

同理，對(duì)于如圖6 所示的共軸三反系統(tǒng)，按照?qǐng)D5 所示過程將前2 個(gè)反射鏡等效為一個(gè)反射鏡（編號(hào)為0）后再與第3 個(gè)反射鏡組合為等效的共軸雙反系統(tǒng)，其后焦距l(xiāng)F′的計(jì)算方法與雙反系統(tǒng)的完全一致，于是可以得到同樣的無(wú)熱差結(jié)論。采用類比的方法，用單反射鏡代替多反射鏡系統(tǒng)，再與新加入的反射鏡組成針對(duì)后焦距而言的“共軸雙反系統(tǒng)”，可得到同樣的無(wú)熱差結(jié)論，如果分組組合結(jié)果也相同。至此，我們便得到了同質(zhì)材料共軸反射系統(tǒng)在均勻溫度變化條件下無(wú)熱差的結(jié)論。

圖6 三、雙反射系統(tǒng)等效示意圖Fig.6 Equivalent diagram of three and dual reflective system

2.3 離軸反射系統(tǒng)的焦點(diǎn)溫度特性

對(duì)于離軸的純反射系統(tǒng)，依然從單反射鏡開始分析。如圖7 所示，半徑為r的單反射鏡與光軸夾角為θ。

圖7 單反離軸系統(tǒng)焦點(diǎn)溫度特性Fig.7 Focus temperature characteristics of single reflective off-axis system

定義反射鏡幾何焦點(diǎn)為FJ′，F(xiàn)J′到反射鏡頂點(diǎn)O的 距離稱為幾何焦距或幾何后焦距，用符號(hào)lFJ′表示，則垂直于反射鏡軸線并過反射鏡幾何焦點(diǎn)FJ′的平面定義為幾何焦平面，用符號(hào)HJ′表示。根據(jù)光學(xué)原理可知，過反射鏡頂點(diǎn)O的平行入射光線與幾何焦平面HJ′的 交點(diǎn)即為像方焦點(diǎn)F′，故對(duì)圖7 所示的單反系統(tǒng)有：

因 θ在熱變形中不會(huì)改變，將后焦距即（11）式對(duì)溫度求導(dǎo)，有：

后截距l(xiāng)BF=lF′，所以離軸的單反系統(tǒng)依然是無(wú)熱差的。對(duì)于離軸多反系統(tǒng)，將其幾何焦點(diǎn)的性質(zhì)投影到光軸上來，并采用類似共軸多反系統(tǒng)的證明方法即可證明其具有無(wú)熱差特性。

通過上述推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，均勻溫度變化過程中反射系統(tǒng)焦點(diǎn)的位移或后焦距的改變只與反射系統(tǒng)材料的熱膨脹系數(shù)有關(guān)，所以在無(wú)約束的理想狀態(tài)下“同質(zhì)材料”可理解為相同熱膨脹系數(shù)的材料。但在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中，常見的“同質(zhì)材料”還是同種材料，最常用的便是鋁合金。在溫度變化不大的情況下，熱膨脹系數(shù)相近的不同材料也近似滿足“同質(zhì)材料”條件，比如熔融石英和殷鋼兩種材料的組合。

3 驗(yàn)證實(shí)例與討論

現(xiàn)以如圖8 所示的紅外離軸三反系統(tǒng)驗(yàn)證上述結(jié)論，該系統(tǒng)材料均為AL6061，故其熱膨脹系數(shù)α=23×10-6/°C。該離軸三反系統(tǒng)在設(shè)計(jì)時(shí)并未進(jìn)行過熱優(yōu)化。

圖8 離軸三反系統(tǒng)原理圖Fig.8 Schematic diagram of off-axis three-reflector system

由于反射鏡在Zemax 軟件中沒有材料屬性，故利用“跟隨”命令和添加虛擬面的方法為反射鏡賦予材料屬性。在完成鏡組空氣間隔熱膨脹系數(shù)設(shè)置后，建立-60 ℃、20 ℃、100 ℃ 3 個(gè)溫度組態(tài)進(jìn)行熱分析，查看其在各個(gè)溫度組態(tài)下的彌散斑大小和傳遞函數(shù)，結(jié)果如圖9 和圖10 所示。

圖9 離軸三反系統(tǒng)彌散斑Fig.9 Dispersion spot of off-axis three-reflector system

從圖9 可以看出系統(tǒng)彌散斑在各個(gè)視場(chǎng)和溫度下基本都在艾里斑內(nèi)（艾里斑半徑9.754 μm），圖10 表明各溫度下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在70 lp/mm截止頻率處均大于0.2，且在各個(gè)溫度下傳遞函數(shù)基本保持一致。綜上所述，該離軸三反系統(tǒng)擁有良好的溫度適應(yīng)性。

圖10 離軸三反系統(tǒng)傳遞函數(shù)Fig.10 Transfer functions of off-axis three-reflector system

現(xiàn)分析該離軸三反系統(tǒng)后焦距隨溫度的變化情況，結(jié)果如圖11 所示。其中-60℃溫度條件下該系統(tǒng)后焦距為749.434 2 mm，而100 ℃時(shí)為752.197 2 mm，從圖11 可以看出，其呈現(xiàn)明顯的線性性質(zhì)，圖中直線的斜率同20 ℃時(shí)系統(tǒng)初始后焦距（750.815 7 mm）的比值與反射系統(tǒng)材料熱膨脹系數(shù)一致，表明在設(shè)計(jì)溫度20 ℃下，若像面與焦平面重合，則在整個(gè)溫度區(qū)間焦平面將與像面始終保持重合，驗(yàn)證了同質(zhì)材料反射系統(tǒng)無(wú)熱差的結(jié)論。

圖11 離軸三反系統(tǒng)后焦距變化Fig.11 Change in back focal length of off-axis threereflector system

因同質(zhì)材料結(jié)構(gòu)在均勻溫度變化過程中不存在約束應(yīng)力，可以得到同質(zhì)材料反射系統(tǒng)在光學(xué)原理和機(jī)械結(jié)構(gòu)上都具有無(wú)熱化特性的結(jié)論。因此，同質(zhì)材料反射系統(tǒng)在溫度適應(yīng)性上具有明顯優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，反射系統(tǒng)還具有無(wú)色差和能量衰減率低的特點(diǎn)，適用于遠(yuǎn)距離目標(biāo)搜索[16]。

4 結(jié)論

本文探討了同質(zhì)材料反射系統(tǒng)熱特性問題，表明用“投影”和“分割”兩種視角可以很好地幫助光學(xué)設(shè)計(jì)人員理解無(wú)約束狀態(tài)下鏡面變形與反射鏡背部結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)的結(jié)論，變量替換法能夠快速計(jì)算出反射鏡在經(jīng)歷均勻溫度變化后的面形。驗(yàn)證實(shí)例表明，當(dāng)反射鏡與鏡筒等結(jié)構(gòu)件采用同一材料時(shí)，機(jī)械結(jié)構(gòu)可對(duì)反射系統(tǒng)因后焦距改變而產(chǎn)生的熱離焦進(jìn)行補(bǔ)償，使得同質(zhì)材料反射系統(tǒng)不存在熱像差，保證了其在較大溫差范圍內(nèi)具有良好的成像質(zhì)量。